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2024高考数学第一轮复习：6.1 数列的概念及通项公式(解析版)
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这是一份2024高考数学第一轮复习：6.1 数列的概念及通项公式(解析版)，共24页。试卷主要包含了数列的有关概念，数列的表示方法，数列的分类，已知等差数列中，，则，数列中，且满足，则的值为，设数列满足，，记前项之积为，则等内容，欢迎下载使用。
6.1 数列的概念及通项公式
思维导图
知识点总结
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照确定的顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
前n项和
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an
2．数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公式法
通项公式
把数列的通项使用an＝f(n)表示的方法
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
3．数列的分类
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列⇔an
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列⇔an>an＋1
常数列
各项都相等的数列⇔an＝an＋1
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
典型例题分析
考向一 利用an与Sn的关系求通项或项
1．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，an＋1＋2Sn＝2n＋1，则S2 022＝( )
A．2 020 B．2 021 C．2 022 D．2 024
解析：选C 当n＝1时，a2＋2S1＝2＋1⇒a2＝1，当n≥2时，由an＋1＋2Sn＝2n＋1得an＋2Sn－1＝2n－1，两式相减可得an＋1－an＋2an＝2，即an＋an＋1＝2，所以an＝1，可得Sn＝n，所以S2 022＝2 022.故选C.
2．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝5Sn(n≥1)，则an＝( )
A．5×6n B．5×6n＋1
C. D.
解析：选C 当n＝1时，a2＝5S1＝5a1＝5，当n≥2时，an＝5Sn－1，所以an＋1－an＝5(Sn－Sn－1)＝5an⇒an＋1＝6an，而a2＝5a1≠6a1，所以数列{an}从第二项起是以5为首项，6为公比的等比数列，所以an＝
方法总结
(1)已知Sn求an，注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
考向二 由递推关系求通项公式
方法(一) 累加法
[例1] (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
(2)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.
[解析] (1)根据题意，an－a1＝(2n－1＋1)＋(2n－2＋1)＋…＋(2＋1)＝＋n－1＝2n＋n－3.故an＝2n＋n－2.
(2)由an＋1＝an＋ln，得an＋1－an＝ln＝ln(n＋1)－ln n．当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(ln 2－ln 1)＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n－ln(n－1)]＝2＋ln n(n∈N*)；当n＝1时，a1＝2＋ln 1＝2成立．故an＝2＋ln n(n∈N*)．
[答案] (1)2n＋n－2 (2)2＋ln n
方法(二) 累乘法
[例2] 已知数列{an}中，a1＝1,2n·an＋1＝(n＋1)·an，则数列{an}的通项公式an＝________.
[解析] ∵＝，∴当n≥2时，＝，an＝··…···a1＝··…···1＝，经检验当n＝1时也符合上式，∴an＝.
[答案]
方法(三) 构造法
[例3] (1)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝an－1＋n(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________.
(2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n∈N，n≥1)，则数列{an}的通项公式an＝______.
[解析] (1)∵an＝an－1＋n(n≥2)，
∴3nan＝3n－1an－1＋1(n≥2)，即3nan－3n－1·an－1＝1(n≥2)．又a1＝1,31·a1＝3，∴数列{3nan}是以3为首项，1为公差的等差数列，∴3nan＝3＋(n－1)×1＝n＋2，∴数列{an}的通项公式an＝.
(2)令an＋1＋C＝3(an＋C)，则an＋1＝3an＋2C，又an＋1＝3an＋1，∴C＝，故an＋1＋＝3，而a1＋＝，∴数列是以公比为3，首项为的等比数列，则an＋＝·3n－1，∴an＝·(3n－1)．
[答案] (1) (2)·(3n－1)
方法技巧
(1)形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项．
(2)形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝··…··a1代入求出通项．
(3)形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键．
(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．
考向三 数列的函数性质及其应用
角度1 数列的周期性
[例1] (2023·广州四校联考)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 023等于( )
A．－2 B．－1 C．2 D.
[解析] ∵数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，∴a2＝＝－1，a3＝＝，a4＝＝2，…，可知此数列有周期性，周期T＝3，即an＋3＝an，则a2 023＝a1＝2.
