2022-2023学年福建省福州十八中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省福州十八中高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设复数z满足z⋅(1+2i)=5，则z的虚部是( )
A. 2B. 2iC. −2D. −2i
2. 设集合M={x|x≤1或x≥3}，N={x|lg2x≤1}，则集合M∩N=( )
A. (−∞,1]B. (0,1]C. [1,2]D. (−∞,0]
3. 已知定义在R上的偶函数f(x)在(−∞,0]上是增函数，且f(−1)=0，则使f(x)>0的x的取值范围是( )
A. (−1,0)B. (0,1)
C. (−1,1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)
4. 在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且AE=3EC，则ED=( )
A. −12AB+14ACB. 12AB−23ACC. 12AB−14ACD. −12AB+23AC
5. 成昆线复线是国家西部大开发重点工程建设项目，是“一带一路”建设中连接南亚、东南亚国际贸易口岸的重要通道.线路并行于既有成昆铁路，全长约860公里，设计时速160公里，预计于2022年12月试运行.西昌到成都的列车运行时不仅速度比以前列车快而且噪声更小.我们用声强I(单位：W/m2)表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L(单位：dB)与声强I的函数关系式为：L=101g(I10−12).若提速前列车的声强级是100dB，提速后列车的声强级是50dB，则普通列车的声强是高速列车声强的( )
A. 106倍B. 105倍C. 104倍D. 103倍
6. 已知向量a,b满足a=5，b=6，a⋅b=−6，则cs=( )
A. −3135B. −1935C. 1735D. 1935
7. 设a=lg23，b=lg34，c=lgab，则下列关系正确的是( )
A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b
8. 如果函数f(x)=sinωx+ 3csωx的两个相邻零点间的距离为2，那么f(1)+f(2)+f(3)+…+f(9)的值为( )
A. 1B. −1C. 3D. − 3
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知向量a=(2,−1)，b=(−4,2)，c=(1,2)，则( )
A. a//bB. b⊥c
C. |a|=|c|D. ∃λ，μ∈R，使得c=λa+μb
10. 已知i为虚数单位，复数z1=a−2i，z2=2+ai，(a∈R)，下列结论正确的有( )
A. |z1|=|z2|B. z1−=z2
C. 若2(z1+z2)=z1⋅z2，则a=2D. 若z2=−i，则a=0
11. 已知a>0，b>0，a+b=2，则( )
A. 012. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且OP= 2，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是( )
A. PA⋅PC为定值
B. OA⋅OC的取值范围是[−2,0]
C. 当AC⊥BD时，AB⋅CD为定值
D. AC⊥BD时，|AC|⋅|BD|的最大值为12
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若向量a=(−4,3),b=(1,3)，则a在b方向上的投影向量坐标为______ ．
14. 复数z1=1+2i，z2=−2+i，z3=− 3− 2i，z4= 3− 2i，z1，z2，z3，z4在复平面内的对应点分别是A，B，C，D，则∠ABC+∠ADC= ______ ．
15. E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=______．
16. 如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=3DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，则m= ______ ；若△ABC的面积为3 32，则|AP|的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知复数z=(1+i)m2−3im+2i−1．
(1)当实数m为何值时，复数z为纯虚数；
(2)当实数m为何值时，复数z表示的点位于第四象限．
18. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2+c2−a2sinB=a2+c2−b2sinA．
(1)证明：A=B．
(2)若D为BC的中点，从①AD=4，②csC=14，③CD=2这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19. (本小题12.0分)
