2022-2023学年福建省泉州六中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省泉州六中高一（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了已知sin=35则cs等于等内容，欢迎下载使用。

A. A，B，C三点共线B. A，B、D三点共线
C. B，C，D三点共线D. A，C，D三点共线
2.在△ABC中，若A=45°,B=60°,BC=3 2，则AC=( )
A. 3 3B. 4 3C. 3D. 2 3
3.在边长为2的正方形ABCD中，E为BC中点，则AB⋅AE=( )
A. 2B. 4C. 2 5D. 5
4.已知角α是第三象限角，且满足3sin(α−π)−cs(3π2−α)=1，则tan(π−α)=( )
A. 3B. − 3C. 33D. − 33
5.已知sin(π3−x)=35则cs(x+π6)等于( )
A. −45B. −35C. 45D. 35
6.已知a=(1,1)，b=(−2,1)，则b在a上的投影向量为( )
A. (−12,−12)B. (−1,−1)C. (12,12)D. (1,1)
7.如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥．如图是根据如图作的简易侧视图(为便于计算，侧视图与实物有区别).在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上．已知AB=8m，BO=16m，PO=12m，PB⋅PC=0.根据物理学知识得12(PA+PB)+12(PC+PD)=2PO，则CD=( )
A. 28mB. 20mC. 31mD. 22m
8.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有(AM+AN)⋅BD=0.若AM+AN=xAB+yAD，x+y=3，则线段MN的最短长度为( )
A. 3B. 2C. 2 3D. 2 2
9.已知向量a=(−2,1)，b=(1,t)，则下列说法正确的是( )
A. 若a/​/b，则t的值为−2
B. |a+b|的最小值为1
C. 若|a+b|=|a−b|，则t的值为2
D. 若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是t<2
10.将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到如图所示的函数g(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象，则关于函数f(x)的说法，正确的是( )
A. 最小正周期为πB. 图象关于点(π3,0)对称
C. 图象关于直线x=−2π3对称D. 在区间[0,π2]上的值域为[ 22, 2]
11.一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离12 6海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为12 3海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，下面结论正确的有( )
A. AD=24B. CD=12
C. ∠CDA=60°或∠CDA=120°D. ∠CDA=60°
12.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA、SB、SC，则有SAOA+SBOB+SCOC=0，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是( )
A. 若OA+OB+OC=0，则O为△ABC的重心
B. 若OA+2OB+3OC=0，则SA：SB：SC=1：2：3
C. 则O为△ABC(不为直角三角形)的垂心，则tan∠BAC⋅OA+tan∠ABC⋅OB+tan∠ACB⋅OC=0
D. 若|OA|=|OB|=2，∠AOB=5π6，2OA+3OB+4OC=0，则S△ABC=92
13.若P1P=−13PP2，设P1P2=λPP1，则λ的值为______．
14.若向量a=(−3,1),b=(2,−k)，且a与b垂直，则实数k=______．
15.如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=2 3，点D在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______．