[答案] C
角度2 数列的单调性
[例2] (2023·乐山市教育科学研究所模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝若{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A．(1.5，＋∞) B．(1.8，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(2.25，＋∞)
[解析] 因为{an}是递增数列，由n>2时，an＝an可得，a>1，所以当n≤2时，a12，又a3>a2，所以a3>4a－＋，解得a>或a<－(舍)．综上，a>2，即实数a的取值范围是(2，＋∞)．
[答案] C
角度3 数列的最值
[例3] 已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋4)n，若数列最大项为ak，则k＝________.
[解析] 由题意得
即
化简得解得
即≤k≤1＋.又k∈N*，∴k＝4.
[答案] 4
[方法技巧]
1．解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
2．解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
3．求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)函数法，利用函数的单调性求最值．
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
基础题型训练
一、单选题
1．已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】利用各选项中的数列逐项检验可得正确的选项.
【详解】对于A，，故A错误.
对于B，，故B错误.
对于C，，
故C正确.
对于D，，故D错误.
故选：C.
2．已知数列，则6是这个数列的（ ）
A．第6项 B．第12项 C．第18项 D．第36项
【答案】C
【分析】利用数列的通项公式求解.
【详解】数列的通项公式为，
令解得，
故选:C.
3．若表示正整数n的个位数字，，数列的前n项和为，则（ ）
A． B．0 C．1009 D．1011
【答案】C
【分析】根据题意可判断数列为周期数列，且周期为10，即可求解.
【详解】由题意得，，，，，，，，，，，……
所以数列为周期数列，且周期为10．
因为，所以．
故选：C.
4．已知等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式代入可得的值.
【详解】由，得，
则有.
故选：B.
【点睛】考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.
5．数列中，且满足，则的值为( )
A．b B．b－a C．－b D．－a
【答案】D
【分析】求出数列的周期，从而得到的值.
【详解】，
因为，
所以，
，
，
，
，
所以是以6为周期的数列，
.
故选：D
6．设数列满足，，记前项之积为，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】先根据推出周期为3，再计算出，然后利用周期可得，代入计算可得结果.
【详解】由得，
所以，
所以，
所以数列是周期为3周期数列，
因为，所以，，
所以，
又，
所以.
故选：D
【点睛】本题考查了数列的周期性，利用周期将问题转化为的值进行计算是解题关键，属于中档题.
二、多选题
7．(多选题)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由已知条件，得出三角形数前面是1，3，6，10，相邻两数后一个与前一个的差增加1，利用此规律，即可找出结果.
【详解】这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，…，
且正方形数是这串数中相邻两数之和，容易得到：，，，，只有BD是对的．
故选：BD.
8．斐波那刻螺旋线被骨为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵，鹦鹉螺等.如图，小正方形的边长分别为斐波那契数1，1，2，3，5，8....，从内到外依次连接通过小正方形的圆弧，就得到了一条被称为“斐波那契螺旋”的弧线，现将每一段“斐波那契螺旋”弧线所在的正方形边长设为，数列满足，，，每一段“斐波那契螺旋”弧线与其所在的正方形围成的扇形面积设为，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由题意可得的前9项分别为，根据运算即可判断AB,根据，利用平方差公式以及即可判断选项C,代入计算即可判断D.
【详解】根据，，得数列的前9项分别为，
所以，，故A正确，B错误，
由题意可得，即，
所以，故C正确，
，，
所以，故D错误，
故选：AC.
三、填空题
9．在数列中，第项是________．
【答案】
【分析】直接代入的值即可求解.
【详解】令，则.
故答案为：
10．已知数列满足，（），则______．
【答案】
【分析】把已知数列递推式裂项变形，然后利用累加法求得数列的通项公式．
【详解】由，得，∵，
∴
∴．
故答案为:．
11．函数由下表定义：
x
1
2
3
4
5
4
1
3
5
2
若，，，2，3，…，则______．
【答案】1
【分析】根据数列的前几项可得数列的周期可得答案.
【详解】由题意，知，，，，，
则数列的周期为4，所以．
故答案为：1.
12．已知数列满足，且其前n项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】先分析题干的两个条件，写出符合题意的一个数列即可.
【详解】根据可知，，又，故数列为第二项起为负的递增数列，通项公式可以为.