四边形ABCD中，AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(−2,−3)
(1)若BC//DA，试求x与y满足的关系式；
(2)满足(1)的同时又有AC⊥BD，求x，y的值及四边形ABCD的面积．
20. (本小题12.0分)
如图，函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象经过P(0, 22)，M(−π4,0)，N(3π4,0)三点．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标缩短到原来的12，得到g(x)图象.若h(x)=f2(x−π8)+g(x)，求函数h(x)的单调增区间．
21. (本小题12.0分)
某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测量AB=BD=7米，BC=5米，AC=8米，∠C=∠D．
(I)求AB的长度；
(Ⅱ)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设C计使建造费用最低(请说明理由)，最低造价为多少？( 2≈1.414, 3≈1.732)
22. (本小题12.0分)
设复平面中向量OP对应的复数为zP，给定某个非零实数z，称向量z(OP)=(Re(z⋅zP),Im(z⋅zP))为OP的z−向量．
(1)已知OA=(x0,y0)，求z(OA)；
(2)设v=(x,y)(x>0,y>0),i=(1,0),j=(0,1)的z−向量分别为OV′,OE,OF，已知S△OV′E=1，S△OV′F=2，求v的坐标(结果用z表示)；
(3)若对于满足S△OAB=1的所有A,B,z(OA)⋅OA+z(OB)⋅OB能取到的最小值为8，求实数z的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】j解：因为z⋅(1+2i)=5，
所以z=51+2i=5(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−2i，
所以z的虚部是−2．
故选：C．
根据复数的除法运算求解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题知，N={x|lg2x≤1}={x|0又M={x|x≤1或x≥3}，
则M∩N={x|0故选：B．
利用对数函数性质化简集合N，再结合交集的运算求解即可．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，在区间(−∞,0]上单调递增，且f(−1)=0，
∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减，且f(1)=f(−1)=0，
∴当x∈(−∞,0]时，f(x)>0⇔0=f(−1)当x∈(0,+∞)时，f(x)>0⇔f(x)>f(1)=0⇔0综上所述，x的取值范围是(−1,1)．
故选：C．
使用函数的奇偶性和单调性进行求解即可．
本题考查函数的奇偶性，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：如图，

∵AE=3EC，∴EC=14AC，
∵D为BC边的中点，CD=12CB=12AB−12AC，
∴ED=EC+CD=14AC+12AB−12AC=12AB−14AC．
故选：C．
可画出图形，根据条件可得出EC=14AC,CD=12AB−12AC，然后代入ED=EC+CD进行向量的数乘运算即可．
本题考查了向量数乘、向量减法和加法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：不妨设普通列车的声强是I1，高速列车声强是I2，
100=101g(I110−12)，50=10lg(I210−12)，
即1g(I110−12)=10，lg(I210−12)=5，
则1g(I110−12)−lg(I210−12)=5，
即lgI1I2=5，
解得I1I2=105．
故选：B．
根据函数模型，列出关系式，进而结合对数与指数的互化运算即可求解．
本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的数量积的应用，数量积的运算以及向量的夹角的求法，是中档题．
利用已知条件求出|a+b|，然后利用向量的数量积求解即可．
【解答】
解：向量a，b满足|a|=5，|b|=6，a·b=−6，
可得|a+b|= a2+2a⋅b+b2= 25−12+36=7，
cs=a⋅(a+b)|a||a+b|=a2+a⋅b5×7=25−65×7=1935．
故选D．

7.【答案】A
【解析】解：因为a=lg23>lg2243=43=lg3343>lg34=b>1，
所以c=lgab所以a>b>c．
故选：A．
利用对数的性质判断a>b>1，从而可得c<1，从而可得结论．