16.定义平面非零向量之间的一种运算“*”，记a*b=acsθ+bsinθ(其中θ是非零向量a，b的夹角).若e1，e2均为单位向量，且e1⋅e2=12，则|e1*( 3e2)|= ．
17.在①B=π4，②b=2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在△ABC中，已知A=π3，a= 6，_____，解这个三角形．
18.已知sinα=−4 37，α∈(−π2,0)．
(1)求cs(π4+α)的值；
(2)若sin(α+β)=−3 314，β∈(0,π2)，求β的值．
19.如图，M，N分别是△ABC的边BC，AB上的点，且BM=14BC，AN=12AB，AM交CN于P．
(1)若AM=xAB+yAC，求x−y的值；
(2)若AB=4，AC=3，∠BAC=60°，求AP⋅BC的值．
20.已知顶点在坐标原点，始边在x轴正半轴上的锐角α的终边与单位圆交于点A(12, 32)，将角α的终边绕着原点O逆时针旋转φ(0<φ<π2)得到角β的终边．
(1)请写出α与β的关系式，并求当φ=π4时，sin2βsinα的值；
(2)求sinβcsφ的取值范围．
21.如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为π3的扇形，点A在弧PQ上(异于点P，Q)，过点A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C.记∠AOB=θ，四边形ACOB的周长为l．
(1)求l关于θ的函数关系式；
(2)当θ为何值时，l有最大值，并求出l的最大值．
22.若函数f(x)满足f(x)=f(x+3π2)且f(π4+x)=f(π4−x)(x∈R)，则称函数f(x)为“M函数”．
(1)试判断f(x)=sin43x是否为“M函数”，并说明理由；
(2)函数f(x)为“M函数”，且当x∈[π4,π]时，f(x)=sinx，求y=f(x)的解析式，并写出在[0,3π2]上的单调递增区间；
(3)在(2)的条件下，当x∈[−π2,3kπ2+π](k∈N)时，关于x的方程f(x)=a(a为常数)有解，记该方程所有解的和为S(k)，求S(3)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵AB=a+5b，BC=−2a+8b，
∴不存在λ，使AB=λBC，
故A，B，C三点不共线，
故选项A错误；
∵BD=BC+CD=a+5b，
∴AB=BD，
∴A，B、D三点共线，
故选项B正确；
∵BC=−2a+8b，CD=3a−3b，
∴不存在λ，使CD=λBC，
故B，C，D三点不共线，
故选项C错误；
∵AC=AB+BC=−a+13b，CD=3a−3b，
∴不存在λ，使AC=λCD，
故A，D，C三点不共线，
故选项D错误；
故选：B．
利用平面向量的线性运算及平面向量共线定理对四个选项依次判断即可．
本题考查了向量共线定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，A=45°,B=60°,BC=3 2，
由正弦定理得，BCsinA=ACsinB，即3 2sin45°=ACsin60∘，
解得：AC=3 3．
故选：A．
由已知结合正弦定理即可直接求解．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：如图，
AB⋅AE=AB⋅(AB+BE)=AB2+AB⋅AE=|AB|2=4．
故选：B．
易知AE=AB+BE，代入AB⋅AE，展开化简即可得到答案．
本题考查平面向量的线性运算，考查数量积的求解，考查转化思想，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵3sin(α−π)−cs(3π2−α)=1，即−3sinα+sinα=−2sinα=1，
∴sinα=−12，又角α是第三象限角，
∴csα=− 1−sin2α=− 32，
∴tanα= 33，
∴tan(π−α)=−tanα=− 33，
故选：D．
化简3sin(α−π)−cs(3π2−α)=1得sinα=−12，又角α是第三象限角，可求得tanα，再利用诱导公式化简可得答案．
本题考查了运用诱导公式化简求值，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
由诱导公式化简后即可求值．
本题主要考察了诱导公式的应用，属于基础题．
【解答】
解：cs(x+π6)=sin[π2−(x+π6)]=sin(π3−x)=35．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】解：因为a=(1,1)，b=(−2,1)，
所以b在a上的投影向量为a⋅b|a|2a=−2+11+1(1,1)=(−12,−12).