故答案为：
四、解答题
13．已知数列中，，，求.
【答案】， .
【分析】根据题意和递推公式，即可求出结果.
【详解】由且，
知当时，，∴，
∴.
当时，，∴，
∴.
14．数列{an}中，a1＝1，a2＝3，－anan＋2＝(－1)n，求{an}的前5项．
【答案】a1＝1，a2＝3，a3＝10，a4＝33，a5＝109.
【分析】由递推关系依次即求.
【详解】由－anan＋2＝(－1)n，得an＋2＝，
又∵a1＝1，a2＝3，
∴a3＝＝＝10，a4＝＝＝33，a5＝＝＝109.
∴数列{an}的前5项为1，3，10，33，109.
15．已知数列满足，求数列的通项公式．
【答案】
【分析】可得，进而得，再讨论是否满足，分段表示即得解
【详解】解：当时，由已知，可得，
当时，①
因为，②
所以②—①得，
所以．
显然当时不满足上式，
所以
16．在数列中，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，且数列的前项和为，若为数列中的最小项，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)已知数列的递推公式，用累加法求通项即可;
(2)由(1)可得，则，化简得到对任意恒成立，分类分别求出当时的取值范围，再证明出时为递增数列，即，综合求出的取值范围.
【详解】解：(1)，
，
，
……
，
上式累加可得:，
，
又，∴;
(2)由(1)可得，
∴，
因为为数列中的最小项，
所以，
即，
当时，得，∴;
当时，;
当时，得，∴，
令，
则，
当时，，，
∴，
又可验证当时，也成立，
∴当时，数列为递增数列，
∴，即.
综上所述，的取值范围为.
【点睛】①已知数列递推公式求通项公式有多种方法，答题时要仔细区分，且最后一定要注意检验;
②数列本质上是函数，因此具有一些函数的性质，解决某些数列问题时可以用上函数的相关方法.
提升题型训练
一、单选题
1．数列、、、的下一项应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察数列的项之间的变化规律，即可求得答案.
【详解】观察数列、、、的项之间的规律，
可得根号下的数依次增加4，故数列、、、的下一项应该是，
故选：C
2．数列中，，则等于（ ）
A．900 B．9902 C．9904 D．10100
【答案】B
【分析】利用累加法求出数列的通项公式，再代入计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以
所以
故选：B
3．已知中，，，则数列的通项公式是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察式子可变形为：，再用叠乘法即可求解
【详解】由nan+1=（n+1）an，可得：，
又∵a1=1，∴==n．
∴an=n，
故选C．
【点睛】本题考查叠乘法求数列通向，属于基础题
4．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据奇偶数对n讨论，再分离参数a，转化函数最值问题即得解.
【详解】（1）当n为偶数时，恒成立，即转化为恒成立，
而数列是递增数列，故时，，故；
（2）当n为奇数时，恒成立，即，转化为恒成立，
而数列是递增数列，n为奇数时，，故；
综上可得a的范围为.
故选：B.
5．已知满足，且，则的最小值为
A． B． C． D．10
【答案】C
【详解】满足，即，
∴
.
则，
令,则,
在上单调递减;在上单调递增.
.
∴n=6时,f(x)取得最小值,因此的最小值为.
故选C.
6．已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，结合等比数列求和公式可求得；分别在和时解不等式得到和，根据数列的单调性可知，，，从而得到所求范围.
【详解】由题意得：
即：
①当时，
则由得：
此时；
②当时，
则由得：
此时；
综上所述：
本题正确选项：
【点睛】本题考查数列性质与不等式能成立问题的综合应用，关键是能够通过递推关系式得到数列的通项公式，结合数列的单调性特点可得到不等式的解集，从而确定解集上下限的最值，进而得到结果.
二、多选题
7．“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为，将其外观描述为“个”，则第二项为；将描述为“个”，则第三项为；将描述为“个，个”，则第四项为；将描述为“个，个，个”，则第五项为，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则的最后一个数字为6 D．若，则中没有数字
【答案】BCD
【分析】根据题干中的递推规律，依次分析各项的正误.