本题主要考查对数值大小的比较，考查对数函数性质的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=sinωx+ 3csωx=2sin(ωx+π3)，
且f(x)的图象两个相邻零点间的距离为2，
所以f(x)的最小正周期为4，
即T=2πω=4，解得ω=π2；
所以f(x)=2sin(π2x+π3)，
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(9)
=2sin(π2+π3)+2sin(π+π3)+2sin(3π2+π3)+…+2sin(9π2+π3)
=2csπ3
=1．
故选：A．
化简函数f(x)，根据f(x)的图象两个相邻零点间的距离为2得出f(x)的最小正周期为4，
求出ω的值，再计算f(1)+f(2)+f(3)+…+f(9)的值．
本题考查了三角函数的化简与求值问题，是基础题目．
9.【答案】ABC
【解析】解：因为a=(2,−1)，b=(−4,2)，c=(1,2)，
则b=−2a，即a//b，A正确；
b⋅c=−4×1+2×2=0，即b⊥c，B正确；
|a|= 5，|c|= 5，C正确；
当c=λa+μb=(2λ−4μ,2μ−λ)=(1,2)，
则2λ−4μ=12μ−λ=2，此时λ，μ不存在，D错误．
故选：ABC．
由已知结合向量平行及垂直的坐标表示检验选项AB；
结合向量模长公式的坐标表示检验选项C；
结合向量基本定理的坐标表示检验选项D．
本题主要考查了向量平行，垂直的坐标表示，向量模长公式，及平面向量基本定理的坐标表示，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：A选项，|z1|= a2+4=|z2|，A选项正确．
B选项，当a≠2时，z1−=a+2i≠z2，B选项错误．
C选项，2(z1+z2)=2a+4+(2a−4)i，z1⋅z2=4a+(a2−4)i，
若2(z1+z2)=z1⋅z2，则2a+4=4a2a−4=a2−4，解得a=2，所以C选项正确．
D选项，当a=0时，z2=2≠−i，所以D选项错误．
故选：AC．
根据复数运算、共轭复数、复数相等，即可求解．
本题主要考查复数运算，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由于a>0，b>0，a+b=2，
所以b=2−a>0，
所以0由ab≤(a+b2)2=1，当且仅当a=b时取等号，
所以0结合B可知，a2+b2=(a+b)2−2ab=4−2ab≥2，当且仅当a=b=1时取等号，C正确；
故选：BCD．
由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论的应用，解题的关键是公式的熟练掌握，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：如图，设直线PO与圆O于E，F．

则PA⋅PC=−|PA||PC|=−|EP||PF|
=−(|OE|−|PO|)(|OE|+|PO|)=|PO|2−|EO|2=−2，故A正确；
取AC的中点为M，连接OM，
则OA⋅OC=(OM+MA)⋅(OM+MC)=OM2−MC2=OM2−(4−OM2)=2OM2−4，
而0≤OM2≤|OP|2=2，故OA⋅OC的取值范围是[−4,0]，故B错误；
当AC⊥BD时，AB⋅CD=(AP+PB)⋅(CP+PD)=AP⋅CP+PB⋅PD
=−|AP||CP|−|PB||PD|=−2|EP||PF|=−4，故C正确；
当AC⊥BD时，圆O半径r=2，取AC中点为M，BD中点为N，
则|AC|2|BD|2=4(r2−|OM|2)⋅4(r2−|ON|2)≤16⋅(4−|OM|2+4−|ON|2)24=4(8−2)2=144，
|OM|2+|ON|2=|OP|2=2，不等式等号成立，当且仅当|OM|2=|ON|2=1，故D正确．
故选：ACD．
根据题设中的圆幂定理可判断AC的正误，取AC的中点为M，连接OM，利用向量的线性运算可判断B的正误，根据直径的大小可判断D的正误．
本题考查平面向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
13.【答案】(12,32)
【解析】解：由已知得a在b方向上的投影向量坐标为a⋅b|b|⋅b|b|=−4×1+3×3 1+9⋅(1,3) 1+9=(12,32)．
故答案为：(12,32)．
直接根据投影向量的计算公式求解即可．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
14.【答案】180°
【解析】解：由题意可知A(1,2)，B(−2,1)，C(− 3,− 2)，D( 3,− 2)，|z1|=|z2|=|z3|=|z4|= 5，
所以ABC在以原点为圆心，半径为 5的圆上．
∴∠ABC+∠ADC=180°．
故答案为：180°．
求出复数对应点的坐标以及复数的模求解即可．
本题考查复数的几何意义，考查计算能力．
15.【答案】34
