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    高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第53讲空间向量的概念(原卷版+解析)
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    高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第53讲空间向量的概念(原卷版+解析)

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    这是一份高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第53讲空间向量的概念(原卷版+解析),共23页。试卷主要包含了空间向量及其有关概念,数量积及坐标运算等内容,欢迎下载使用。

    1.空间向量及其有关概念
    2.数量积及坐标运算
    (1)两个空间向量的数量积:①a·b=|a||b|cs〈a,b〉;②a⊥b⇔a·b=0(a,b为非零向量);③设a=(x,y,z),则|a|2=a2,|a|=eq \r(x2+y2+z2).
    (2)空间向量的坐标运算:
    1、在下列命题中:
    ①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;
    ②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;
    ③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;
    ④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.
    其中正确命题的个数是( )
    A.0 B.1 C.2 D.3
    2、已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是( )
    A.eq \f(7,5) B.2 C.eq \f(5,3) D.1
    3、空间四点A(2,3,6),B(4,3,2),C(0,0,1),D(2,0,2)的位置关系为( )
    A. 共线 B. 共面
    C. 不共面 D. 无法确定
    4、已知向量m是直线l的方向向量,向量n是平面α的法向量,则“m⊥n”是“l∥α”的( )
    A. 充分不必要条件
    B. 必要不充分条件
    C. 充要条件
    D. 既不充分又不必要条件
    5、 (2022·镇江高三开学考试)四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的菱形,侧棱长为2,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,则线段A1C的长度是( )
    A. eq \r(6) B. eq \f(\r(34),2)
    C. 3 D. eq \r(11)
    考向一 空间向量的线性运算
    例1 、(1) 已知向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论中正确的是________;(填序号)
    ①a∥b,a∥c; ②a∥b,a⊥c;③a∥c,a⊥b.
    (2) 已知a=(2,-1,2),b=(-4,2,x),且a∥b,则x=________.
    (3)在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用向量 eq \(OA,\s\up6(→)), eq \(OB,\s\up6(→)), eq \(OC,\s\up6(→))表示 eq \(MG,\s\up6(→)), eq \(OG,\s\up6(→)).
    变式1、(1)如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AD,\s\up6(→))=b,eq \(AA1,\s\up6(→))=c,则向量eq \(BM,\s\up6(→))= (用a,b,c表示).
    (2)如图,在四面体O-ABC中,eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(OB,\s\up6(→))=b,eq \(OC,\s\up6(→))=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则eq \(OE,\s\up6(→))= (用a,b,c表示).
    变式2、(多选)(2022·威海调研)如图所示,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且AP=3PN,eq \(ON,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up6(→)),设eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(OB,\s\up6(→))=b,eq \(OC,\s\up6(→))=c,则下列等式成立的是( )
    A.eq \(OM,\s\up6(→))=eq \f(1,2)b-eq \f(1,2)c
    B.eq \(AN,\s\up6(→))=eq \f(1,3)b+eq \f(1,3)c-a
    C.eq \(AP,\s\up6(→))=eq \f(1,4)b-eq \f(1,4)c-eq \f(3,4)a
    D.eq \(OP,\s\up6(→))=eq \f(1,4)a+eq \f(1,4)b+eq \f(1,4)c
    方法总结:本题考查空间向量基本定理及向量的线性运算. 用不共面的三个向量作为基向量表示某一向量时注意以下三点:(1)结合已知和所求向量观察图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
    考向二 共线、共面向量定理的应用
    例2、已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
    (1) 求证:E,F,G,H四点共面;
    (2) 求证:BD∥平面EFGH;
    (3) 设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有 eq \(OM,\s\up6(→))= eq \f(1,4)( eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \(OB,\s\up6(→))+ eq \(OC,\s\up6(→))+ eq \(OD,\s\up6(→))).
    变式1、(多选)(2021·武汉质检)下列说法中正确的是( )
    A.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件
    B.若eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))共线,则AB∥CD
    C.A,B,C三点不共线,对空间任意一点O,若eq \(OP,\s\up6(→))=eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))+eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))+eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→)),则P,A,B,C四点共面
    D.若P,A,B,C为空间四点,且有eq \(PA,\s\up6(→))=λeq \(PB,\s\up6(→))+μeq \(PC,\s\up6(→))(eq \(PB,\s\up6(→)),eq \(PC,\s\up6(→))不共线),则λ+μ=1是A,B,C三点共线的充要条件
    变式2、已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足eq \(OM,\s\up6(→))=eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(OB,\s\up6(→))+eq \(OC,\s\up6(→))).