【详解】对于A项，，即“个”，，即“个，个”，，即“个，个”，故，故A项错；
对于B项，，即“2个2”， ，即“2个2”，以此类推，该数列的各项均为22，则，故B项正确；
对于C项，，即“1个6”， ，即“1个1，1个6”， ，即“3个1，1个6”，故，即“1个3，2个1，1个6”，以此类推可知，的最后一个数字均为6，故C项正确；
对于D项，，则，，，，
若数列中，中为第一次出现数字，则中必出现了个连续的相同数字，
如，则在的描述中必包含“个，个”，
即，显然的描述是不合乎要求的，
若或，同理可知均不合乎题意，
故不包含数字，故D项正确.
故选：BCD.
8．设数列的前n项和为，且满足，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．数列为递增数列 C． D．
【答案】AD
【分析】根据题意，分别求得，得到数列构成以为周期的周期数列，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，数列满足，
当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，；当时，；，
归纳可得数列构成以为周期的周期数列，所以，A正确，B不正确；
又由，所以C不正确；
因为，所以，所以D正确.
故选：AD.
三、填空题
9．在数列中，，，，则______．
【答案】/
【分析】根据递推公式一一计算可得.
【详解】解：因为，，，
所以，，；
故答案为：
10．数列2，0，2，0，…的一个通项公式为______．
【答案】
【分析】先写出,…的一个通项公式为，从而可求2，0，2，0，…的一个通项公式.
【详解】解：,…的一个通项公式为，
故2，0，2，0，…的一个通项公式为.
故答案为:.
11．已知数列的前项和，数列的前项和，，则正整数的最大值为_________.
【答案】3
【分析】运用数列的递推式，结合等比数列的定义、通项公式可得an，Sn，再由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，以及数列的单调性，解不等式可得所求最大值．
【详解】Sn＝2﹣1，可得＝S1＝2﹣1，解得＝1；
n≥2时，＝Sn﹣Sn﹣1＝2﹣1﹣2 +1，
则＝2，可得为首项为1，公比为2的等比数列，
可得＝2n﹣1，Sn＝2n﹣1，
Sn1＝2n﹣1+（）n﹣1+1＝2n+（）n﹣1，
Tn＝（2+4+…+2n）+（1（）n﹣1）
2n+1﹣（）n﹣1，
可得Tn是一个增函数（增函数+增函数=增函数），随着n的增大而增大，T3，
由，可得n≤3，即n的最大值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查数列的递推式的运用、等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查化简运算能力，属于中档题．
12．已知数列满足，，数列满足，则数列的前项和______．
【答案】
【分析】先根据，并利用累加法求得，再根据求得，最后根据的特点利用等差、等比数列的求和公式求即可．
【详解】因为数列满足，，所以当时，，又也满足上式，所以，
所以，所以．
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：方法技巧一般地，递推公式形如（其中可求）的数列的通项公式往往可以运用累加法求解，如本题中求的过程；递推公式形如（其中可求）的数列的通项公式往往可以运用累乘法求解．
四、解答题
13．已知.若是常数数列，求的值.
【答案】0或1.
【分析】由是常数数列，得出，解方程即可得到结果.
【详解】∵是常数数列，
∴，∴或，
∴或1.
14．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20.
（1）n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
（2）数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项，若没有说明理由．
【答案】（1）n＝10或n＝11时，其最小值为－90；（2）没有最大项，详见解析.
【分析】（1）利用二次函数的性质即得；
（2）利用通项公式结合二次函数性质可得.
【详解】（1）因为，
可知对称轴方程为，
又因n∈N＋，故n＝10或n＝11时，an有最小值，其最小值为102－21×10＋20＝－90.
（2）由（1）知，对于数列{an}有：，
故数列{an}没有最大项.
15．已知函数，.
（1）求证：对任意，.
（2）试判断数列是否是递增数列，或是递减数列？
【答案】（1）证明见解析；（2）是递增数列.
【分析】（1）将代入函数解析式，分离常数证得结果；
（2）利用随的增大，式子的变化趋势，得到其为递增数量.
【详解】（1），
（2）∵，
当变大时，变大，变小，变大，
∴是递增数列.
【点睛】该题考查的是有关数量的问题，涉及到的知识点有根据数量的通项公式，判断项的范围和数列的单调性，属于简单题目.
