第31讲 正弦定理、余弦定理-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（解析版）

这是一份第31讲 正弦定理、余弦定理-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（解析版），共14页。试卷主要包含了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等内容，欢迎下载使用。
第31讲 正弦定理、余弦定理1、正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．  正弦定理的常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(4)＝.  2、余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝c2＋a2－2cacos B；c2＝a2＋b2－2abcos C.余弦定理的常见变形(1)cos A＝；(2)cos B＝；(3)cos C＝. 3、三角形的面积公式　  (1)S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；(2)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 1、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷））在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则.故选：C.2、（2023年高考数学新高考I卷）．已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．【解析】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.3、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷））记内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．【解析】【小问1详解】因为，所以，解得：．【小问2详解】由正弦定理可得 ，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为  1、 在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC等于(　　)A．1           B．2          C．3           D．4【答案】：A【解析】设在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝，C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1或b＝－4(舍去)，即AC＝1.2、 已知△ABC，a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　)A．2   B.C．2或   D．均不正确【答案】：C【解析】∵＝，∴sin B＝＝·sin 30°＝.∵b>a，∴B＝60°或120°.若B＝60°，则C＝90°，∴c＝＝2.若B＝120°，则C＝30°，∴a＝c＝.3、 在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)A.   B.C．2   D．2【答案】：B【解析】因为S＝AB·ACsin A＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝3.所以BC＝.4、（2022年湖北省宜昌市高三模拟试卷）若在中，角的对边分别为，则（    ）A. 或 B.  C.  D. 以上都不对【答案】C【解析】在中，已知，由正弦定理得：，所以，因为，所以，所以，故选：C考向一　运用正余弦定理解三角形例1、（2021·全国高三专题练习（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，成等差数列.（1）求角B的大小；（2）若，求的值.【解析】（1），，成等差数列，，由正弦定理，，中，，，，又，，，.（2），，，.变式1、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BC【解析】对于A，因为，所以，所以只有一解；故A错误；对于B，因为，所以由正弦定理得，因为，即，所以，所以有两解（，或），故B正确；对于C，因，所以由正弦定理得，即，因为，所以有两解（，或，），故C正确；对于D，因为，所以由正弦定理得，由于，故，所以只有一解，故D错误；故选：BC变式2、（2022年福建省南安国光中学高三模拟试卷）记的内角 的对边分别为 ，．（1）证明：；（2）若，求．【解析】【小问1详解】由题意知，，所以，所以，而 ，结合正弦定理，所以.【小问2详解】由（1）知：,所以，即，所以解得或（舍）,所以.方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．考向二  利用正、余弦定理判定三角形形状例2、（河北张家口市·高三月考）（多选题）在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（    ）A．，，则的外接圆半径是4B．若，则C．若，则一定是钝角三角形D．若，则【答案】BC【解析】由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故A错误；由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；因为，所以C为钝角，一定是钝角三角形，故C正确；若，显然，故D错误.故选：BC变式1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)A. 直角三角形    B. 等腰非等边三角形C. 等边三角形    D. 钝角三角形【答案】 C【解析】 因为＝，所以＝，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以 b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝，所以△ABC是等边三角形．变式2、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为(　　)A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】 D【解析】 因为c－a cos B＝(2a－b)cos A，所以由正弦定理，得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A.又C＝π－(A＋B)，所以sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B·cos A，所以cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，所以A＝或B＝A，所以△ABC为等腰或直角三角形．方法总结：　判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想．考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积考向三  运用正余弦定理解决三角形的面积、周长例3、（2022年江苏省徐州市高三模拟试卷）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）证明：；（2）若，，求的面积.【解析】【小问1详解】在中，由余弦定理及，得，得.由正弦定理得，因为，所以， 所以，即.因为A，B，C是三角形的内角，所以，即；【小问2详解】由（1）可得，因为，所以， 所以，，，由正弦定理得，，所以，所以的面积.变式1、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为.(1) 求sin B sin C的值；(2) 若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解析】 (1) 由题意，得ac sin B＝，即c sin B＝.由正弦定理，得sin C sin B＝，故sin B sin C＝.(2) 由题意及(1)，得cos B cos C－sin B sin C＝－，即cos (B＋C)＝－，所以B＋C＝，故A＝.由题意，得bc sin A＝，则bc＝8.由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，则b＋c＝，故△ABC的周长为3＋.变式2、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.(1) 求c的值；(2) 设D为边BC上的一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．【解析】 (1) 由sin A＋cos A＝0，得tan A＝－，所以A＝.在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即28＝4＋c2－4c cos ，即c2＋2c－24＝0，解得c＝4（负值舍去）.(2) 由题设，得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝，所以＝＝1.又S△ABC＝×4×2×sin ＝2，所以△ABD的面积为.变式3、（2022年广州番禺中学高三模拟试卷） 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，.（1）求角B；（2）求的面积.【解析】【小问1详解】因为，所以，又，所以，又，所以；【小问2详解】由正弦定理可知：，又，所以，所以.方法总结：1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．1、.（2022·山东泰安·高三期末）在中，“”是“为钝角三角形”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由：若，则为钝角；若，则，此时，故充分性成立.△为钝角三角形，若为钝角，则不成立；∴“”是“△为钝角三角形”的充分不必要条件.故选：.2、（2022年河北省张家口高三模拟试卷） 在中，若，则的形状为（    ）A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】由二倍角公式可得,由正弦定理可得，由余弦定理边角互化可得：，化简得，因此或，故为直角三角形，故选：B3、（2022·山东莱西·高三期末）在中，，，，，，若的外接圆的半径为，则角___________.【答案】【解析】设角A,B,C的对边分别为a，b，c，由正弦定理，，，，即为钝角，为锐角，，，.故答案为：.4、（2022年河北省承德市高三模拟试卷）在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.【解析】（1）由，因为，可得，又由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，∵，∴.（2）在中，因为，所以，可得，又因为，由正弦定理可得，又由，∴的面积.5、（2022年重庆市高三模拟试卷）在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求的值；（2）若，的面积是，求的值．【解析】【小问1详解】依题意，，由正弦定理得，，所以，由于，所以，所以，则．【小问2详解】由（1）得，所以，由解得，由于，所以，由余弦定理得.