故选：A．
根据投影向量的定义计算即可．
本题考查了投影向量的定义与应用问题，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由12(PA+PB)+12(PC+PD)=2PO，
则12(OA+OB−2OP)+12(OC+OD−2OP)=2PO，
即OA+OB+OC+OD=0，
又已知AB=8m，BO=16m，PO=12m，PB⋅PC=0，
则OA=24，OB=16，OC=9，
即OD=31，
则CD=31−9=22，
故选：D．
由12(PA+PB)+12(PC+PD)=2PO，则12(OA+OB−2OP)+12(OC+OD−2OP)=2PO，即OA+OB+OC+OD=0，然后结合已知求解即可．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了运算能力，属基础题．
8.【答案】D
【解析】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，
有(AM+AN)⋅BD=[(AB+12AD)+(AD+12AB)]⋅BD=32(AB+AD)⋅(AD−AB)=32(|AD|2−|AB|2)=0，
所以AD=AB，则矩形ABCD为正方形，
设NC=λAB，MC=μAD，则AM+AN=AB+(1−μ)AD+(1−λ)AB+AD=xAB+yAD．
则x=2−λ，y=2−μ.又x+y=3，所以λ+μ=1．
故NC+MC=4，则MN= MC2+NC2≥ (MC+NC)22= 162=2 2(当且仅当MC=NC=2时取等号)．
故线段MN的最短长度为2 2．
故选：D．
先根据M，N满足的条件，将(AM+AN)⋅BD=0化成AD,AB的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将AM+AN=xAB+yAD，左边用AB,AD表示出来，结合x+y=3，即可得NC+MC=4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．
本题考查平面向量的和、差、数量积的运算以及基本不等式的运算，同时考查学生分析问题和解决问题的能力．属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对A：若a/​/b，则−2t−1=0，解得t=−12，故A错误；
对B：|a+b|= (−2+1)2+(1+t)2= (t+1)2+1，则当t=−1时，|a+b|取最小值1，故B正确；
对C：若|a+b|=|a−b|，所以|a+b|²=|a−b|²，即(−2+1)²+(1+t)²=(t−1)²+(1+2)²，解得t=2，故C正确；
对D：若a与b的夹角为钝角，则cs=a⋅b|a||b|=t−2 5⋅ 1+t2<0，且cs≠−1，解得t<2且t≠−12，故D错误；
故选：BC．
对A：利用向量平行的坐标运算性质即可判断；
对B：根据模的运算公式代入计算，利用二次函数性质即可判断；
对C：根据模的运算公式，列出关于t的方程，解出即可判断；
对D：根据向量夹角是钝角，得到a⋅b|a||b|<0且a⋅b|a||b|≠−1，即可判断．
本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量平行，向量模的运算，向量夹角公式，属于中档题．
10.【答案】CD
【解析】解：根据函数的图象，
得到A= 2，T4=7π12−π3=π4，
故T=π，
所以ω=2；
当x=π3时， 2sin(2π3+φ)=0，
由于|φ|<π2，
故φ=π3；
故函数g(x)= 2sin(2x+π3)；
将函数的图象的横坐标伸长为原来的2倍，得到y= 2sin(x+π3)再将函数的图象向右平移π6个单位，得到f(x)= 2sin(x+π6)的图象；
故函数的最小正周期为2π，故A错误；
当x=π3时，f(π3)= 2，故B错误；
当x=−2π3时，f(−2π3)=− 2，故C正确；
当x∈[0,π2]时，x+π6∈[π6,2π3]，故f(x)∈[ 22, 2]，故D正确．
故选：CD．
首先利用函数的图象求出函数g(x)的关系式，进一步利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的f(x)的关系式，最后利用正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查正余弦定理解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题．
根据题设中的方位角画出△ABD，△ACD，在△ABD中利用正弦定理可求出AD的长，在△ACD中利用余弦定理求出CD的长，利用正弦定理求∠CDA的大小，进而得到答案．
【解答】
解：如图，
在△ABD中，B=45°，由正弦定理有ADsin45∘=ABsin60∘=12 6 32=24 2,AD=24．
在△ACD中，余弦定理有CD2=AC2+AD2−2AC×AD×cs30°，
因为AC=12 3,AD=24,所以CD=12，
由正弦定理有CDsin30∘=ACsin∠CDA,sin∠CDA= 32，故∠CDA=60°或者∠CDA=120°．
因AD>CD，故∠CDA为锐角，所以∠CDA=60°，
故选：ABD．
12.【答案】D
【解析】解：对于A，设BC的中点为D，则OB+OC=2OD=−OA，
所以O，A，D三点共线，且AO=23AD，
设E，F分别为AB，AC中点，同理可得：
CO=23CE，BO=23BF，
所以O为△ABC的重心，故A正确；
