高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题30数列的概念及通项公式(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题30数列的概念及通项公式(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了5D．1010， 已知数列满足,,则，然后等内容，欢迎下载使用。
专题30 数列的概念及通项公式
数列的概念及通项公式
数列的有关概念
累加法
累乘法
构造法
归纳法
数列的定义
数列的表示
通项公式
递推公式
结论法
求通项公式的基本方法
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅰ卷T17） 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；（2）证明：．
2.(2023·北京卷T15） 己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是__________．
3．（2023·全国高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．
4.(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.
5.(2023·天津高考·T19)已知{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1=b1=1,a5=5(a4-a3),b5=4(b4-b3).
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)记{an}的前n项和为Sn,求证:SnSn+21,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.
(Ⅰ)求q的值.
(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式.
9．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)已知数列的前项和,其中.
(Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式;(Ⅱ)若,求.
10．(2023高考数学新课标1理科)为数列的前项和．已知
(Ⅰ)求的通项公式：(Ⅱ)设,求数列的前项和
11．(2023高考数学课标2理科)已知数列满足=1，．
(Ⅰ)证明是等比数列，并求的通项公式；(Ⅱ)证明：
12．(2023高考数学新课标1理科)若数列{}的前n项和为，则数列{}的通项公式是=______．
讲典例 备高考
类型一、数列的有关概念
基础知识：
1、数列的定义：按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项
数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数
an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值
3．数列的性质：由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质：
(1)单调性——若an＋1＞an，则{an}为递增数列；若an＋1＜an，则{an}为递减数列．否则为摆动数列或常数列(an＋1＝an)．
(2)周期性——若an＋k＝an(k为非零常数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期．
基本题型：
1．（判断数列的单调性）已知数列的通项公式是，那么这个数列是
A．递增数列B．递减数列
C．常数列D．摆动数列
2．（利用数列的单调性求参数的范围）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（数列的周期性）已知数列满足: ，，设数列的前项和为，则（ ）
A．1007B．1008C．1009.5D．1010
4．（数列的周期性）设数列的前项和为，已知，，则等于______.
（数列中的最大项问题）数列{an}中，a1＝0，an－an－1－1＝2(n－1)(n∈N*，n≥2)，若数列{bn}满足
bn＝n·eq \r(an＋1＋1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,11)))n，则数列{bn}的最大项为第________项．
6、（数列中的最大项问题）已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \f(2,3)))n，若数列最大项为ak，则k＝________.
基本方法：
1、求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项．
(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)确定最大项，利用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)确定最小项．
2、周期数列的常见形式与解题方法
(1)周期数列的常见形式
①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；
②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；
③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．
(2)解决此类题目的一般方法是根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．
3、解决数列的单调性问题的3种方法
①作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列
②作商比较法：根据(an>0或anan，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________.
18．如图，已知周长为2，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第n个三角形周长________．
19. 请从①;②;③这三个条件中任选一个,
补充到下面问题中,并求解. 已知数列中,其前项和为,且满足,
记,求数列的通项公式.
20.设数列是公比为正整数的等比数列，满足，，设数列满足，.
（1）求的通项公式.
（2）求证数列是等差数列，并求的通项公式.
2023高考一轮复习讲与练
专题30 数列的概念及通项公式
数列的概念及通项公式
数列的有关概念
累加法
累乘法
构造法
归纳法
数列的定义
数列的表示
通项公式
递推公式
结论法
求通项公式的基本方法
练高考 明方向
1.(2023·新高考Ⅰ卷T17） 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；（2）证明：．
答案：（1）；（2）见解析
分析：（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【小问1详解】∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,∴当时，，
∴,整理得：,即,
∴，显然对于也成立，
∴的通项公式；
【小问2详解】
∴。
2.(2023·北京卷T15） 己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是__________．
答案：①③④
分析：推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.
【详解】由题意可知，，，当时，，可得；当时，由可得，两式作差可得，所以，，则，整理可得，因为，解得，①对；假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，，可得，解得，不合乎题意，故数列不等比数列，②错；当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；假设对任意，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.
3．（2023·全国高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．
答案：（1）证明见解析；（2）.
分析：（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】（1）由已知得,且，,取,由得,
由于为数列的前n项积，所以,所以，
所以,由于所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,
,当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.
4.(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.
【命题意图】本题考查等比数列通项公式的应用,考查数列基本量的运算求解能力.体现了数学运算与数学抽象的核心素养.
【解析】(1)设{an}的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=12(舍去),或q=2,a1=2.
所以{an}的通项公式为an=2n.
(2)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤man，则数列{an}是递增的，任意n∈N*，Sn≥S6，即S6最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0即可．所以，满足条件的数列{an}的一个通项公式为an＝n－6(n∈N*)．
18．如图，已知周长为2，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第n个三角形周长________．
答案：
【解析】设的中点分别为，则为三角形的中位线，即，则，记第个三角形周长为，则，即为公比为的等比数列，所以，
19. 请从①;②;③这三个条件中任选一个,
补充到下面问题中,并求解. 已知数列中,其前项和为,且满足,
记,求数列的通项公式.
答案：见解析
【解析】选条件①: 由,(*) 得当时,,(**) (*)-(**)可得,
又当时,,可得,满足, ∴数列是首项为,公比为的等比数列,∴, 故.
选条件②: 由,(*) 得当时,,(**) (*)-(**)可得,即. 当时,满足,∴, 故.
选条件③: 由,(*) 得当时,,(**) (*)-(**)可得,
当时,,可得,满足, ∴数列是首项为,公比为的等比数列,∴, 故.
20.设数列是公比为正整数的等比数列，满足，，设数列满足，.
（1）求的通项公式.
（2）求证数列是等差数列，并求的通项公式.
答案：（1），（2）
解析：（1）由题得，所以.
（2）因为，所以，所以
，所以，所以数列为等差数列，因为，所以，所以，所以.