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2024届高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第四讲不等式性质与解不等式课件
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这是一份2024届高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第四讲不等式性质与解不等式课件，共56页。PPT课件主要包含了不等式的基本性质，从而得出结论，答案B，答案MN，答案D，变式训练，答案C，答案AC，C－45，D－5等内容，欢迎下载使用。
1.两个实数比较大小的依据
【名师点睛】(1)有关分式的性质
(2)分式不等式的解法
3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
考点一 不等关系与不等式的性质
考向 1 比较大小
通性通法：比较大小的 5 种常用方法
(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、
配方、有理化、通分等).
(2)作商法：直接作商与 1 的大小比较，注意两式的符号.
(3)函数的单调性法：把要比较的两个数看成一个函数的两个
值，根据函数的单调性比较大小.
(4)不等式的性质法.
(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，
q＝a＋b 的大小关系为(A.pq
考向 2 不等式的性质
通性通法：利用不等式的性质判断正误的两种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；
对于说法错误的只需举出一个反例即可；
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则，一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.
[例 2](2022 年滨州市模拟)下列命题为真命题的是(
解析：对于 A 选项，当 c＝0 时，不等式显然不成立，故 A选项为假命题；对于 B 选项，当 a＝－3，b＝－2 时，满足 a
1.(考向 1)若 a>0，且 a≠7，则(
A.77aa<7aa7B.77aa＝7aa7C.77aa>7aa7D.77aa与7aa7的大小不确定
即 A 正确；B 中，因为 b－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故 B 错误；
D 中，因为 ba2>0，而函数 y＝ln x 在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以 ln b2>ln a2，故 D 错误.
考点二 不含参的不等式[例 3](1)(多选题)设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足
关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为( )
解析：(1) 因为不等式[x]2＋[x] －12≤0 ，所以([x]－3)([x] ＋4)≤0，即－4≤[x]≤3，又因为[x]表示不小于实数 x 的最小整数，所以不等式[x]2＋[x]－12≤0 的解可以为 3，－4.5.故选 BC.答案：BC
故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得 x≥3 或 x≤2.答案：{x|x≥3 或 x≤2}
【题后反思】解一元二次不等式的一般步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式.
(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.
考点三 含参的不等式[例4]解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
【题后反思】对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式Δ与 0 的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
【变式训练】解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R).
A.(－∞，－3]∪[8，＋∞)B.(－∞，－3)∪[8，＋∞)C.(－3，8]D.(－∞，－3)∪(8，＋∞)
(x－8)(x＋3)≥0 且 x＋3≠0，解得 x<－3 或 x≥8.答案：B【题后反思】将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式(组)即可求解.
∴原不等式的解集为(1，4).答案：(1，4)
⊙一元二次不等式恒成立的问题考向 1 在实数 R 上恒成立[例 6]对于任意实数 x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0 恒成
立，则实数 a 的取值范围是(A.(－∞，2)C.(－2，2)
)B.(－∞，2]D.(－2，2]
解析：当 a－2＝0，即 a＝2 时，－4<0 恒成立；当 a－2≠0，即 a≠2 时，
解得－2
考向 3 在给定参数范围内恒成立[例 8]已知 a∈[－1，1]时不等式 x2＋(a－4)x＋4－2a＞0 恒成
立，则 x 的取值范围为(
A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)
解析：把不等式的左端看成关于 a 的一次函数，记 f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由 f(a)＞0 对于任意的 a∈[－1，1]恒成立，得f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3x＋2＞0，
【反思感悟】一元二次不等式恒成立问题的解法(1)函数法(图象法)：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).①f(x)＞0 在 x∈R 上恒成立⇔a＞0 且Δ＜0；②f(x)＜0 在 x∈R 上恒成立⇔a＜0 且Δ＜0；
(2)最值法(分离参数法)：对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围问题转化为求函数的最值问题.
a＞f(x)恒成立⇔a＞fmax(x)，a＜f(x)恒成立⇔a＜fmin(x).
【高分训练】1.若不等式 2x－1＞m(x2－1)对满足|m|≤2 的所有 m 都成立，则 x 的取值范围为________.