对于B，由奔驰定理可知，若OA+2OB+3OC=0，
则SA：SB：SC=1：2：3，故B正确；
对于C，S△BOC=12|OB||OC|sin∠BOC，
S△AOC=12|OA||OC|sin∠AOC，
S△AOB=12|OA||OB|sin∠AOB，
又OA⋅OB=|OA||OB|cs∠AOB=−|OA||OB|cs∠ACB，
OB⋅OC=|OB||OC|cs∠BOC=−|OB||OC|cs∠BAC，
又OB⋅AC=OB⋅(OC−OA)=OB⋅OC−OA⋅OB=0，
∴|OA|cs∠ACB=|OC|cs∠BAC，
即|OA|：|OC|=cs∠BAC：cs∠ACB，
同理可得：|OA|：|OB|：|OC|=cs∠BAC：cs∠ABC：cs∠ACB，
∴S△BOC：S△AOC：S△AOB
=sin∠BACcs∠BAC：sin∠ABCcs∠ABC：sin∠ACBcs∠ACB
=tan∠BAC：tan∠ABC：tan∠ACB，
由奔驰定理可得：tan∠BAC⋅OA+tan∠ABC⋅OB+tan∠ACB⋅OC=0，故C正确；
对于D，在△AOB中，由|OA|=|OB|=2，∠AOB=5π6可得：
S△AOB=12×2×2×12=1，
又2OA+3OB+4OC=0，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=2：3：4，
则S△BOC=12，S△AOC=34，
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=1+12+34=94，故D错误．
故选：D．
对于A，设BC的中点为D，易知O，A，D三点共线，且AO=23AD，由此容易判断；
对于B，直接由题意得出结论；
对于C，由O为△ABC的垂心可得，OA⋅OB=OB⋅OC=OA⋅OC，再结合三角形的面积公式以及平面向量的数量积运算化简，对照奔驰定理即可得出结论；
对于D，求出△AOB的面积，再根据奔驰定理求得△BOC及△AOC的面积，即可得到△ABC的面积．
本题考查平面向量的综合运用，涉及了平面向量的线性运算，三角形的面积公式，同角三角函数的基本关系等知识点，属于难题．
13.【答案】2
【解析】解：因为P1P=−13PP2，所以PP2=−3P1P=3PP1，
所以P1P2=PP2−PP1=3PP1−PP1=2PP1，
而P1P2=λPP1，所以λ=2．
故答案为：2．
利用平面向量加减法的三角形法则及数乘向量的意义把P1P2、P1P与PP2用PP1表示出即可得解．
本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
14.【答案】−6
【解析】解：已知向量a=(−3,1),b=(2,−k)，且a与b垂直，
则a⋅b=0，
整理得−6−k=0，
解得k=−6．
故答案为：−6．
直接利用向量的数量积和向量垂直的充要条件的应用求出k的值．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
15.【答案】 2
【解析】解：由A向BC作垂线，垂足为E，
∵AB=AC
∴BE=12BC= 3
∵AB=2
∴csB=BEAB= 32
∴B=30°
∴AE=BE⋅tan30°=1
∵∠ADC=45°
∴AD=AEsin∠ADC= 2
故答案为： 2
本题主要考查了解三角形问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
由A向BC作垂线，垂足为E，根据三角形为等腰三角形求得BE，进而在Rt△ABE中，利用BE和AB的长求得∠B，则AE可求得，然后在Rt△ADE中利用AE和∠ADC求得AD．
16.【答案】 132
【解析】【分析】
本题考查平面向量数量积的运算性质，向量模的求解公式，属于中档题．
由数量积的定义可得e1，e2的夹角，利用新定义和向量模长的计算公式以及数量积的定义可得答案．
【解答】
解：因为e1⋅e2=12，即1×1×cs=12，所以cs=12，
由于e1、e2之间夹角范围为0,π，
故sin= 32，
所以e1*( 3e2)=12e1+ 3× 32e2=12e1+32e2，
则|e1*( 3e2)|= 14+94+2×12×32×12= 132，
故答案为： 132．
17.【答案】解：方案一：选条件①．
由正弦定理，得b=asinBsinA= 6sinπ4sinπ3=2，
由三角形内角和定理，得C=π−A−B=π−π3−π4=5π12，
由正弦定理，得c=asinCsinA= 6sin7π12sinπ3= 6sin(π4+π3) 32
=2 2(sinπ4csπ3+csπ4sinπ3)=2 2( 22×12+ 22× 32)= 3+1．
方案二：选条件②．
由正弦定理，得sinB=bsinAa=2sinπ3 6= 22，
因为b由三角形内角和定理，得C=π−A−B=π−π3−π4=5π12，
由正弦定理，得c=asinCsinA= 6sin7π12sinπ3= 6sin(π4+π3) 32
=2 2(sinπ4csπ3+csπ4sinπ3)=2 2( 22×12+ 22× 32)= 3+1．
【解析】根据正弦定理，内角和定理，余弦定理，结合三角恒等变换讨论求解即可．
本题考查利用正余弦定理解三角形，属于基础题．
18.【答案】解(1)因为sinα=−4 37，α∈(−π2,0)，
所以csα= 1−sin2α=17．
从而 cs(π4+α)，
=csπ4csα−sinπ4sinα
= 22×17− 22×(−4 37)，
= 2+4 614．
(2)因为α∈(−π2,0)，β∈(0,π2)，
所以α+β∈(−π2,π2).