    (1)判断eq \(MA,\s\up6(→)),eq \(MB,\s\up6(→)),eq \(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面;
    (2)判断点M是否在平面ABC内.
    变式3、.如图所示,已知斜三棱柱ABC ­A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足eq \(AM,\s\up7(―→))=keq \(AC1,\s\up7(―→)),eq \(BN,\s\up7(―→))=keq \(BC,\s\up7(―→))(0≤k≤1).判断向量eq \(MN,\s\up7(―→))是否与向量eq \(AB,\s\up7(―→)),eq \(AA1,\s\up7(―→))共面.
    方法总结:证明空间三点P,A,B共线的方法有:①eq \(PA,\s\up6(→))=λeq \(PB,\s\up6(→)) (λ∈R);
    ②对空间任一点O,eq \(OP,\s\up6(→))=xeq \(OA,\s\up6(→))+yeq \(OB,\s\up6(→)) (x+y=1). 证明空间四点P,M,A,B共面的方法有:①eq \(MP,\s\up6(→))=xeq \(MA,\s\up6(→))+yeq \(MB,\s\up6(→));②对空间任一点O,eq \(OP,\s\up6(→))=xeq \(OM,\s\up6(→))+yeq \(OA,\s\up6(→))+zeq \(OB,\s\up6(→)) (x+y+z=1);③eq \(PM,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→)) (或eq \(PA,\s\up6(→))∥eq \(MB,\s\up6(→))或eq \(PB,\s\up6(→))∥eq \(AM,\s\up6(→))). 三点共线通常转化为向量共线,四点共面通常转化为向量共面,线面平行可转化为向量共线、共面来证明.
    考向三 空间向量数量积的应用
    例3、 如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.
    (1)求AC1的长;
    (2)求证:AC1⊥BD;
    (3)求BD1与AC夹角的余弦值.
    方法总结:空间向量数量积计算的两种方法:(1)基向量法:a·b=|a||b|cs〈a,b〉. (2)坐标法:设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a·b=x1x2+y1y2+z1z2. 利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置. 利用夹角公式,可以求异面直线所成的角,也可以求二面角. 可以通过|a|=eq \r(a2),将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解,体现转化与化归的数学思想
    考向四 利用空间向量证明平行或垂直
    例4 如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2eq \r(5),AA1=eq \r(7),BB1=2eq \r(7),点E和F分别为BC和A1C的中点.
    (1)求证:EF∥平面A1B1BA;
    (2)求证:平面AEA1⊥平面BCB1.
    变式1、在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,BB1= eq \r(2),M是线段B1D1的中点.求证:
    (1) BM∥平面D1AC;
    (2) D1O⊥平面AB1C.
    变式2、 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD= eq \f(\r(2),2)AD,设E,F分别为PC,BD的中点.求证:
    (1) EF∥平面PAD;
    (2) 平面PAB⊥平面PDC.
    1、如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AD,\s\up6(→))=b,eq \(AA1,\s\up6(→))=c,则下列向量中与eq \(BM,\s\up6(→))相等的向量是( )
    A.-eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b+c B.eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b+c
    C.-eq \f(1,2)a-eq \f(1,2)b+c D.eq \f(1,2)a-eq \f(1,2)b+c
    2、已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为( )
    A.eq \f(5π,6) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,6)
    3、(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果eq \(AB,\s\up7(―→))=(2,-1,-4),eq \(AD,\s\up7(―→))=(4,2,0),eq \(AP,\s\up7(―→))=(-1,2,-1).下列结论正确的有( )
    A.AP⊥AB
    B.AP⊥AD
    C.eq \(AP,\s\up7(―→))是平面ABCD的一个法向量
    D.eq \(AP,\s\up7(―→))∥eq \(BD,\s\up7(―→))
    4、(多选)已知ABCD­A1B1C1D1为正方体,下列说法中正确的是( )
    A.(eq \(A1A,\s\up7(―→))+eq \(A1D1,\s\up7(―→))+eq \(A1B1,\s\up7(―→)))2=3(eq \(A1B1,\s\up7(―→)))2
    B.eq \(A1C,\s\up7(―→))·(eq \(A1B1,\s\up7(―→))-eq \(A1A,\s\up7(―→)))=0
    C.向量eq \(AD1,\s\up7(―→))与向量eq \(A1B,\s\up7(―→))的夹角是60°
    D.正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为|eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AA1,\s\up7(―→))·eq \(AD,\s\up7(―→))|
    5、如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=eq \r(2),AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE.则M点的坐标为( )
    A.(1,1,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),3),\f(\r(2),3),1))
    C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2),\f(\r(2),2),1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4),\f(\r(2),4),1))
    6、.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,E为棱AB的中点,eq \(AF,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→)),eq \(AG,\s\up6(→))=2eq \(GA1,\s\up6(→)),AC1与平面EFG交于点M,则eq \f(AM,AC1)=________.
