2022-2023学年湖南省衡阳市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省衡阳市七年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各式是一元一次方程的是( )
A. 2x=5+3yB. y2=y+4C. 3x+2=1−xD. x+1x=2
2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A. 3cm、4cm、5cmB. 3cm、3cm、7cm
C. 4cm、5cm、10cmD. 3cm、8cm、5cm
3. 下列图形即是轴对称图形又是中心对称图形的共有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4. 解方程1−x+36=x2，去分母，得( )
A. 1−x−3x=3B. 6−x−3=3xC. 6−x+3=3xD. 1−x+3=3x
5. 只用下列一种正多边形，能铺满地面的是( )
A. 正五边形B. 正八边形C. 正六边形D. 正十边形
6. 已知aA. 4a<4bB. a+47. 下列说法不正确的是( )
A. 三角形三条中线都在三角形内部B. 三角形的外角和为360°
C. 三角形三条角平分线都在三角形内部D. 三角形三条高都在三角形内部
8. 已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是( )
A. 正五边形B. 正六边形C. 正七边形D. 正八边形
9. 已知△ABC的周长为18，将△ABC沿着BC方向平移5个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长是( )
A. 26B. 27C. 28D. 29
10. 如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，若△ABC的面积为4，则△ACE的面积为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11. 一项工程，甲单独做5天完成，乙单独做8天完成.若甲先做1天，然后甲、乙合作完成了此项工作，设乙做了x天，则可列方程为( )
A. x+15−x8=1B. x+15+x8=1C. x−15−x8=1D. x−15+x8=1
12. 关于x的不等式组x−a≥03−2x>−1的整数解共有5个，则a的取值范围是( )
A. a=−3B. −4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 已知方程x−3y=5，用含y的代数式表示x，则x= ______ ．
14. 某多边形的内角和与外角和相等，这个多边形的边数是______．
15. 如图所示，两个三角形关于某条直线对称，则α= ______ ．
16. 若(m+1)x|m|+2>0是关于x的一元一次不等式，则m=______．
17. 如图，在△ABC中，AB=3cm，BC=4cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为______cm．
18. 如图，已知直角三角形ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，使点C的对应点D恰好落在边AB上，E为点B的对应点，设∠BAC=a，则∠BED= ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
解方程：2(x−1)=3x+1
20. (本小题6.0分)
解方程组x−2y=−33x+y=5．
21. (本小题8.0分)
解关于x的不等式组2x−3<6−x43x+2≥6−2x3，并把解集在数轴上表示出来．
22. (本小题8.0分)
如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点O在格点上．
(1)画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于直线OP成轴对称．
(2)画△A″B″C″，使△A″B″C″与△A′B′C′关于点O成中心对称．
23. (本小题8.0分)
已知：关于x，y的方程组2x+y=4a+9x−4y=5a+6；
(1)若y=1，求x，a的值．
(2)若方程组的解满足x−y>0，求a的取值范围．
24. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1=∠D．
(1)求证：DF/​/BC；
(2)当∠A=40°，∠DFE=36°时，求∠2的度数．
25. (本小题10.0分)
某中学计划购买A型和B型课桌凳共100套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用20元，且购买3套A型和2套B型课桌凳共需440元．
(1)求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？
(2)学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过8560元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的3倍，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？分别列出来；哪种方案的总费用最低？
26. (本小题12.0分)
如图，有一副直角三角板如图1放置(其中∠D=45°，∠C=30°)，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
(1)在图1中，∠DPC= ______ ；
(2)①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC//DB成立；
②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD=∠BPM时，求旋转的时间是多少？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.方程2x=5+3y是二元一次方程，选项A不符合题意；
B.方程y2=y+4是一元二次方程，选项B不符合题意；
C.方程3x+2=1−x是一元一次方程，选项C符合题意；
D.方程x+1x=2是分式方程，选项D不符合题意．
故选：C．
利用一元一次方程的定义，逐一分析四个选项，即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的定义，牢记“只含有一个未知数(元)，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、3+4>5，符合三角形三边关系，故能构成三角形，符合题意；
B、3+3<7，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形，不符合题意；
C、5+4<10，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形，不符合题意．
D、3+5=8，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形，不符合题意；
故选：A．
根据三角形三边关系可进行求解．
本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：左起第一和第二两个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；第三个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形．