因为sin(α+β)=−3 314，
所以cs(α+β)= 1−sin2(α+β)=1314．
从而 sinβ=sin[(α+β)−α]，
=sin(α+β)csα−cs(α+β) sinα
=−3 314×17−1314×(−4 37)= 32．
因为β∈(0,π2)，
所以β=π3．
法二：因为 sin(α+β)=−3 314，
所以−4 37csβ+17sinβ=−3 314．
从而有2sinβ−8 3csβ=−3 3，又sin2β+cs2β=1，
解得csβ=12，sinβ= 32或csβ=2398，sinβ=−5598 3(舍去)．
因为β∈(0,π2)，
所以β=π3．
【解析】(1)直接利用已知条件和同角三角函数关系式的变换求出结果．
(2)利用和(1)同样的方式求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
19.【答案】解：(1)因为AM=AB+BM=AB+14BC=AB+14(AC−AB)=34AB+14AC；
∴x=34，y=14⇒x−y=12；
(2)过点N作ND//BC交AP于D；
则AD=DM；DN=12BM=12×13MC=16MC；
∴DP=16PM；
∴AP=47AM；
∴AP⋅BC=47AM⋅BC=47×(34AB+14AC)⋅(AC−AB)=17(3AB+AC)⋅(AC−AB)=17(AC2+2AB⋅AC−3AB2)；
∵AB=4，AC=3，∠BAC=60°，
∴AP⋅BC=17(32+2×3×4×cs60°−3×42)=−277．
【解析】(1)根据AM=AB+BM=AB+14BC=AB+14(AC−AB)=34AB+14AC；即可求解；
(2)过点N作ND//BC交AP于D；利用平行线的性质得到AP=47AM；再结合第一问的结论代入数量积计算即可
本题考查了数量积运算性质、平行线的性质以及向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)依题意知α与β的关系式为β=α+φ，
又由题意得sinα= 32，csα=12，
当φ=π4时，sin2βsinα=sin2(α+π4)sinα=sin(π2+2α)sinα=cs2αsinα=2cs2α−1sinα=2×(12)2−1 32=− 33；
(2)sinβcsφ=sin(π3+φ)csφ=( 32csφ+12sinφ)csφ= 32cs2φ+12sinφcsφ= 32×1+cs2φ2+14sin2φ=14sin2φ+ 34cs2φ+ 34=12sin(2φ+π3)+ 34，
∵0<φ<π2，∴π3<2φ+π3<4π3，
∴− 32∴sinβcsφ∈(0,2+ 34]．
【解析】(1)由A点坐标可得sinα和csα，利用二倍角公式代入计算可得答案；
(2)sinβcsφ=sin(π3+φ)csφ，利用两角和与差的正弦公式集合正弦函数的有界性可得sinβcsφ的取值范围．
本题主要考查了任意角三角函数的定义，考查了两角和与差的三角函数公式，属于中档题．
21.【答案】解：(1)在直角三角形OAB中，∵OA=1，∠AOB=θ，
∴OB=csθ，AB=sinθ．
在直角三角形OAC中，∵∠POQ=π3，∴∠AOC=π3−θ，
从而OC=cs(π3−θ)，AC=sin(π3−θ)．
∴l=sinθ+csθ+sin(π3−θ)+cs(π3−θ)，θ∈(0,π3)；
(2)由(1)知，l=sinθ+csθ+sin(π3−θ)+cs(π3−θ)
=sinθ+csθ+( 32csθ−12sinθ)+(12csθ+ 32sinθ)
= 3+12sinθ+ 3+32csθ
=( 3+1)(12sinθ+ 32csθ)
=( 3+1)sin(θ+π3)，θ∈(0,π3).
