2022-2023学年湖南重点大学附中七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南重点大学附中七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的平方根为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，下列不等式中，不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列调查统计中，适合做全面调查的是(    )

A. 了解格力空调的市场占有率 B. 了解湖南卫视“歌手”节目的收视率
C. 了解奔驰汽车每百公里耗油量 D. 了解神舟飞船的设备零件的质量情况

4.  若一个三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  以下四种作边上的高，其中正确的作法是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如果多边形的每一个内角都是，那么这个多边形的边数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  将含的直角三角板与直尺如图所示放置，有如下结论：
；；；，
其中正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若方程的两个解是，，则，的值为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

10.  如图，，、、分别平分、和以下结论：；；；其中正确的结论是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  在中，，，则 ______ ．

12.  点在轴上，则的值为______ ．

13.  已知、为两个连续的整数，且，则 ______ ．

14.  等腰三角形一边长等于，一边长等于，它的周长是           ．

15.  不等式组的解集是，则的取值范围是______ ．

16.  如图，在中，已知点，分别为，的中点，，且的面积为，则的面积为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：，并写出该不等式组的整解数．

19.  本小题分
如图，点、分别在直线和上，若，，可以证明请完成下面证明过程中的各项“填空”．
证明：
，对顶角相等．
，
理由：______
______ 理由：______
又．
．
______ 理由：______
理由：______

20.  本小题分
为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为小时，将它分为个等级：，，，，并根据调查结果绘制如图两幅不完整的统计图：

请你根据统计图的信息，解决下列问题：
本次共调查了______ 名学生；
在扇形统计图中，等级所均应的扇形的圆心角为______ ；
请补全条形统计图；
全校名学生，估计阅读时间不少于小时的学生有多少名？

21.  本小题分
如图，，，将向右平移个单位长度，然后再向上平移个单位长度，可以得到．
的顶点的坐标为______；顶点的坐标为______．
在图中画出，并求出的面积．
已知点在轴上，以、、为顶点的三角形面积为，则点的坐标为______．

22.  本小题分
已知：如图，中，、分别是的高和角平分线是的平分线，与交于，若，．
求的度数；
求的度数；
求的度数．

23.  本小题分
为了响应某市的“四个一”工程培养学生的爱国主义情怀，某校学生和带队老师在月下旬某天集体乘车去参观抗日战争纪念馆已知学生的数量是带队老师的倍多人，学生和老师的总人数共人．
请求出去参观抗日战争纪念馆学生和老师各多少人？
如果学校准备租赁型大巴车和型大巴车共辆其中型大巴车最多有辆已知型大巴车每车最多可以载人，型大巴车每车最多可以载人，请问共有几种租赁车辆方案？
在的条件下已知型大巴车日租金为元型大巴车日租金为元请求出最经济的租赁车辆方案．

24.  本小题分
阅读理解：
定义：使方程组与不等式组同时成立的未知数的值称为此方程组和不等式组：的“理想解”，例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
问题解决：
请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式组的“理想解”______ 直接填写序号
；
；
；
若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围；
当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”，若且满足条件的整数有且只有一个，求的取值范围．

25.  本小题分
在直角坐标系中，已知点，，，且是的立方根；方程是关于、的二元一次方程，为不等式组的最大整数解．

求、、的坐标；
如图，若为轴负半轴上的一个动点，连交轴于点，问是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，若将线段向上平移个单位长度，点为轴上一点，点为第一象限内一动点，连、、，若的面积等于由、、、四条线段围成图形的面积，求点的横坐标用含的式子表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的平方根是．
故选：．
根据平方根的定义，求数的平方根，也就是求一个数，使得，则就是的平方根，由此即可解决问题．
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
选项A正确；