所以既是轴对称图形又是中心对称图形的共有2个．
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
4.【答案】B
【解析】解：1−x+36=x2，
去分母得，6−(x+3)=3x，
去括号得，6−x−3=3x，
故选：B．
方程两边同时乘以6，然后去括号即可求解．
本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、正五边形的一个内角度数为180°−360°÷5=108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，不符合题意；
B、正八边形的一个内角度数为180°−360°÷8=135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，不符合题意；
C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．符合题意；
D、正十边形的每个内角是144°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，故该选项不符合题意；
故选：C．
分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
本题考查了平面镶嵌(密铺)，掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、不等式的两边都乘以一个正数，不等号的方向不变，故A正确；
B、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故B正确；
C、不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，故C错误；
D、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故D正确；
故选：C．
根据不等式的性质1，可判断B、D，根据不等式的性质2，可判断A，根据不等式的性质3，可判断C．
本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．
7.【答案】D
【解析】解：A、三角形三条中线都在三角形内部，说法正确，不符合题意；
B、三角形的外角和为360°，说法正确，不符合题意；
C、三角形三条角平分线都在三角形内部，说法正确，不符合题意；
D、只有锐角三角形三条高都在三角形内部，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断即可．
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设所求正n边形边数为n，
则60°⋅n=360°，
解得n=6．
故正多边形的边数是6．
故选：B．
多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成60°n，列方程可求解．
本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
9.【答案】C
【解析】解：由平移的性质可得，BE=CF=AD=5，
∵△ABC的周长为18，即AB+BC+AC=18，
∴四边形ABFD的周长为AB+BC+CF+DF+AD=18+5+5=28，
故选：C．
根据平移的性质得到BE=CF=AD=5，再根据周长的定义进行计算即可．
本题考查平移的性质，理解平移的定义，掌握平移的性质是正确解答的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABC的面积为4，
∴△ADC的面积为：12×4=2，
∵点E是AD的中点，
∴△ACE的面积为：12×2=1，
故选：A．
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可．
本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解答本题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：依题意得：x+15+x8=1．
故选：B．
根据甲完成的工程量+乙完成的工程量=总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：x−a≥0①3−2x>−1②，
解①得：x≥a，
解②得：x<2，
则不等式组的解集是：a≤x<2，
不等式组有5个整数解，则−4故选：D．
首先解不等式组确定不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解有5个，即可得到一个关于a的不等式组，解不等式组即可求解．
此题考查的是一元一次不等式的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
13.【答案】3y+5
【解析】解：x−3y=5，
解得x=3y+5．
故答案为：3y+5．
把y看作已知数表示出x即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
14.【答案】四
【解析】解：设这个多边形是n边形，
则(n−2)⋅180°=360°，
解得n=4．
故答案为：四．
根据多边形的内角和公式与外角和定理列式进行计算即可求解．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记内角和公式，外角和与多边形的边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．
15.【答案】30°
【解析】解：∵两个三角形关于某条直线对称，
∴α=180°−115°−35°=30°．
故答案为30°．
利用轴对称图形的性质得出对应角相等，进而得出答案．
此题主要考查了轴对称图形的性质，得出对应角相等是解题关键．
16.【答案】1
【解析】解：∵(m+1)x|m|+2>0是关于x的一元一次不等式，
∴m+1≠0，|m|=1．
解得：m=1．
故答案为：1．
根据一元一次不等式的定义可知m+1≠0，|m|=1，从而可求得m的值．
本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的特点是解题的关键．
17.【答案】7
【解析】解：由翻折的性质可知；AE=EC．
∴BE+AE=BE+EC=BC=4．
∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+BC=3+4=7．
故答案为：7．
由翻折的性质可知AE=EC，从而得到BE+AE=BE+CE=4，从而得到△ABE的周长=AB+BC．
本题主要考查的是翻折的性质，由翻折的性质将三角形的周长转为AB与BC的和是解题解题的关键．
18.【答案】12α
【解析】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，使点C的对应点D恰好落在边AB上，E为点B的对应点，
∴∠DAE=∠BAC=a，∠ADE=∠ACB=90°，AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ABE=12(180°−α)=90°−12α，
在Rt△BDE中，∠BED=90°−∠DBE=90°−(90°−12α)=12α.
故答案为：12α.