16．已知数列的前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，由得到，两式相减，然后再利用累积法求解.
（2）由（1）得，然后利用裂项相消法求解.
【详解】（1）当时，，
则，
整理得．
故．
当时，满足上式，故．
（2），
，
．
【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法
(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式；
(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.
(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
6.1 数列的概念及通项公式
思维导图
知识点总结
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照确定的顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
前n项和
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an
2．数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公式法
通项公式
把数列的通项使用an＝f(n)表示的方法
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
3．数列的分类
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列⇔an
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列⇔an>an＋1
常数列
各项都相等的数列⇔an＝an＋1
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
典型例题分析
考向一 利用an与Sn的关系求通项或项
1．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，an＋1＋2Sn＝2n＋1，则S2 022＝( )
A．2 020 B．2 021 C．2 022 D．2 024
解析：选C 当n＝1时，a2＋2S1＝2＋1⇒a2＝1，当n≥2时，由an＋1＋2Sn＝2n＋1得an＋2Sn－1＝2n－1，两式相减可得an＋1－an＋2an＝2，即an＋an＋1＝2，所以an＝1，可得Sn＝n，所以S2 022＝2 022.故选C.
2．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝5Sn(n≥1)，则an＝( )
A．5×6n B．5×6n＋1
C. D.
解析：选C 当n＝1时，a2＝5S1＝5a1＝5，当n≥2时，an＝5Sn－1，所以an＋1－an＝5(Sn－Sn－1)＝5an⇒an＋1＝6an，而a2＝5a1≠6a1，所以数列{an}从第二项起是以5为首项，6为公比的等比数列，所以an＝
方法总结
(1)已知Sn求an，注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
考向二 由递推关系求通项公式
方法(一) 累加法
[例1] (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
(2)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.
[解析] (1)根据题意，an－a1＝(2n－1＋1)＋(2n－2＋1)＋…＋(2＋1)＝＋n－1＝2n＋n－3.故an＝2n＋n－2.
(2)由an＋1＝an＋ln，得an＋1－an＝ln＝ln(n＋1)－ln n．当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(ln 2－ln 1)＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n－ln(n－1)]＝2＋ln n(n∈N*)；当n＝1时，a1＝2＋ln 1＝2成立．故an＝2＋ln n(n∈N*)．
[答案] (1)2n＋n－2 (2)2＋ln n
方法(二) 累乘法
[例2] 已知数列{an}中，a1＝1,2n·an＋1＝(n＋1)·an，则数列{an}的通项公式an＝________.
[解析] ∵＝，∴当n≥2时，＝，an＝··…···a1＝··…···1＝，经检验当n＝1时也符合上式，∴an＝.
[答案]
方法(三) 构造法
[例3] (1)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝an－1＋n(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________.
(2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n∈N，n≥1)，则数列{an}的通项公式an＝______.
[解析] (1)∵an＝an－1＋n(n≥2)，
∴3nan＝3n－1an－1＋1(n≥2)，即3nan－3n－1·an－1＝1(n≥2)．又a1＝1,31·a1＝3，∴数列{3nan}是以3为首项，1为公差的等差数列，∴3nan＝3＋(n－1)×1＝n＋2，∴数列{an}的通项公式an＝.
(2)令an＋1＋C＝3(an＋C)，则an＋1＝3an＋2C，又an＋1＝3an＋1，∴C＝，故an＋1＋＝3，而a1＋＝，∴数列是以公比为3，首项为的等比数列，则an＋＝·3n－1，∴an＝·(3n－1)．
[答案] (1) (2)·(3n－1)
方法技巧
(1)形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项．
(2)形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝··…··a1代入求出通项．
(3)形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键．
(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．
考向三 数列的函数性质及其应用
角度1 数列的周期性
[例1] (2023·广州四校联考)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 023等于( )
A．－2 B．－1 C．2 D.
[解析] ∵数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，∴a2＝＝－1，a3＝＝，a4＝＝2，…，可知此数列有周期性，周期T＝3，即an＋3＝an，则a2 023＝a1＝2.
