2022-2023学年福建省南安市柳城中学高一(下)期中数学试卷(含解析)
展开1.若csα+sinα=−12,则sin2α=( )
A. −38B. 38C. −34D. 34
2.若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a⊥(a+b),则a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
3.若△ABC的外接圆半径R=56,csB=35,csA=1213,则c=( )
A. 3B. 2C. 32D. 2113
4.已知向量a=(6,−2),b=(1,m),且a⊥b,则|a−2b|=( )
A. 8B. 4 5C. 10D. 8 2
5.已知向量a=(1,2),A(6,4),B(4,3),b为向量AB在向量a上的投影向量,则|b|=( )
A. 4 55B. 1C. 5D. 4
6.已知函数f(x)=sin(2x+π6),则下列结论中错误的是( )
A. f(x)的最小正周期为πB. y=f(x)的图象关于直线x=7π6对称
C. f(x)在区间(π6,2π3)上单调递减D. f(x+π4)的一个零点为x=7π24
7.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积S=12 (ab)2−(a2+b2−c22)2.根据此公式,若acsB+(b−2c)csA=0,且b2+c2−a2=4,则△ABC的面积为( )
A. 6B. 2 3C. 3D. 3 2
8.已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)上单调递减,则ω的取值范围是( )
A. (0,12]B. (0,2]C. [12,54]D. [12,34]
二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知sin(α+π)+2sin(α+π2)=0,则( )
A. tanα=−2B. tanα=2
C. sinα+csαsinα−csα=13D. sinα+csαsinα−csα=3
10.若函数f(x)=3sin(2x−π6+φ)是偶函数,则φ的值不可能为( )
A. π6B. π2C. 2π3D. 5π6
11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a= 7,b=2,A=π3,则( )
A. c=3B. sinB= 217
C. sinC= 217D. △ABC外接圆的面积为7π3
12.在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,sinA:sinB:sinC=2:3:4,下列结论正确的有( )
A. a:b:c=2:3:4B. sinA−sinB2sinC=18
C. 最小角的正弦值78D. 最大角的余弦值为−14
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为π3,若(ka−b)⊥a,则k的值为______.
14.已知向量a=(2,2),b=(1,0),则a在b上的投影向量的坐标为______.
15.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2absin C= 3(b2+c2−a2),若a= 13,c=3,则△ABC的面积为 .
16.将函数f(x)=2sin(ωx−π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位,得到函数y=g(x)的图象,若数y=g(x)在[−π4,π3]上为增函数,则ω的取值范围是 .
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
己知向量a=(2,3),b=(m,2),c=(−l,2).
(1)若3a+2b与a−3b共线,求m;
(2)若b⊥c,求|2a−b+c|.
18.(本小题12分)
已知在平面直角坐标系xy中,锐角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P(35,45).
(1)求sinα+2csαsinα−csα的值;
(2)若β∈(−π2,0),且sin(α+β)=−13,求csβ的值.
19.(本小题12分)
在△ABC中,角A,B,C对应的边长分别是a,b,c,且C=π3,c=4.
(Ⅰ)若sinA=34,求a;
(Ⅱ)若△ABC的面积等于4 3,求a,b.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=12sin(2x+π4),x∈R.
(1)求f(x)的最大值和对应x的取值;
(2)求f(x)在[−π2,π2]的单调递增区间.
21.(本小题12分)
四边形ABCD中,AD//BC,AB=2,AD=1,A=2π3.
(1)求sin∠ADB;
(2)若sin∠BDC=2π3,求四边形ABCD的面积.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2x+ 3sinxcsx+12.
(1)当x∈[0,π2]时,求f(x)的值域;
(2)若关于x的方程f2(x)−(m+1)f(x)+m=0在区间[0,π2]上恰有三个不同的实根,求实数m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查二倍角公式,同角三角平方关系的应用,考查运算求解能力,属于基础题.
由sin2α=(csα+sinα)2−1,得解.
【解答】解:因为csα+sinα=−12,
所以sin2α=2sinαcsα
=(csα+sinα)2−1=(−12)2−1=−34.
故选:C.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了向量夹角公式,向量垂直的充要条件,属于基础题.
根据条件可得出a⋅b=−1,然后即可求出cs的值,从而得出答案.
【解答】
解:∵a⊥(a+b),
∴a⋅(a+b)=a2+a⋅b=1+a⋅b=0,
∴a⋅b=−1,
∴cs=a⋅b|a||b|=−11×2=−12,
又∈[0,π],
∴a与b的夹角为2π3.