先利用旋转的性质得到∠DAE=∠BAC=a，∠ADE=∠ACB=90°，AE=AB，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ABE=90°−12α，然后利用互余可表示出∠BED的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
19.【答案】解：去括号，可得：2x−2=3x+1，
移项，可得：2x−3x=1+2，
合并同类项，可得：−x=3，
系数化为1，可得：x=−3．
【解析】去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，解答此题的关键是要明确解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
20.【答案】解：x−2y=−3①3x+y②，
①+②×2得，x+6x=−3+10，
解得：x=1，
将x=1代入①1−2y=−3，
解得：y=2，
∴原方程组的解为：x=1y=2．
【解析】根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
21.【答案】解：2x−3<6−x①43x+2≥6−2x3②，
解不等式①得：x<3，
解不等式②得：x≥0，
∴原不等式组的解集为：0≤x<3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′为所作；
(2)如图，△A″B″C″为所作．

【解析】(1)利用网格特点和对称的性质，分别画出A、B、C关于OP的对称点即可；
(2)延长A′O到A″使OA″=OA′，延长B′O到B″使OB″=OB′，延长C′O到C″使OC″=OC′，从而得到△A″B″C″．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
23.【答案】解：(1)若y=1，则2x+1=4a+9x−4=5a+6，
整理得x−2a=4①x−5a=10②，
①−②得3a=−6，
解得a=−2，
把a=−2代入①得x+4=4，
解得x=0，
故x，a的值分别为0，−2；
(2)2x+y=4a+9①x−4y=5a+6②，
①+②得：3x−3y=9a+15，即x−y=3a+5，
又∵x−y>0，
∴3a+5>0，
解得：a>−53，
∴a的取值范围为a>−53．
【解析】(1)解关于x、a的方程组即可；
(2)利用(①+②)÷3，可求出x−y=3a+5，结合x−y>0，可得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了解二元一次方程组的解、二元一次方程组的解，解一元一次不等式，解题的关键是：(1)重组方程组求出x、a的值是解题的关键；(2)得到关于a的不等式．
24.【答案】(1)证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠1，
又∠1=∠D，
∴∠DCB=∠D，
∴DF//BC．
(2)∵DF/​/BC，∠DFE=36°，
∴∠B=∠DFE=36°，
在△ABC中，∠A=40°，∠B=36°，
∴∠ACB=180°−40°−36°=104°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠1=12∠ACB=52°，
∴∠2=180°−40°−52°=88°．
【解析】(1)根据CD平分∠ACB得到∠DCB=∠1，再由∠1=∠D等量代换推出∠DCB=∠D，根据“内错角相等，两直线平行．”即可得证；
(2)先根据平行线的性质求出∠B的度数，然后根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，由CD平分∠ACB推出∠1的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出∠2的度数．
本题主要考查三角形内角和定理和平行线的性质与判定，灵活运用三角形内角和等于180°和平行线的判定和性质定理是解决问题的关键．
25.【答案】解：设购买一套A型课桌凳需a元，购买一套B型课桌凳需b元，
根据题意，得a+20=b3a+2b=440，
解得：a=80b=100，
答：购买一套A型课桌凳需80元，购买一套B型课桌凳需100元；
(2)解：设购买A型课桌凳x套，则购买B型课桌凳(100−x)套，根据题意得，
80x+100(100−x)≤8560x≤3(100−x)，
解得：72≤x≤75，
所以购买方案有以下四种，
方案一：购买A型课桌凳72套，购买B型课桌凳28套；
方案二：购买A型课桌凳73套，购买B型课桌凳27套；
方案三：购买A型课桌凳74套，购买B型课桌凳26套；
方案四：购买A型课桌凳75套，购买B型课桌凳25套，
方案一总费用为：72×80+28×100=8560元，
方案二总费用为：73×80+27×100=8540元，
方案三总费用为：74×80+26×100=8520元，
方案四总费用为：75×80+25×100=8500元，
∴方案四，费用最低．
【解析】(1)设购买一套A型课桌凳需a元，购买一套B型课桌凳需b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
(2)设购买A型课桌凳x套，则购买B型课桌凳(100−x)套，根据题意列出一元一次不等式组，根据不等式组的整数解即可求解．
此题主要考查了一元一次方程的应用和不等式组的应用以及一次函数的增减性，根据已知得出不等式组，求出a的值是解题关键．
26.【答案】75°
【解析】解：(1)∵∠BPD=∠D=45°，∠APC=60°，
∴∠DPC=180°−45°−60°=75°，
故答案为：75°；
(2)①如图1，此时，BD//PC成立，
∵PC//BD，∠DBP=90°，
∴∠CPN=∠DBP=90°，
∵∠C=30°，
∴∠CPA=60°，
∴∠APN=30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图2，PC//BD，
∵PC//BD，∠PBD=90°，
∴∠CPB=∠DBP=90°，
∵∠C=30°，
∴∠CPA=60°，
∴∠APM=30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转D的角度为180°+30°=210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
综上所述，当旋转时间为3或21秒时，PC//DB成立；
②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN=3t°，∠BPM=2t°，
∴∠BPN=180°−∠BPM=180°−2t°，
∴∠CPD=360°−∠BPD−∠BPN−∠APN−∠APC=360°−45°−(180°−2t°)−(3t°)−60°=75°−t°，
当∠CPD=∠BPM，即2t°=75°−t°，
解得：t=25，
∴当∠CPD=∠BPM，求旋转的时间是25秒．
(1)根据平角的定义即可得到结论；
(2)①如图1，根据平行线的性质得到∠CPN=∠DBP=90°，求得∠APN=30°，于是得到结论；如图2，根据平行线的性质得到∠CPB=∠DBP=90°，根据三角形的内角和得到∠CPA=60°，求得∠APM=30°，于是得到结论；
②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN=3t°，∠BPM=2t°，根据周角的定义得到∠CPD=360°−∠BPD−∠BPN−∠APN−∠APC=360°−45°−(180°−2t°)−(3t°)−60°=75°−t°，列方程即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键．