，
，
选项B正确；

，
，
选项C正确；

，
，
选项D不正确．
故选：．
根据不等式的性质逐一判断，判断出不正确的不等式是哪个即可．
此题主要考查了不等式的性质，要熟练掌握，特别要注意在不等式两边同乘以或除以同一个数时，不仅要考虑这个数不等于，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：、了解格力空调的市场占有率，调查范围广适合抽样调查，故本选项错误；
B、了解湖南卫视“歌手”节目的收视率，调查范围广适合抽样调查，适合抽样调查，故本选项错误；
C、了解奔驰汽车每百公里耗油量，调查范围广适合抽样调查，故本选项错误；
D、了解神舟飞船的设备零件的质量情况，是事关重大的调查，适合普查，故A正确；
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形的三边关系，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．
【解答】
解：设第三边为，
则，即，
所以符合条件的整数为，
故选A．  

5.【答案】 

【解析】解：边上的高是经过点垂直的直线．
故选：．
根据高的定义判断即可．
本题考查作图基本作图，三角形的高、中线．角平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的是多边形的内角与外角，解答此类问题时要找到不变量，即多边形的外角和是这一关键．设这个多边形的边数为，根据多边形的外角和是度求出的值即可．
【解答】
解：多边形的各个内角都等于，
每个外角为，
设这个多边形的边数为，则
，
解得．
故选C．

7.【答案】 

【解析】解：如图，，
，，，
，
，
，，，正确，
故选：．
利用平行线的性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．
本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：的横坐标为：，纵坐标为，
故选：．
根据点所在的象限确定坐标的符号，再根据到坐标轴的距离确定坐标的绝对值．
本题考查了点的坐标，掌握数形结合思想是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
将与的两对值代入方程计算即可求出与的值．
【解答】

解：将，分别代入中，
得：，
得：，即，
将代入得：，
故选：．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平行线的判定和性质，角平分线的定义一一判断即可．
【解答】
解：，
，，
，
，故正确，
，
，
，故正确，




，故正确，
无法判定正确，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
故答案为：．
根据三角形内角和定理可以求得的度数．
本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和为．
 

12.【答案】 

【解析】解：点在轴上，
，
解得．
故答案为：．
根据轴上点的纵坐标为列方程求解即可．
本题考查了点的坐标，熟记轴上点的纵坐标为是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
．
故答案为：．
先估算出的取值范围，得出、的值，进而可得出结论．
本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意算出的取值范围是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系  题目给出等腰三角形的两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形，据此解答即可．
【解答】
解：当腰长为时，三角形三边的边长为、、，因为，不满足三角形的三边关系定理，所以不能形成三角形，不符合题意；
当腰长为时，三角形三边的边长为、、，因为，满足三角的三边关系定理，能形成三角形，
所以等腰三角形的周长为．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集是，
，
，
故答案为：．
首先求出两个不等式的解集，然后根据不等式组的解集的确定方法：大大取大可得到，即可得答案．
本题主要考查了不等式组的解法，关键是能根据不等式的解集和已知得出．
 

16.【答案】 

【解析】解：点是的中点，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由点是的中点，可得，由是的中点，得出的面积，进而得出，再利用，求出的面积．
本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是根据中点找出三角形的面积与原三角形面积的关系．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：
解不等式得；
解不等式得．
不等式组的解集为．
不等式组的整数解是，，，． 

【解析】先分别解每个不等式，然后确定不等式组的解集，最后在解集内找整数解．
此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

19.【答案】同位角相等，两直线平行    两直线平行，同位角相等    内错角相等，两直线平行  两直线平行，内错角相等 

【解析】证明：，对顶角相等，
，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
又，
，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等．
故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
根据已知条件，结合对顶角相等得出，由平行线的判定得，由平行线的性质得，再由等量代换得，根据平行线的判定得，利用平行线的性质即可证．
本题考查了平行的判定与性质，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
 

20.【答案】   

【解析】解：本次共调查的学生人数有：名，
故答案为：；
由题意得，在扇形统计图中，等级所对的扇形的圆心角为：；
故答案为：；
等级的人数有：名，
补全统计图如下：