2.若二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足 f(x＋2)－f(x)＝16x
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)若存在 x∈[1，2]，使不等式 f(x)>2x＋m 成立，求实数 m
1.两个实数比较大小的依据
【名师点睛】(1)有关分式的性质
(2)分式不等式的解法
3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
考点一 不等关系与不等式的性质
考向 1 比较大小
通性通法：比较大小的 5 种常用方法
(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、
配方、有理化、通分等).
(2)作商法：直接作商与 1 的大小比较，注意两式的符号.
(3)函数的单调性法：把要比较的两个数看成一个函数的两个
值，根据函数的单调性比较大小.
(4)不等式的性质法.
(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，
q＝a＋b 的大小关系为(A.p
考向 2 不等式的性质
通性通法：利用不等式的性质判断正误的两种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；
对于说法错误的只需举出一个反例即可；
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则，一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.
[例 2](2022 年滨州市模拟)下列命题为真命题的是(
解析：对于 A 选项，当 c＝0 时，不等式显然不成立，故 A选项为假命题；对于 B 选项，当 a＝－3，b＝－2 时，满足 a
1.(考向 1)若 a>0，且 a≠7，则(
A.77aa<7aa7B.77aa＝7aa7C.77aa>7aa7D.77aa与7aa7的大小不确定
即 A 正确；B 中，因为 b
D 中，因为 b
考点二 不含参的不等式[例 3](1)(多选题)设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足
关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为( )
解析：(1) 因为不等式[x]2＋[x] －12≤0 ，所以([x]－3)([x] ＋4)≤0，即－4≤[x]≤3，又因为[x]表示不小于实数 x 的最小整数，所以不等式[x]2＋[x]－12≤0 的解可以为 3，－4.5.故选 BC.答案：BC
故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得 x≥3 或 x≤2.答案：{x|x≥3 或 x≤2}
【题后反思】解一元二次不等式的一般步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式.
(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.
考点三 含参的不等式[例4]解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
【题后反思】对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式Δ与 0 的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
【变式训练】解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R).
A.(－∞，－3]∪[8，＋∞)B.(－∞，－3)∪[8，＋∞)C.(－3，8]D.(－∞，－3)∪(8，＋∞)
(x－8)(x＋3)≥0 且 x＋3≠0，解得 x<－3 或 x≥8.答案：B【题后反思】将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式(组)即可求解.
∴原不等式的解集为(1，4).答案：(1，4)
⊙一元二次不等式恒成立的问题考向 1 在实数 R 上恒成立[例 6]对于任意实数 x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0 恒成
立，则实数 a 的取值范围是(A.(－∞，2)C.(－2，2)
)B.(－∞，2]D.(－2，2]
解析：当 a－2＝0，即 a＝2 时，－4<0 恒成立；当 a－2≠0，即 a≠2 时，
解得－2
考向 3 在给定参数范围内恒成立[例 8]已知 a∈[－1，1]时不等式 x2＋(a－4)x＋4－2a＞0 恒成
立，则 x 的取值范围为(
A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)
解析：把不等式的左端看成关于 a 的一次函数，记 f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由 f(a)＞0 对于任意的 a∈[－1，1]恒成立，得f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3x＋2＞0，
【反思感悟】一元二次不等式恒成立问题的解法(1)函数法(图象法)：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).①f(x)＞0 在 x∈R 上恒成立⇔a＞0 且Δ＜0；②f(x)＜0 在 x∈R 上恒成立⇔a＜0 且Δ＜0；
(2)最值法(分离参数法)：对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围问题转化为求函数的最值问题.
a＞f(x)恒成立⇔a＞fmax(x)，a＜f(x)恒成立⇔a＜fmin(x).
【高分训练】1.若不等式 2x－1＞m(x2－1)对满足|m|≤2 的所有 m 都成立，则 x 的取值范围为________.
2.若二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足 f(x＋2)－f(x)＝16x
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)若存在 x∈[1，2]，使不等式 f(x)>2x＋m 成立，求实数 m
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