故选:C.
3.【答案】D
【解析】解:由csB=35>0,则B为锐角,所以sinB=45,
由csA=1213>0,则A为锐角,所以sinA=513,
则sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB=6365,
可得:c=2RsinC=106×6365=2113.
故选:D.
根据同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和的正弦公式、正弦定理求得c.
本题主要考查了同角基本关系及诱导公式,和差角公式在三角化简求值中的应用,还考查了正弦定理的应用,属于中档题.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查两个向量垂直的性质,向量的运算,向量的模.
由题意利用两个向量垂直的性质,求出a−2b 的坐标,可得它的模.
【解答】
解:∵向量a=(6,−2),b=(1,m),且a⊥b,
∴a⋅b=6−2m=0,
∴m=3,∴a−2b=(4,−8),
则|a−2b|= 16+64=4 5,
故选:B.
5.【答案】A
【解析】解:由题意可得,AB=(−2,−1),
由向量投影的定义可得,|b|=|AB⋅a|a||=|−2×1−2×1 5|=4 55.
故选:A.
先求出AB的坐标,然后根据向量投影的定义可得,|b|=|AB⋅a|a||,代入即可求解.
本题主要考查了向量投影的定义及向量数量积的性质的简单应用,属于基础试题.
6.【答案】D
【解析】解:f(x)的最小正周期T=2π|ω|=2π2=π,故A正确;
∵f(7π6)=sin(7π3+π6)=sin(2π+π2)=1,
∴y=f(x)的图象关于直线x=7π6对称,故B正确;
由x∈(π6,2π3)⇒2x+π6∈(π2,3π2),而正弦函数在(π2,3π2)上单调递减,
∴f(x)在区间(π6,2π3)上单调递减,故C正确;
∵f(x+π4)=sin[2(x+π4)+π6]=cs(2x+π6),
又cs(2×7π24+π6)=cs3π4≠0,
∴x=7π24不是f(x+π4)的一个零点,故D错误.
故选:D.
根据三角函数的图象与性质一一判定即可.
本题主要考查正弦函数的图象与性质,考查运算求解能力,属于中档题.
7.【答案】C
【解析】解:∵acsB+(b−2c)csA=0,
∴sinAcsB+(sinB−2sinC)csA=0,
∴sinAcsB+sinBcsA−2sinCcsA=0,
∴sin(A+B)−2sinCcsA=0,
∴sinC(1−2csA)=0,∵sinC≠0,
∴1−2csA=0,解得:csA=12=b2+c2−a22bc,
∴b2+c2−a2=bc=4,
∴S=12 (bc)2−(b2+c2−a22)2=12 42−(42)2= 3,
故选:C.
根据acsB+(b−2c)csA=0,求出csA=12,再根据余弦定理以及b2+c2−a2=4,求出bc的值,代入三角形面积公式即可.
本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查正弦函数的单调性,属于基础题.
由题意利用正弦函数的单调性可得关于ω的不等式,求解即可.
【解答】
解:∵x∈(π2,π),ω>0,
∴ωx+π4∈(12ωπ+π4,ωπ+π4),
∵函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)上单调递减,
∴周期T=2πω≥π,解得ω≤2
∵f(x)=sin(ωx+π4)的减区间满足:
π2+2kπ<ωx+π4<3π2+2kπ,k∈Z
∴取k=0,得12ωπ+π4≥π2ωπ+π4≤3π2,解之得12≤ω≤54,
故选:C.
9.【答案】BD
【解析】【分析】
由题意,利用诱导公式、同角三角函数的基本关系,计算求得tanα以及sinα+csαsinα−csα的值,从而得出结论.
本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用,属于基础题.
【解答】
解:∵sin(α+π)+2sin(α+π2)=0,∴−sinα+2csα=0,∴tanα=sinαcsα=2,
故A错误,B正确;
∴sinα+csαsinα−csα=tanα+1tanα−1=3,故C错误,且D正确,
故选:BD.
10.【答案】ABD
【解析】解:由题意及三角函数的性质,可得−π6+φ=π2+kπ,k∈Z,
解得:φ=kπ+2π3,k∈Z,
当k=0时,可得φ=2π3,无论k取何值,φ都不可能等于π6或π2或5π6.
故选:ABD.
由题意及三角函数的性质,求得φ=kπ+2π3,k∈Z,结合选项,即可求解.
本题考查偶函数的性质的应用,属于基础题.
