2024高考数学第一轮复习：6.1 数列的概念及通项公式（原卷版）

6.1  数列的概念及通项公式

思维导图

知识点总结

1．数列的有关概念

2．数列的表示方法

3．数列的分类

典型例题分析

考向一 　利用an与Sn的关系求通项或项

1．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，an＋1＋2Sn＝2n＋1，则S2 022＝(　 )

A．2 020      B．2 021   C．2 022  D．2 024

2．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝5Sn(n≥1)，则an＝(　 )

A．5×6n  B．5×6n＋1

C.  D.

方法总结

(1)已知Sn求an，注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并．

(2)Sn与an关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．

①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；

②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．　　

考向二   由递推关系求通项公式

方法(一)　累加法

[例1]　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.

(2)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.

方法(二)　累乘法

[例2]　已知数列{an}中，a1＝1,2n·an＋1＝(n＋1)·an，则数列{an}的通项公式an＝________.

方法(三)　构造法

[例3]　(1)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝an－1＋n(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________.

(2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n∈N，n≥1)，则数列{an}的通项公式an＝______.

方法技巧

(1)形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项．

(2)形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝··…··a1代入求出通项．

(3)形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键．

(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．　　

考向三　数列的函数性质及其应用

角度1　数列的周期性

[例1]　数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 023等于(　 )

A．－2      B．－1     C．2       D.

角度2　数列的单调性

[例2]　已知数列{an}的通项公式为an＝若{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　 )

A．(1.5，＋∞)  B．(1.8，＋∞)

C．(2，＋∞)  D．(2.25，＋∞)

角度3　数列的最值

[例3]　已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋4)n，若数列最大项为ak，则k＝________.

[方法技巧]

1．解决数列的单调性问题的方法

用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．

2．解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．

3．求数列的最大项与最小项的常用方法

(1)函数法，利用函数的单调性求最值．

基础题型训练

一、单选题

1．已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是（    ）

A． B．

C． D．

2．已知数列，则6是这个数列的（    ）

A．第6项 B．第12项 C．第18项 D．第36项

3．若表示正整数n的个位数字，，数列的前n项和为，则（    ）

A． B．0 C．1009 D．1011

4．已知等差数列中，，则（    ）

A． B． C． D．

5．数列中，且满足，则的值为(　　)

A．b B．b－a C．－b D．－a

6．设数列满足，，记前项之积为，则（    ）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

二、多选题

7．(多选题)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（    ）

A． B．

C． D．

8．斐波那刻螺旋线被骨为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵，鹦鹉螺等.如图，小正方形的边长分别为斐波那契数1，1，2，3，5，8....，从内到外依次连接通过小正方形的圆弧，就得到了一条被称为“斐波那契螺旋”的弧线，现将每一段“斐波那契螺旋”弧线所在的正方形边长设为，数列满足，，，每一段“斐波那契螺旋”弧线与其所在的正方形围成的扇形面积设为，则下列说法正确的有（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

9．在数列中，第项是________．

10．已知数列满足，（），则______．

11．函数由下表定义：

若，，，2，3，…，则______．

12．已知数列满足，且其前n项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式______．（写出一个即可）

四、解答题

13．已知数列中，，，求.

14．数列{an}中，a1＝1，a2＝3，－anan＋2＝(－1)n，求{an}的前5项．

15．已知数列满足，求数列的通项公式．

16．在数列中，已知，.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，且数列的前项和为，若为数列中的最小项，求的取值范围.

提升题型训练

一、单选题

1．数列、、、的下一项应该是（    ）

A． B． C． D．

2．数列中，，则等于（    ）

A．900 B．9902 C．9904 D．10100

3．​已知中，，，则数列的通项公式是(    )

A． B． C． D．

4．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．已知满足，且，则的最小值为                     

A． B． C． D．10

6．已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

二、多选题

7．“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为，将其外观描述为“个”，则第二项为；将描述为“个”，则第三项为；将描述为“个，个”，则第四项为；将描述为“个，个，个”，则第五项为，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列，下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则的最后一个数字为6 D．若，则中没有数字

8．设数列的前n项和为，且满足，则下列说法中正确的有（    ）

A． B．数列为递增数列 C． D．

三、填空题

9．在数列中，，，，则______．

10．数列2，0，2，0，…的一个通项公式为______．

11．已知数列的前项和，数列的前项和，，则正整数的最大值为_________.

12．已知数列满足，，数列满足，则数列的前项和______．

四、解答题

13．已知.若是常数数列，求的值.

14．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20.

（1）n为何值时，an有最小值？并求出最小值；

（2）数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项，若没有说明理由．

15．已知函数，.

（1）求证：对任意，.

（2）试判断数列是否是递增数列，或是递减数列？

16．已知数列的前项和为，，．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．