2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 4.3 利用递推公式求通项（精讲）（基础版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 4.3 利用递推公式求通项（精讲）（基础版）（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了累加法，累乘法，公式法，构造等差数列，构造等比数列等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 累加法
【例1-1】 (2023·四川成都）已知数列满足，则an=
【例1-2】 (2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）数列中，且，则_________.
3． (2023·全国·高三专题练习）设数列满足，则=_______.
考点二 累乘法
【例2】 (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1． (2023·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校一模（文））数列中，，当时，，则数列的通项公式为______．
2． (2023·全国·高三专题练习）设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式______.
3 (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
．
考点三 公式法
【例3-1】 (2023·上海市）数列满足，，则数列的通项公式为______．
【例3-2】 (2023·全国·高三阶段练习（理））已知数列满足，，则数列的通项公式为___________.
【一隅三反】
1． (2023·上海民办南模中学高三阶段练习）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．
2． (2023·广西·模拟预测（理））正项数列的前项和为，且有，则___________．
3． (2023·云南·昆明一中高三阶段练习（理））已知数列满足，则___________.
考点四 构造等差数列
【例4-1】 (2023·四川省绵阳南山中学）已知数列满足，，，则an=
【例4-2】（2022·江西）已知数列满足：，（，），则___________.
【例4-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，求出数列的通项公式；
【一隅三反】
1． (2023·全国·课时练习）已知数列满足，且，则数列__________
2． (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式______．
3． (2023·全国·高三专题练习）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
考点五 构造等比数列
【例5】（2022·安徽）设为数列的前项和，若，则______．
【一隅三反】
1． (2023·全国·高二课时练习）在数列中，，，，则该数列的通项公式______．
2． (2023·上海市控江中学）已知数列满足，则其通项公式_______．
3． (2023·福建省长汀县第一中学）已知数列满足，，则的前n项和为_____.
4.3 利用递推公式求通项（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 累加法
【例1-1】 (2023·四川成都）已知数列满足，则an=
【答案】
【解析】由题设，，，，…， 且，
所以，又，则，故，显然也满足.
【例1-2】 (2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因，则有，
于是得，当时，
，
因此，，显然，满足上式，
所以.
故选：C
【一隅三反】
1． (2023·全国·高三专题练习）数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，
则，
，
，
，
累加得，
所以.
当n=1时也成立
故选：A.
2． (2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）数列中，且，则_________.
【答案】100
【解析】∵ ，∴
∵=9，即=9，解得n=100
故答案为：100
3． (2023·全国·高三专题练习）设数列满足，则=_______.
【答案】
【解析】因为数列满足，，
所以当时，
.
所以，，
因为，也满足上式，
所以数列的通项公式为，故答案为：
考点二 累乘法
【例2】 (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】数列满足，，整理得，，，，
所有的项相乘得：，整理得：，故选：．
【一隅三反】
1． (2023·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校一模（文））数列中，，当时，，则数列的通项公式为______．
【答案】
【解析】因为，
所以， ，，，
累乘得：， ，
所以，．
由于，所以，．
显然当时，满足，
所以，．
故答案为：
2． (2023·全国·高三专题练习）设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式______.
【答案】
【解析】由，则
又数列为正项数列，即，
所以，即
所以
故答案为：
3 (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得，
即，则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.故选：D．
考点三 公式法
【例3-1】 (2023·上海市）数列满足，，则数列的通项公式为______．
【答案】
【解析】当时，；
当时，，所以，又，所以两式作差得，
所以，即，所以数列是从第二项起公比为的等比数列，
所以.
故答案为：.
【例3-2】 (2023·全国·高三阶段练习（理））已知数列满足，，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【解析】当时，.
当时，，①
.②
①②，得.
因为不满足上式，所以
故答案为：
【一隅三反】
1． (2023·上海民办南模中学高三阶段练习）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．
【答案】
【解析】，整理得到，故答案为：.
2． (2023·广西·模拟预测（理））正项数列的前项和为，且有，则___________．
【答案】
【解析】依题意，，
当时，，
当时，，
，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以.
故答案为：
3． (2023·云南·昆明一中高三阶段练习（理））已知数列满足，则___________.
【答案】
【解析】记数列的前n项和为，则由题知，当时，；当时，，所以.故答案为：
考点四 构造等差数列
【例4-1】 (2023·四川省绵阳南山中学）已知数列满足，，，则an=
【答案】
【解析】因为，所以，所以，又，
数列是以1为首项，4为公差的等差数列．所以，所以
【例4-2】（2022·江西）已知数列满足：，（，），则___________.
【答案】
【解析】由题设，，即，而，
∴是首项、公差均为的等差数列，即，∴.故答案为：
【例4-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，求出数列的通项公式；
【答案】
【解析】因为，所以等式两边同除以得
所以数列是以为首项，2 为公差的等差数列，所以所以
【一隅三反】
1． (2023·全国·课时练习）已知数列满足，且，则数列__________
【答案】13n−1
【解析】由可得，
所以数列是等差数列，且首项为2，公差为3，则，13n−1
2． (2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式______．
【答案】
【解析】∵，∴，即．又，，
∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，∴，
∴数列的通项公式．故答案为：.
3． (2023·全国·高三专题练习）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为数列的首项，且各项满足公式，则，，，
以此类推，对任意的，，
由可得，所以，，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，
，因此，.故选：B.
考点五 构造等比数列
【例5】（2022·安徽）设为数列的前项和，若，则______．
【答案】
【解析】因为，，所以，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以
【一隅三反】
1． (2023·全国·高二课时练习）在数列中，，，，则该数列的通项公式______．
【答案】
【解析】因为数列中，，即，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
则，解得.
故答案为：.
2． (2023·上海市控江中学）已知数列满足，则其通项公式_______．
【答案】
【解析】令，则，又，∴，故，而，
∴是公比为，首项为，则，∴.故答案为：.
3． (2023·福建省长汀县第一中学）已知数列满足，，则的前n项和为_____.
【答案】
【解析】数列满足，整理得：，
所以，
又，
故是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，所以的前项和
故答案为：