[答案] C
角度2 数列的单调性
[例2] (2023·乐山市教育科学研究所模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝若{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A．(1.5，＋∞) B．(1.8，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(2.25，＋∞)
[解析] 因为{an}是递增数列，由n>2时，an＝an可得，a>1，所以当n≤2时，a1
[答案] C
角度3 数列的最值
[例3] 已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋4)n，若数列最大项为ak，则k＝________.
[解析] 由题意得
即
化简得解得
即≤k≤1＋.又k∈N*，∴k＝4.
[答案] 4
[方法技巧]
1．解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
2．解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
3．求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)函数法，利用函数的单调性求最值．
(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
基础题型训练
一、单选题
1．已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】利用各选项中的数列逐项检验可得正确的选项.
【详解】对于A，，故A错误.
对于B，，故B错误.
对于C，，
故C正确.
对于D，，故D错误.
故选：C.
2．已知数列，则6是这个数列的（ ）
A．第6项 B．第12项 C．第18项 D．第36项
【答案】C
【分析】利用数列的通项公式求解.
【详解】数列的通项公式为，
令解得，
故选:C.
3．若表示正整数n的个位数字，，数列的前n项和为，则（ ）
A． B．0 C．1009 D．1011
【答案】C
【分析】根据题意可判断数列为周期数列，且周期为10，即可求解.
【详解】由题意得，，，，，，，，，，，……
所以数列为周期数列，且周期为10．
因为，所以．
故选：C.
4．已知等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式代入可得的值.
【详解】由，得，
则有.
故选：B.
【点睛】考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.
5．数列中，且满足，则的值为( )
A．b B．b－a C．－b D．－a
【答案】D
【分析】求出数列的周期，从而得到的值.
【详解】，
因为，
所以，
，
，
，
，
所以是以6为周期的数列，
.
故选：D
6．设数列满足，，记前项之积为，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】先根据推出周期为3，再计算出，然后利用周期可得，代入计算可得结果.
【详解】由得，
所以，
所以，
所以数列是周期为3周期数列，
因为，所以，，
所以，
又，
所以.
故选：D
【点睛】本题考查了数列的周期性，利用周期将问题转化为的值进行计算是解题关键，属于中档题.
二、多选题
7．(多选题)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由已知条件，得出三角形数前面是1，3，6，10，相邻两数后一个与前一个的差增加1，利用此规律，即可找出结果.
【详解】这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，…，
且正方形数是这串数中相邻两数之和，容易得到：，，，，只有BD是对的．
故选：BD.
8．斐波那刻螺旋线被骨为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵，鹦鹉螺等.如图，小正方形的边长分别为斐波那契数1，1，2，3，5，8....，从内到外依次连接通过小正方形的圆弧，就得到了一条被称为“斐波那契螺旋”的弧线，现将每一段“斐波那契螺旋”弧线所在的正方形边长设为，数列满足，，，每一段“斐波那契螺旋”弧线与其所在的正方形围成的扇形面积设为，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由题意可得的前9项分别为，根据运算即可判断AB,根据，利用平方差公式以及即可判断选项C,代入计算即可判断D.
【详解】根据，，得数列的前9项分别为，
所以，，故A正确，B错误，
由题意可得，即，
所以，故C正确，
，，
所以，故D错误，
故选：AC.
三、填空题
9．在数列中，第项是________．
【答案】
【分析】直接代入的值即可求解.
【详解】令，则.
故答案为：
10．已知数列满足，（），则______．
【答案】
【分析】把已知数列递推式裂项变形，然后利用累加法求得数列的通项公式．
【详解】由，得，∵，
∴
∴．
故答案为:．
11．函数由下表定义：
x
1
2
3
4
5
4
1
3
5
2
若，，，2，3，…，则______．
【答案】1
【分析】根据数列的前几项可得数列的周期可得答案.
【详解】由题意，知，，，，，
则数列的周期为4，所以．
故答案为：1.
12．已知数列满足，且其前n项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】先分析题干的两个条件，写出符合题意的一个数列即可.
【详解】根据可知，，又，故数列为第二项起为负的递增数列，通项公式可以为.
故答案为：
四、解答题
13．已知数列中，，，求.
【答案】， .
【分析】根据题意和递推公式，即可求出结果.
【详解】由且，
知当时，，∴，
∴.
当时，，∴，
∴.