11.【答案】ABD
【解析】解:因为a= 7,b=2,A=π3,
由余弦定理得,a2=7=4+c2−2×2c×12,
所以c=3,A正确,
由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2R,
所以sinB=2× 32 7= 217,sinC=3 2114,R= 213,
所以△ABC外接圆的面积S=πR2=7π3,B正确,C错误,D正确.
故选:ABD.
由已知结合正弦定理,余弦定理分别检验各选项即可判断.
本题主要考查了正弦定理,余弦定理在求解三角形中的应用,属于中档题.
12.【答案】AD
【解析】解:对于A,由正弦定理可得a:b:c=sinA:sinB:sinC,故A正确;
对于B,由sinA:sinB:sinC=2:3:4,可设sinA=2k,sinB=3k,sinC=4k,
故sinA−sinB2sinC=2k−3k2×4k=−18,故B错误;
对于C,由a:b:c=2:3:4可知角A为最小角,设a=2t,b=3t,c=4t,
故csA=b2+c2−a22bc=9t2+16t2−4t22×3t×4t=78,则sinA= 158,故C错误;
对于D,由C的分析可知C为最大角,则csC=b2+a2−c22ab=9t2+4t2−16t22×2t×3t=−14,
故D正确,
故选:AD.
由正弦定理可判断A;由sinA:sinB:sinC=2:3:4,可设sinA=2k,sinB=3k,sinC=4k,丛而可判断B;根据题意可判断出最小角和最大角,由余弦定理可求得其值,判断C,D.
本题主要考查正弦定理的应用,余弦定理的应用等知识,属于中等题.
13.【答案】23
【解析】解:∵(ka−b)⊥a,
∴(ka−b)⋅a=ka2−a⋅b=9k−3×4×csπ3=9k−6=0,
解得k=23.
故答案为:23.
由(ka−b)⊥a,得到(ka−b)⋅a=9k−6=0,再求出k的值.
本题主要考查了向量的数量积运算,属于基础题.
14.【答案】(2,0)
【解析】解:由题意得:a在b上的投影向量的坐标为a⋅b|b|⋅b|b|=(2,2)(1,0)1⋅(1,0)1=(2,0).
故答案为:(2,0).
利用投影向量公式进行计算.
本题主要考查向量的投影公式,属于基础题.
15.【答案】3 3
【解析】【分析】
本题主要考查正弦定理,余弦定理以及三角形的面积公式,熟练掌握公式是解决本题的关键,属于基础题.
根据正弦定理和余弦定理求出角A的度数,结合三角形的面积公式进行求解即可.
【解答】解:由2absinC= 3(b2+c2−a2),
得2absinC= 3⋅b2+c2−a22bc⋅2bc=2 3bccsA,
即asinC= 3ccsA,
由正弦定理得sinAsinC= 3sinCcsA,
因为C为三角形内角,所以sinC≠0,
得tanA= 3,又在△ABC中,则A=π3,
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA,
即13=b2+9−6b×12,
整理得b2−3b−4=0,解得b=4或b=−1(舍),
则三角形的面积S=12bcsinA=12×4×3× 32=3 3,
故答案为:3 3.
16.【答案】(0,32]
【解析】【分析】
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查正弦函数的单调性及运算求解能力,属于中档题.
利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求得g(x)=2sinωx(ω>0),再解不等式组−π4ω≥−π2π3ω≤π2可得答案.
【解答】
解:g(x)=f(x+π3ω)=2sin[ω(x+π3ω)−π3]=2sinωx(ω>0),
∵y=g(x)在[−π4,π3]上为增函数,
∴−π4ω≥−π2π3ω≤π2,解得0<ω≤32,
故答案为:(0,32].
17.【答案】解:(1)∵向量a=(2,3),b=(m,2),
∴3a+2b=(2m+6,13),a−3b=(2−3m,−3),
∵3a+2b与a−3b共线,
∴13(2−3m)+3(2m+6)=0,
解得m=43.
(2)∵b=(m,2),c=(−l,2),b⊥c,
∴b⋅c=−m+4=0,解得m=4,∴b=(4,2),
∵a=(2,3),∴2a−b+c=(−1,6),
∴|2a−b+c|= 12+62= 37.
【解析】(1)求出3a+2b=(2m+6,13),a−3b=(2−3m,−3),由3a+2b与a−3b共线,能求出m.
(2)由b⊥c,求出b=(4,2),从而2a−b+c=(−1,6),由此能求出|2a−b+c|.
本题考查实数值的求法,考查向量坐标运算法则、向量垂直、向量共线的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
18.【答案】解:(1)由题意知,sinα=45,csα=35,
故sinα+2csαsinα−csα=45+2×3545−35=10.