∵θ∈(0,π3)，∴θ+π3∈(π3,2π3)，
∴当且仅当θ+π3=π2，即θ=π6时，l取得最大值 3+1．
∴当θ=π6时，l取得最大值，最大值为 3+1．
【解析】本题考查简单的数学建模思想方法，考查三角函数的恒等变换应用，训练了三角函数最值的求法，是中档题．
(1)在直角三角形OAB中，由OA，∠AOB，求出OB=csθ，AB=sinθ，在直角三角形OAC中，由∠POQ=π3，可得∠AOC=π3−θ，从而求出OC=cs(π3−θ)，AC=sin(π3−θ)，则可求出l关于θ的函数关系式；
(2)由(1)知，l=sinθ+csθ+sin(π3−θ)+cs(π3−θ)，利用三角函数的诱导公式化简可得l=( 3+1)sin(θ+π3)，由θ∈(0,π3)，可得θ+π3∈(π3,2π3)，从而求出当θ+π3=π2，即θ=π6时，l取得最大值．
22.【答案】解：(1)f(x)=sin43x不是“M函数”．
∵f(π4+x)=sin43(π4+x)=sin(π3+43x)，f(π4−x)=sin43(π4−x)=sin(π3−43x)，
∴f(π4+x)≠f(π4−x)(x∈R)，
∴f(x)=sin43x不是“M函数”．
(2)∵函数f(x)满足f(x)=f(x+3π2)，∴函数f(x)的周期T=3π2，
∵f(π4+x)=f(π4−x)(x∈R)，∴f(x)=f(π2−x)(x∈R)，
当x∈[32kπ+π4,32kπ+π](k∈Z)时，f(x)=f(x−32kπ)=sin(x−32kπ)，(k∈Z)，
当x∈[32kπ−π2,32kπ+π4](k∈Z)时，f(x)=f[π2−(x−32kπ)]=cs(x−32kπ)，
∴f(x)=cs(x−32kπ),(32kπ−π2≤x≤32kπ+π4)sin(x−32kπ),(32kπ+π4≤x≤32kπ+π)，k∈Z．
∴函数f(x)在[0,3π2]上的单调增区间为[π4,π2]，[π,3π2].
(3)由(2)得函数f(x)在[−π2,π】上的图象为：

①当0≤a< 22或a=1时，f(x)=a(a为常数)有2个解，其和为π2，
②当a= 22时，f(x)=a(a为常数)有3个解，其和为34π，
③当 22∴当x∈[−π2,3kπ2+π)，(k∈N)时，记关于x的方程f(x)=a(a为常数)所有解的和为S(k)，
则S(3)=20π,(0≤a< 22,a=1)15π,a= 2240π,( 22【解析】(1)由不满足f(π4+x)≠f(π4−x)(x∈R)，得f(x)=sin43x不是“M函数”；
(2)求出函数f(x)的周期为T=3π2，f(x)=f(π2−x)(x∈R)，当x∈[32kπ+π4,32kπ+π](k∈Z)时，f(x)=f(x−32kπ)=sin(x−32kπ)，(k∈Z)；当x∈[32kπ−π2,32kπ+π4](k∈Z)时，f(x)=f[π2−(x−32kπ)]=cs(x−32kπ)，由此能求出函数在[0,3π2]上的单调递增区间；
(3)作出函数在[−π2,π]上的图象，数形结合能求出结果．
本题考查三角函数的图象、性质，考查三角函数恒等变换、三角函数型方程等问题，考查运算求解能力，是中档题．