14．数列{an}中，a1＝1，a2＝3，－anan＋2＝(－1)n，求{an}的前5项．
【答案】a1＝1，a2＝3，a3＝10，a4＝33，a5＝109.
【分析】由递推关系依次即求.
【详解】由－anan＋2＝(－1)n，得an＋2＝，
又∵a1＝1，a2＝3，
∴a3＝＝＝10，a4＝＝＝33，a5＝＝＝109.
∴数列{an}的前5项为1，3，10，33，109.
15．已知数列满足，求数列的通项公式．
【答案】
【分析】可得，进而得，再讨论是否满足，分段表示即得解
【详解】解：当时，由已知，可得，
当时，①
因为，②
所以②—①得，
所以．
显然当时不满足上式，
所以
16．在数列中，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，且数列的前项和为，若为数列中的最小项，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)已知数列的递推公式，用累加法求通项即可;
(2)由(1)可得，则，化简得到对任意恒成立，分类分别求出当时的取值范围，再证明出时为递增数列，即，综合求出的取值范围.
【详解】解：(1)，
，
，
……
，
上式累加可得:，
，
又，∴;
(2)由(1)可得，
∴，
因为为数列中的最小项，
所以，
即，
当时，得，∴;
当时，;
当时，得，∴，
令，
则，
当时，，，
∴，
又可验证当时，也成立，
∴当时，数列为递增数列，
∴，即.
综上所述，的取值范围为.
【点睛】①已知数列递推公式求通项公式有多种方法，答题时要仔细区分，且最后一定要注意检验;
②数列本质上是函数，因此具有一些函数的性质，解决某些数列问题时可以用上函数的相关方法.
提升题型训练
一、单选题
1．数列、、、的下一项应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察数列的项之间的变化规律，即可求得答案.
【详解】观察数列、、、的项之间的规律，
可得根号下的数依次增加4，故数列、、、的下一项应该是，
故选：C
2．数列中，，则等于（ ）
A．900 B．9902 C．9904 D．10100
【答案】B
【分析】利用累加法求出数列的通项公式，再代入计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以
所以
故选：B
3．已知中，，，则数列的通项公式是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察式子可变形为：，再用叠乘法即可求解
【详解】由nan+1=（n+1）an，可得：，
又∵a1=1，∴==n．
∴an=n，
故选C．
【点睛】本题考查叠乘法求数列通向，属于基础题
4．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据奇偶数对n讨论，再分离参数a，转化函数最值问题即得解.
【详解】（1）当n为偶数时，恒成立，即转化为恒成立，
而数列是递增数列，故时，，故；
（2）当n为奇数时，恒成立，即，转化为恒成立，
而数列是递增数列，n为奇数时，，故；
综上可得a的范围为.
故选：B.
5．已知满足，且，则的最小值为
A． B． C． D．10
【答案】C
【详解】满足，即，
∴
.
则，
令,则,
在上单调递减;在上单调递增.
.
∴n=6时,f(x)取得最小值,因此的最小值为.
故选C.
6．已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，结合等比数列求和公式可求得；分别在和时解不等式得到和，根据数列的单调性可知，，，从而得到所求范围.
【详解】由题意得：
即：
①当时，
则由得：
此时；
②当时，
则由得：
此时；
综上所述：
本题正确选项：
【点睛】本题考查数列性质与不等式能成立问题的综合应用，关键是能够通过递推关系式得到数列的通项公式，结合数列的单调性特点可得到不等式的解集，从而确定解集上下限的最值，进而得到结果.
二、多选题
7．“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为，将其外观描述为“个”，则第二项为；将描述为“个”，则第三项为；将描述为“个，个”，则第四项为；将描述为“个，个，个”，则第五项为，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则的最后一个数字为6 D．若，则中没有数字
【答案】BCD
【分析】根据题干中的递推规律，依次分析各项的正误.
【详解】对于A项，，即“个”，，即“个，个”，，即“个，个”，故，故A项错；
对于B项，，即“2个2”， ，即“2个2”，以此类推，该数列的各项均为22，则，故B项正确；
对于C项，，即“1个6”， ，即“1个1，1个6”， ，即“3个1，1个6”，故，即“1个3，2个1，1个6”，以此类推可知，的最后一个数字均为6，故C项正确；
对于D项，，则，，，，
若数列中，中为第一次出现数字，则中必出现了个连续的相同数字，
如，则在的描述中必包含“个，个”，
即，显然的描述是不合乎要求的，
若或，同理可知均不合乎题意，
故不包含数字，故D项正确.