(2)由α+β∈(−π2,π2),sin(α+β)=−13,
得cs(α+β)= 1−sin2(α+β)= 1−(−13)2=2 23
所以,csβ=cs[(α+β)−α]=cs(α+β)⋅csα+sin(α+β)⋅sinα,
=2 23×35+(−13)×45=6 2−415.
【解析】(1)结合三角函数的定义可求sinα,csα,然后结合同角基本关系即可求解,
(2)结合同角平方关系及和差角公式即可求解
本题主要考查了三角函数的定义,同角平方关系及和差角公式的简单应用,属于基础试题.
19.【答案】解:(Ⅰ)由正弦定理asinA=csinC可知:a34=4 32,
从而求得a=2 3.
(Ⅱ)由△ABC的面积等于4 3,可知S△ABC=12absinC= 34ab=4 3,
从而ab=16①,
由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC可得,16=a2+b2−ab②,
联立①②得a=b=4.
【解析】(Ⅰ)由已知及正弦定理即可计算得解a的值.
(Ⅱ)由已知及三角形面积公式可求ab=16,利用余弦定理可得,16=a2+b2−ab,联立即可解得a,b的值.
本题主要考查了正弦定理,三角形面积公式,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.
20.【答案】解:(1)因为f(x)=12sin(2x+π4),x∈R,
由2x+π4=π2+2kπ,k∈Z,可得x=π8+kπ,k∈Z,
∴当x=π8+kπ,k∈Z时,函数f(x)有最大值12;
(2)由−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ,k∈Z,可得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ,k∈Z,
又x∈[−π2,π2],
∴函数f(x)的单增区间为[−3π8,π8].
【解析】(1)根据正弦函数的图象和性质即得;
(2)根据正弦函数的单调性结合条件即得.
本题主要考查了正弦函数的图象和性质,属于基础题.
21.【答案】解:(1)在△ABD中,AB=2,AD=1,A=2π3,
由余弦定理得BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅csA=4+1−2×2×1×cs2π3=7,∴BD= 7,
在△ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsin∠ADB,
即 7sin2π3=2sin∠ADB,
解得sin∠ADB= 217.
(2)设∠CBD=α,
∵AD//BC,∴∠ADB=∠CBD=α,∴sinα= 217,
∵0<α<π2,∴csα=2 77,
∵∠BDC=2π3,∴sinC=sin(π3−α)=sinπ3csα−csπ3sinα= 2114,
在△BCD中,由正弦定理得BDsinC=BCsin∠BDC,即 7 2114=BCsin2π3,解得BC=7,
∴S△BCD=12×BD×BC×sinα=12× 7×7× 217=7 32,
S△ABD=12AB×AD×sinA=12×2×1×sin2π3= 32,
∴四边形ABCD的面积:
S=S△BCD+S△ABD=7 32+ 32=4 3.
【解析】(1)由余弦定理求出BD= 7,由此利用正弦定理能求出sin∠ADB.
(2)设∠CBD=α,则sinα= 217,csα=2 77,从而sinC=sin(π3−α)= 2114,由正弦定理求出BC=7,四边形ABCD的面积S=S△BCD+S△ABD,由此能求出结果.
本题考查余弦定理、正弦定理、解三角形等基础知识,考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力,考查应用意识、创新意识,考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想,是中档题.
22.【答案】解:(1)由题意可得f(x)=1−cs2x2+ 32sin2x+12=sin(2x−π6)+1.
∵x∈[0,π2],∴−π6≤2x−π6≤5π6,
∴12≤sin(2x−π6)+1≤2,∴f(x)的值域是[12,2].
(2)∵f2(x)−(m+1)f(x)+m=0,
∴(f(x)−1)(f(x)−m)=0,
∴f(x)=1或f(x)=m,
即sin(2x−π6)=0或sin(2x−π6)=m−1,
当sin(2x−π6)=0时,因为−π6≤2x−π6≤5π6,所以2x−π6=0,∴x=π12.
所以sin(2x−π6)=m−1在区间[0,π2]上恰有两个不同的实数根,
由图像可知12≤m−1<1
即m∈[32,2).
【解析】(1)先化简函数得f(x)=sin(2x−π6)+1,再利用三角函数的图象和性质求解;
(2)转化得到sin(2x−π6)=m−1在区间[0,π2]上恰有两个不同的实数根,再利用数形结合分析求解.
本题考查三角函数的图像与性质,属于中档题.
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