【解析】解：由题意及图形：设三角形的直角边为3，则斜边为3 2，又由于E，F为三等分点，所以AE=EF=BF= 2，又△ACE≌△BCF，在△ACE中有余弦定理得：CE2=AC2+AE2−2AC⋅AEcs45°⇒CE= 5=CF，在△CEF中，利用余弦定理得：cs∠ECF=CF2+CE2−EF22 CF⋅CE=5+5−22 5⋅ 5=45，在△ECF中利用同角间的三角函数关系可知：tan∠ECF=34．
故答案为：34
由题意及图形，并有等腰直角可以设直角边长为3，则写斜边长为3 2，利用E、F是等腰直角△ABC斜边上的三等分点及余弦定理就、可以求出CE，CF的长度，在△CEF中利用余弦定理求出即可．
此题考查了同角三角函数的关系，还考查了余弦定理及学生的计算能力．
16.【答案】13 3
【解析】解：∵AP=mAC+12AB，又AD=3DB，
∴AB=43AD，
∴AP=mAC+23AD，
又因为C，P，D三点共线，
则m+23=1，即m=13，AP=13AC+12AB，AP2=19AC2+14AB2+13AB⋅AC≥2×13×12×|AB||AC|+13×|AB||AC|csπ3=12|AB||AC|，
△ABC的面积为3 32=12|AB||AC|×sinπ3，
∴|AB||AC|=6，
∴AP2≥3，
∴|AP|的最小值为 3．
故答案为：13； 3．
先通过条件用AC,AD表示AP，根据C，P，D三点共线，可求得m，根据△ABC的面积求得|AB||AC|，由AP=13AC+12AB，平方可得AP2≥12|AB||AC|，代入即可求得答案．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)z=(1+i)m2−3im+2i−1=(m2−1)+(m2−3m+2)i，
∵复数z为纯虚数，
∴m2−1=0m2−3m+2≠0，解得m=−1．
(2)复数z表示的点(m2−1,m2−3m+2)位于第四象限，
则m2−1>0m2−3m+2<0，解得1故m的取值范围为(1,2)．
【解析】(1)根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解；
(2根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
18.【答案】(1)证明：因为b2+c2−a2sinB=a2+c2−b2sinA，
由余弦定理可得2bccsAsinB=2accsBsinA，
即bcsAsinB=acsBsinA，又由正弦定理bsinB=asinA，得csA=csB，
角A，B为△ABC中内角，所以A=B．
(2)△ABC中，A=B，D为BC的中点，如图所示，
①②⇒③，
已知AD=4，csC=14，求证CD=2．
证明：AC=2CD，△ACD中，csC=AC2+CD2−AD22AC⋅CD=4CD2+CD2−164CD2=14，
解得CD=2．
①③⇒②，
已知AD=4，CD=2，求证csC=14．
证明：AC=2CD=4，所以△ACD中，csC=AC2+CD2−AD22AC⋅CD=16+4−162×4×2=14．
②③⇒①，
已知csC=14，CD=2，求证：AD=4．
证明：AC=2CD=4，
在△ACD中，由余弦定理，AD2=AC2+CD2−2AC⋅CDcsC=16+4−2×4×2×14=16，
所以AD=4．
【解析】(1)由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证A=B；
(2)三种情况，在△ACD中，利用余弦定理证明即可．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：BC=(x,y)DA=−AD=−(AB+BC+CD)=−(x+4,y−2)=(−x−4,−y+2)
(1)∵BC//DA
∴x⋅(−y+2)−y⋅(−x−4)=0，
化简得：x+2y=0；
(2)AC=AB+BC=(x+6,y+1)，
BD=BC+CD=(x−2,y−3)
∵AC⊥BD
∴(x+6)⋅(x−2)+(y+1)⋅(y−3)=0
化简有：x2+y2+4x−2y−15=0，
联立x+2y=0 x2+y2+4x−2y−15=0
解得x=−6y=3或x=2y=−1
∵BC//DAAC⊥BD
则四边形ABCD为对角线互相垂直的梯形
当x=−6y=3AC=(0,4) BD=(−8,0)
此时SABCD=12⋅|AC|⋅|BD|=16
当x=2y=−1AC=(8,0) BD=(0,−4)，
此时SABCD=12⋅|AC|⋅|BD|=16．
【解析】(1)根据所给的三个向量的坐标，写出要用的DA的坐标，根据两个向量平行的充要条件写出关系式，整理成最简形式．
(2)写出AC向量的坐标，根据两个向量垂直的充要条件写出关系式，结合上一问的结果，联立解方程，针对于解答的两种情况，得到四边形的面积．
本题考查向量垂直和平行的充要条件，结合向量的加减运算，利用方程思想，是一个综合问题，运算量比较大，注意运算过程不要出错，可以培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用．
20.【答案】解：(1)由图可得函数f(x)的最小正周期T=2[3π4−(−π4)]=2π，
∴ω=2πT=1，
又函数f(x)过点(−π4,0)，且图象在该点附近单调递增，
∴−π4+φ=2kπ(k∈Z)，即φ=π4+2kπ(k∈Z)，