根据题意得：
名，
答：估计阅读时间不少于小时的学生有名．
由等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
用乘以等级人数所占的百分比得出等级所对应的扇形的圆心角度数；
用总人数减去其他等级的人数，求出等级的人数，从而补全统计图；
用总人数乘以每周阅读时间不少于小时的学生所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】    或 

【解析】解：如图，即为所求，点的坐标为，顶点的坐标为．
故答案为：，；

的面积．
设，则有，
解得和，
或．
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
设，构建方程求解．
本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：，．
，
是的平分线，
，
；
是的角平分线．是的平分线，．
，，
在中，；
在中，，，
．
是的角平分线，
．
是的高，
，
在中，，
． 

【解析】根据角平分线的定义和三角形的内角和解答即可；
依据是的角平分线．是的平分线，在中利用三角形的内角和解答；
先根据三角形的内角和定理得到的度数，再利用角平分线的性质可求出，而，然后利用进行计算即可．
本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为也考查了三角形的高线与角平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理与角平分线的性质．
 

23.【答案】解：设去参观抗日战争纪念馆学生人，老师人，
由题意得：，
解得：，
答：去参观抗日战争纪念馆学生人，老师人；
设租赁型大巴车辆，则租赁型大巴车辆，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
或或，
共有种租赁车辆方案：
方案一：租赁型大巴车辆和型大巴车辆；
方案二：租赁型大巴车辆和型大巴车辆；
方案三：租赁型大巴车辆和型大巴车辆；
设租赁总租金为元，
由题意得：，
，
的值随值的增大而增大，
当时，取得最小值，
最经济的租赁车辆方案为：租赁型大巴车辆和租赁型大巴车辆． 

【解析】设去参观抗日战争纪念馆学生人，老师有人，由“学生的数量是带队老师的倍多人，学生和老师的总数共人”，列出二元一次方程组，解方程组即可；
设租赁型大巴车辆，则租赁型大巴车辆，由型大巴车最多有辆及租赁的辆车至少能坐下人，列出一元一次不等式组，解不等式组得出的取值范围，求出的值，即可得出答案；
设租赁总租金为元，根据总租金每辆车的租金金额租车辆数，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可找出最经济的租赁车辆方案．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

24.【答案】 

【解析】解：，
解得：，
当时，
，
解得：，故不符合题意；
，
解得：，故符合题意；
，
解得：，
故不等式组的解集是：，故符合题意；
故答案为：；
是方程组与不等式的“理想解”，
，
解得：，
，
，
解得：；
当时，方程的解都是此方程与不等式的“理想解”，
，
解得：，
，
解得：，
，
整理得：，
，
且满足条件的整数有且只有一个，
，
，
整理得：，
，
解得：，
．
根据“理想解”的定义进行求解即可；
把代入相应的方程组和不等式，从而求得；
根据“理想解”的定义，可求得，，从而得到，结合且满足条件的整数有且只有一个，可得到，从而可求的范围．
本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次方程的解，解二元一次方程组，解答的关键是对相应的知识的掌握与灵活运用．
 

25.【答案】解：是的立方根，
，
方程是关于、的二元一次方程，
，，
，，
为不等式组的最大整数解，
，
，，．

存在点使得．
理由：过点作的平行线交轴负半轴的点即为符合条件的点．


，等底等高面积相等，
，
即
由，，
，，
是等腰直角三角形

，

是等腰直角三角形

．
如图中，作轴于，延长交轴于，则，

当点在点右侧时，设，
，
，
，
解得，
，
根据对称性当与关于点对称时，的面积也等于四边形的面积，
此时，
综上所述，满足条件的点的横坐标为或． 

【解析】本题考查几何变换综合题、三角形面积、等高模型、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用等高模型解决面积问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
根据题意求出、、的值即可解决问题；
存在点使得，过点作的平行线交轴负半轴的点即为符合条件的点想办法证明是等腰直角三角形即可解决问题；
如图中，作轴于，延长交轴于，可得，当点在点右侧时，设，构建方程即可解决问题，再根据对称性求解点坐标即可．