第一章　§1.3　等式性质与不等式性质-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）

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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§1.3　等式性质与不等式性质
1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.两个实数比较大小的方法
a－b>0⇔a b，a－b＝0⇔a b，a－b<0⇔a b
2.等式的性质性质1　对称性：如果a＝b，那么 ；性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么 ；性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么 .
3.不等式的性质性质1　对称性：a>b⇔ ；性质2　传递性：a>b，b>c⇒ ；性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ ；a>b，c<0⇒ ；性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒ ；性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ ；性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2).
不等式的两类常用性质(1)倒数性质
(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①真分数的性质
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则b>a.(　　)(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(　　)(4)若 ，则b2.(必修第一册P43T8改编)已知非零实数a，b满足a对于A，当ab2，故C错误；对于D，当a3.(必修第一册P43T10改编)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了.请将这一事实表示成一个不等式为_________.
∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，
4.(必修第一册P42T5改编)已知2因为－2题型一　数(式)的大小比较
例1　(1)(多选)下列不等式中正确的是A.x2－2x>－3(x∈R)B.a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)C.a2＋b2>2(a－b－1)
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2－2x>－3，故A正确；a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定，∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误；∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误；
(2)若正实数a，b，c满足c∵c是正实数，且c<1，∴0比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
跟踪训练1　(1)若ln a>ln b，则
因为ln a>ln b，所以a>b>0，
因为a－b>0，函数y＝xa－b在(0，＋∞)上单调递增，所以πa－b>3a－b，故C错误；
其中a－b>0，ab＋1>0，ab>0，
显然f(x)是R上的减函数，∴f(2 023)>f(2 024)，即M>N.
例2　(1)若实数a，b满足a题型二　不等式的基本性质
由a－b>0，所以|a|>|b|，故C错误；由a|b|>0，
(2)(多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是A.若a>b，则ac2>bc2B.若a>b，则a＋c>b＋c
当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；由不等式的可加性可知，B正确；若a>b>c>0，则a－b>0，b＋c>0，
若a>b>c>0，则a－b>0，a－c>0，b－c>0，且a－c>a－b，
判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证.(2)利用特殊值法排除错误选项.(3)作差法.(4)构造函数，利用函数的单调性.
跟踪训练2　(1)设a，b，c，d为实数，且c由a(2)(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是A.B.－a2<－abC.ln|a－1|>ln|b－1|D.2a－b>1
因为a>b>0，－a<0，所以－a2<－ab，故B正确；
因为a－b>0，所以2a－b>20＝1，故D正确.
例3　(1)已知0题型三　不等式性质的综合应用
因为－1若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范围.
设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y，
∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1，
即－4≤x－2y≤2.
(2)为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该微信群人数的最小值为A.20 B.22 C.26 D.28
设教师人数为x，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，x，y，z，t∈N*，则y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，则x＋y＋z＋t≥4x＋6，又教师人数的两倍多于男学生人数，∴2x>x＋3，解得x>3，当x＝4时，x＋y＋z＋t≥22，此时微信群人数的最小值为22.
利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点(1)必须严格运用不等式的性质.(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
跟踪训练3　(1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则A.a＋b的取值范围为[4,7]B.b－a的取值范围为[2,3]C.ab的取值范围为[3,10]
因为1≤a≤2,3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1,1≤b－a≤4，所以a＋b的取值范围为[4,7]，b－a的取值范围为[1,4]，故A正确，B错误；因为1≤a≤2,3≤b≤5，
原式分子和分母同时除以x，
一、单项选择题1.已知a，b∈R，则“ ”是“ln a>ln b”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
若“ln a>ln b”，则a>b>0，
A.m≥n B.m>nC.m≤n D.m当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即m≥n.
3.已知a>b，则下列不等式一定成立的是
取a＝1，b＝－2，满足a>b，显然有 ，a2b，则必有2a>2b，B正确.
4.已知a因为a0，所以ac5.若c>b>a>0，则
2ln b＝ln b2，ln a＋ln c＝ln ac，b2与ac大小不能确定，故B错误；
令c＝1，则lgac＝lgbc＝0，故D错误.
6.已知m5＝4，n8＝9，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为A.p>m>n B.m>n>pC.m>p>n D.p>n>m
由n8＝9，得n＝ ，
由0.9p＝0.8，得p＝lg0.90.8>＝2，于是得p>m>n，所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n.
二、多项选择题7.下列结论中不正确的是A.若ac2>bc2，则a>bB.若 ，则a>bC.若a>b，c>d，则ac>bdD.若2a－b>1，则aac2>bc2，不等式两边除以c2(c≠0)，则a>b，故A正确；
取a＝1，b＝0，c＝0，d＝－1，满足a>b，c>d，又ac＝bd，故C错误；取a＝2，b＝1，满足2a－b>1，又a>b，故D错误.
8.已知实数x，y满足－3因为－3三、填空题9.已知a>0，－1因为a>0，－110.若a，b同时满足下列两个条件：①a＋b>ab；②.请写出一组a，b的值__________________________.
a＝－1，b＝2(答案不唯一)
容易发现，若将①式转化为②式，需使(a＋b)ab<0，即a＋b与ab异号，显然应使a＋b>0，ab<0，当a<0，b>0时，要使a＋b>0，则|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2；当a>0，b<0时，要使a＋b>0，则|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1.综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案.
11.若－1∵－112.已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，则 的取值范围是____________.
因为a>b>c,2a＋b＋c＝0，故a>0，c<0，
∵c－d>0，又a>b>0，∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，又e<0，
14.已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.(1)求实数a的取值范围；
由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6，
故实数a的取值范围为[－2,3].
(2)求3a－2b的取值范围.
设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，
∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
∴－4≤3a－2b≤11，即3a－2b的取值范围为[－4,11].
15.(多选)已知实数a，b，c满足a>b>c，且abc＝1，则下列说法正确的是
16.(2023·湖北黄石二中模拟)购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，分两次购买这种物品，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则________种购物策略比较经济.
设第一次和第二次购物时价格分别为p1元/千克，p2元/千克，