2022-2023学年福建省漳州二中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省漳州二中高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知中，角，，的对边分别为，，，，，，则(    )

A.  B.  C.  D. 或

3.  已知向量，，，若，则实数的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的函数的图象关于原点对称，则的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知的顶点坐标分别为，，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知平面向量，，其中，，的夹角是，若为任意实数，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知正四棱台上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则(    )

A. 正四棱台的高为 B. 正四棱台的斜高为
C. 正四棱台的表面积为 D. 正四棱台的体积为

10.  下列说法中正确的为(    )

A. 若，，则
B. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底
C. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D. 非零向量和满足，则与的夹角为

11.  中，内角，，的对边分别为，，，已知：：：：，点是边上的动点，则下列说法正确的是(    )

A. ：：：：
B.
C. 若，则
D. 若，则的最小值为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

12.  写出一个同时满足下列两个性质的函数： ______ ．
为偶函数；
在上的最大值为．

13.  在中，角，，所对的边分别为，，，，，当的面积等于时，______．

14.  如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为，已知，则山的高度为______．
 

15.  正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知是复数，为实数，为纯虚数为虚数单位．
求复数；
求的模．

17.  本小题分
已知．
求的值；
求的值．

18.  本小题分
已知．
将表示成的形式；
求在上的最大值．

19.  本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若，，求，的值．

20.  本小题分
如图，在菱形中，．
若，求的值；
若，，求．

21.  本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，．
证明：；
求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故．
故选：．
求得后，再求模长即可．
本题主要考查复数的模长公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以由正弦定理可得，
所以或，
因为，
所以，
所以．
故选：．
运用正弦定理，结合三角形大边对大角的性质进行求解即可．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：；；
，
，解得．
故选：．
利用向量的坐标运算即可．
本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
又，
由得．
故选：．
先利用倍角公式将条件变形，然后结合列方程组求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为的外接圆圆心为，且，
由向量加法的平行四边形法则可知：
四边形为平行四边形，
又，可知四边形为菱形，
故A，设，
故向量在向量上的投影向量为．
故选：．
根据题设条件，推出四边形为平行四边形，进而根据，得出四边形为菱形，即可求得结论．
本题考查平面向量线性运算和投影向量的定义，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据图象可得：，
，．
又，，
，
，又为奇函数，
，
，
当时，，
故选：．
根据图象先求出的解析式，从而得的解析式，再根据奇函数的概念，建立方程，即可求解．
本题考查三角函数的图像性质，函数的奇偶性，化归转化思想，属中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
所在直线方程为，即．
到直线的距离，
的面积为．
故选：．
利用两点间的距离公式求得，再求出所在直线方程，利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，代入三角形面积公式得答案．
本题考查两点间的距离公式及点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意，作，使，如图，
显然对，的终点的轨迹是线段确定的直线，
于是为点与直线上的点的距离，
过作线段于，
所以．
故选：．
根据给定条件，作出几何图形，利用图形结合向量的几何意义求出最小值作答．
本题考查平面向量的模，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，正四棱台上下底面对角线长为，
正四棱台的高；
对于，正四棱台的斜高，B正确；
对于，正四棱台侧面积为，上下底面面积分别为，，
正四棱台的表面积，C正确；
对于，正四棱台的体积，D正确．
故选：．
由正四棱台的结构特征可知其高即为对角面的等腰梯形的高，斜高即为侧面等腰梯形的高，由上下底长度和腰长可确定正误；根据棱台表面积和体积的求法可确定正误．
本题考查了正四棱台的相关计算，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的共线，向量的基底的定义，向量的夹角公式，向量的平行四边形法则，属于基础题．
直接利用向量的共线，向量的基底的定义，向量的夹角公式，向量的平行四边形法则依次判断选项即可．