又∵0<φ<π，∴φ=π4，
∵f(x)过点(0, 22)，
∴Asinπ4= 22，即A=1，
∴f(x)=sin(x+π4)；
(2)将函数f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标缩短到原来的12得到g(x)=12sin(2x+π4)．
∴h(x)=sin2(x+π8)+12sin(2x+π4)=1−cs(2x+π4)2+12sin(2x+π4)= 22sin2x+12，
令−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ，k∈Z得：−π4+kπ≤x≤π4+kπ，k∈Z，
∴h(x)的单调增区间为[−π4+kπ,π4+kπ]，k∈Z．
【解析】(1)求出函数的最小正周期，进而得到ω=2πT=1，带入特殊点坐标，得到φ=π4，求出函数解析式；
(2)求出g(x)，h(x)，整体法求出h(x)的单调增区间．
本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，三角函数图象的平移变换，正弦型函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)在△ABC中，由余弦定理得csC=ac2+bc2−AB22AC⋅BC=64+25−AB280，
在△ABD中，由余弦定理得csD=AD2+BD2−AB22AD⋅BD=49+49−AB298，
由∠C=∠D，得csC=csD，
∴89−AB280=98−AB298，
解得AB=7，所以AB长度为7米．
(Ⅱ)小李的设计符合要求．
理由如下：
S△ABD=12×AD×BD×sinD，S△ABC=12×AC×BC×sinC，
因为AD⋅BD>AC⋅BC，所以S△ABD>S△ABC，
故选择△ABC建筑环境标志费用较低．
因为AD=BD=AB=7，
所以△ABD是等边三角形，∠D=60°，
故S△ABC=12×AC×BC×sinC=10 3，
所以总造价为500×10 3=5000 3≈86600(元)．
【解析】(1)在△ABC中，由余弦定理得csC=ac2+bc2−AB22AC⋅BC，在△ABD中，由余弦定理得csD=AD2+BD2−AB22AD⋅BD，由∠C=∠D，能求出AB长度．
(Ⅱ)S△ABD=12×AD×BD×sinD，S△ABC=12×AC×BC×sinC，由AD⋅BD>AC⋅BC，得选择△ABC建筑环境标志费用较低．由此能求出结果．
本题考查线段长的求法、考查设计方案的确定及最低建造费用的求法，考查直线与椭圆、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．
22.【答案】解：(1)∵OA=(x0,y0)，则zA=x0+y0i，
∴z⋅zA=z(x0+y0i)=zx0+zy0i，
向量z(OP)=(Re(z⋅zP),Im(z⋅zP))为OP的z−向量．
故z(OA)=(zx0,zy0)．
(2)由(1)可得：z(v)=(zx,zy),z(i)=(z,0),z(j)=(0,z)，即OV′=(zx,zy),OE=(z,0),OF=(0,z)，
故S△OV′E=12×|z|×|zy|=1,S△OV′F=12×|z|×|zx|=2，
∵x>0，y>0，z≠0，则x=4|z|,y=2|z|，
∴v=(4|z|,2|z|)．
(3)设OA=(x1,y1)，
由(1)可得：z(OA)=(zx1,zy1)=zOA，同理可得：z(OB)=zOB，
则z(OA)⋅OA+z(OB)⋅OB=zOA2+zOB2，
设OA与OB的夹角为θ∈(0,π)，则sinθ∈(0,1]，
12|OA|×|OB|sinθ=1，则|OB|=2|OA|sinθ，
故z(OA)⋅OA+z(OB)⋅OB=zOA2+4zOA2sinθ，
当z<0时，则z(OA)⋅OA+z(OB)⋅OB=zOA2+2zOA2sinθ<0，不符合题意，
当z>0时，则z(OA)⋅OA+z(OB)⋅OB=zOA2+4zOA2sinθ≥2 zOA2×4zOA2sinθ=4z sinθ，
当且仅当zOA2=4zOA2sinθ，即|OA|=(4sinθ)14时等号成立，
即z(OA)⋅OA+z(OB)⋅OB≥4z sinθ，
又∵sinθ∈(0,1]，则z(OA)⋅OA+z(OB)⋅OB≥4z sinθ≥4z，当且仅当sinθ=1时等号成立，
即z(OA)⋅OA+z(OB)⋅OB≥4z，当且仅当|OA|=|OB|= 2，且OA⊥OB时等号成立，
对于满足S△OAB=1的所有A,B,z(OA)⋅OA+z(OB)⋅OB能取到的最小值为8，
则4z=8，即z=2．
综上所述：实数z的值为2．
【解析】(1)根据题意结合复数的相关概念分析运算；
(2)根据(1)中的结论求OV′,OE,OF的坐标，结合题意分析运算；
(3)由(1)可得z(OA)=zOA，根据面积公式和向量的相关运算整理得z(OA)⋅OA+z(OB)⋅OB=zOA2+4zOA2sinθ，结合基本不等式和正弦函数的有界性分析运算．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于难题．