故选：BCD.
8．设数列的前n项和为，且满足，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．数列为递增数列 C． D．
【答案】AD
【分析】根据题意，分别求得，得到数列构成以为周期的周期数列，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，数列满足，
当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，；当时，；，
归纳可得数列构成以为周期的周期数列，所以，A正确，B不正确；
又由，所以C不正确；
因为，所以，所以D正确.
故选：AD.
三、填空题
9．在数列中，，，，则______．
【答案】/
【分析】根据递推公式一一计算可得.
【详解】解：因为，，，
所以，，；
故答案为：
10．数列2，0，2，0，…的一个通项公式为______．
【答案】
【分析】先写出,…的一个通项公式为，从而可求2，0，2，0，…的一个通项公式.
【详解】解：,…的一个通项公式为，
故2，0，2，0，…的一个通项公式为.
故答案为:.
11．已知数列的前项和，数列的前项和，，则正整数的最大值为_________.
【答案】3
【分析】运用数列的递推式，结合等比数列的定义、通项公式可得an，Sn，再由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，以及数列的单调性，解不等式可得所求最大值．
【详解】Sn＝2﹣1，可得＝S1＝2﹣1，解得＝1；
n≥2时，＝Sn﹣Sn﹣1＝2﹣1﹣2 +1，
则＝2，可得为首项为1，公比为2的等比数列，
可得＝2n﹣1，Sn＝2n﹣1，
Sn1＝2n﹣1+（）n﹣1+1＝2n+（）n﹣1，
Tn＝（2+4+…+2n）+（1（）n﹣1）
2n+1﹣（）n﹣1，
可得Tn是一个增函数（增函数+增函数=增函数），随着n的增大而增大，T3，
由，可得n≤3，即n的最大值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查数列的递推式的运用、等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查化简运算能力，属于中档题．
12．已知数列满足，，数列满足，则数列的前项和______．
【答案】
【分析】先根据，并利用累加法求得，再根据求得，最后根据的特点利用等差、等比数列的求和公式求即可．
【详解】因为数列满足，，所以当时，，又也满足上式，所以，
所以，所以．
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：方法技巧一般地，递推公式形如（其中可求）的数列的通项公式往往可以运用累加法求解，如本题中求的过程；递推公式形如（其中可求）的数列的通项公式往往可以运用累乘法求解．
四、解答题
13．已知.若是常数数列，求的值.
【答案】0或1.
【分析】由是常数数列，得出，解方程即可得到结果.
【详解】∵是常数数列，
∴，∴或，
∴或1.
14．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20.
（1）n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
（2）数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项，若没有说明理由．
【答案】（1）n＝10或n＝11时，其最小值为－90；（2）没有最大项，详见解析.
【分析】（1）利用二次函数的性质即得；
（2）利用通项公式结合二次函数性质可得.
【详解】（1）因为，
可知对称轴方程为，
又因n∈N＋，故n＝10或n＝11时，an有最小值，其最小值为102－21×10＋20＝－90.
（2）由（1）知，对于数列{an}有：，
故数列{an}没有最大项.
15．已知函数，.
（1）求证：对任意，.
（2）试判断数列是否是递增数列，或是递减数列？
【答案】（1）证明见解析；（2）是递增数列.
【分析】（1）将代入函数解析式，分离常数证得结果；
（2）利用随的增大，式子的变化趋势，得到其为递增数量.
【详解】（1），
（2）∵，
当变大时，变大，变小，变大，
∴是递增数列.
【点睛】该题考查的是有关数量的问题，涉及到的知识点有根据数量的通项公式，判断项的范围和数列的单调性，属于简单题目.
16．已知数列的前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，由得到，两式相减，然后再利用累积法求解.
（2）由（1）得，然后利用裂项相消法求解.
【详解】（1）当时，，
则，
整理得．
故．
当时，满足上式，故．
（2），
，
．
【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法
(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式；
(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.
(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
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