【解答】

解：对于：若，则不一定平行，故A错误；
对于：向量，，
所以不共线，所以可以作为平面内的所有向量的一组基底，故B正确；
对于：已知，，则，
所以：，且不共线．
即，
解得，故C错误；
对于：非零向量和满足，
则以为边长的三角形为等边三角形，所以与的夹角为，
故D正确．
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：首先：由：：：：，设，，解得，，
故A正确；
对于，，故，故B错误；
对于，，故，即，故E为的四等分点，且，故C正确；
对于，若，则，，故以中点为原点，则，
如图建立平面直角坐标系，则，，设，，
，显然当时，的最小值为，故D正确．
故选：．
利用待定系数法求出：：，然后借助于余弦定理、平面向量的线性运算法则、以及坐标法逐项求解．
本题考查平面向量的线性运算以及数量积的性质和运算，属于中档题．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：因为为偶函数，在上的最大值为，
所以满足条件，
故答案为：答案不唯一．
根据已知条件可结合基本函数的性质可求得答案
本题主要考查了函数性质在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意，可得：，即，
，
由余弦定理，得，
．
故答案为：．
由，可求，由余弦定理可求的值．
该题考查余弦定理及其应用，考查三角形面积公式，考查学生的运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】 
本题考查解三角形的应用，考查正弦定理，属于中档题．
首先在中，算出，然后在中，利用正弦定理算出，最后在中，利用三角函数的定义即可算出山的高度．
【解答】
解：根据题意，可得中，，，

中，，，
，
由正弦定理，得，
在中，．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：如图，正四棱锥中，为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心必在正四棱锥的高线所在的直线上，延长交球面于一点，连接，，由球的性质可知为直角三角形且，根据平面几何中的射影定理可得，因为，
所以侧棱长，，
所以，所以，
所以．
故答案为：．
正四棱锥的外接球的球心在它的高上，求出球的半径，求出球的表面积．
本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．
 

16.【答案】解：设复数，
因为为实数，所以，则复数，
又因为为纯虚数，
则，得，
所以复数．
由可知复数，则，
所以的模为． 

【解析】设复数，根据题意为实数，为纯虚数，利用复数的运算即可求解；
根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可求解．
本题主要考查复数的运算，考查转化能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为，
所以，
所以．
方法一：．
方法二：因为，，
所以，
所以． 

【解析】由求出，最后利用两角和的正切公式求出结果．
方法一：利用诱导公式和平方关系得到，求出结果；
方法二：利用平方关系求出，，再利用诱导公式求出结果．
本题主要考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】解




；
即；
因为，
所以，
所以，
所以
所以在上的最大值为． 

【解析】利用三角恒等变换公式化简变形即可，
由的范围，可得的范围，然后利用正弦函数的性质可求出其最大值．
本题考查两角和的正弦公式的应用及辅助角公式的应用，属于基础题．
 

19.【答案】解：已知，
由正弦定理得，
所以，
显然，
所以有，得，
因为角为内角，
所以；
由正弦定理可知，
由可知，因为，
由余弦定理可得，，
所以有，，
解得，． 

【解析】先用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换的公式化简求解即可；
先利用正弦定理找到边，的关系，然后根据条件利用余弦定理求解即可．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为在菱形中，．
故，
故，所以．
显然，
所以
，
因为菱形，且，，故，．
所以．
故式．
故． 

【解析】本题考查平面向量基本定理以及数量积的运算，考查运算能力，属于基础题．

结合向量线性运算的几何意义，用表示出向量，即可求出，的值，问题可解；

将也用表示，结合已知求得，然后结合数量积的定义求解即可．

21.【答案】证明：，
，
由余弦定理得：，即，
由正弦定理得：，
，
整理得：，即：，
又、，
，即：．
解：，
，
又，，
，
由正弦定理得：，
又，，，
，解得，
，
令，则，，
对称轴为，
在上单调递增，
当时，；当时，，
，即：的范围为． 

【解析】运用余弦定理得，再运用正弦定理边化角化简计算即可．
运用三角形内角范围求得角的范围，进而求得范围，运用边化角将问题转化为求关于的二次函数在区间上的值域．
本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．