    7、(2022·石家庄质检)如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC和∠A1AC均为60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.
    (1)求证:BD⊥AA1;
    (2)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置,若不存在,请说明理由.概念
    语言描述
    共线向量(平行向量)
    共面向量
    共线向量定理
    共面向量定理
    空间向量基本定理及推论
    定理:
    推论:
    a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
    向量和
    向量差
    数量积
    共线
    a∥b⇒
    垂直
    a⊥b⇔
    夹角公式
    cs〈a,b〉=
    第53讲 空间向量的概念
    1.空间向量及其有关概念
    2.数量积及坐标运算
    (1)两个空间向量的数量积:①a·b=|a||b|cs〈a,b〉;②a⊥b⇔a·b=0(a,b为非零向量);③设a=(x,y,z),则|a|2=a2,|a|=eq \r(x2+y2+z2).
    (2)空间向量的坐标运算:
    1、在下列命题中:
    ①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;
    ②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;
    ③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;
    ④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.
    其中正确命题的个数是( )
    A.0 B.1 C.2 D.3
    【答案】: A
    【解析】: a与b共线,a,b所在的直线也可能重合,故①不正确;根据自由向量的意义知,空间任意两向量a,b都共面,故②不正确;三个向量a,b,c中任意两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故③不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故④不正确,综上可知四个命题中正确的个数为0,故选A.
    2、已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是( )
    A.eq \f(7,5) B.2 C.eq \f(5,3) D.1
    【答案】 A
    【解析】 因为a=(1,1,0),b=(-1,0,2),
    所以a·b=-1,|a|=eq \r(2),|b|=eq \r(5).
    又ka+b与2a-b互相垂直,
    所以(ka+b)·(2a-b)=0,
    即2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0,
    即4k+k-2-5=0,所以k=eq \f(7,5).
    3、空间四点A(2,3,6),B(4,3,2),C(0,0,1),D(2,0,2)的位置关系为( )
    A. 共线 B. 共面
    C. 不共面 D. 无法确定
    【答案】 C
    【解析】 eq \(AB,\s\up6(→))=(2,0,-4), eq \(AC,\s\up6(→))=(-2,-3,-5), eq \(AD,\s\up6(→))=(0,-3,-4).由不存在实数λ,使 eq \(AB,\s\up6(→))=λ eq \(AC,\s\up6(→))成立,知点A,B,C不共线,故点A,B,C,D不共线;假设点A,B,C,D共面,则可设 eq \(AD,\s\up6(→))=x eq \(AB,\s\up6(→))+y eq \(AC,\s\up6(→)) (x,y为实数),即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0=2x-2y,,-3=-3y,,-4=-4x-5y,))由于该方程组无解,故点A,B,C,D不共面,故选C.
    4、已知向量m是直线l的方向向量,向量n是平面α的法向量,则“m⊥n”是“l∥α”的( )
    A. 充分不必要条件
    B. 必要不充分条件
    C. 充要条件
    D. 既不充分又不必要条件
    【答案】 B
    【解析】 由l∥α,得m⊥n,所以“m⊥n”是“l∥α”的必要条件;而由m⊥n不一定有l∥α,也可能l⊂α,故“m⊥n”不是“l∥α”的充分条件.故“m⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件.
    5、 (2022·镇江高三开学考试)四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的菱形,侧棱长为2,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,则线段A1C的长度是( )
    A. eq \r(6) B. eq \f(\r(34),2)
    C. 3 D. eq \r(11)
    【答案】 D
    【解析】 因为 eq \(CA1,\s\up6(→))= eq \(CA,\s\up6(→))+ eq \(AA1,\s\up6(→))= eq \(CA,\s\up6(→))+ eq \(CC1,\s\up6(→))= eq \(CD,\s\up6(→))+ eq \(CB,\s\up6(→))+ eq \(CC1,\s\up6(→)),且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,所以( eq \(CA1,\s\up6(→)))2=( eq \(CD,\s\up6(→))+ eq \(CB,\s\up6(→))+ eq \(CC1,\s\up6(→)))2=| eq \(CD,\s\up6(→))|2+| eq \(CB,\s\up6(→))|2+| eq \(CC1,\s\up6(→))|2+2| eq \(CD,\s\up6(→))|×| eq \(CB,\s\up6(→))|×cs 60°+2| eq \(CD,\s\up6(→))|×| eq \(CC1,\s\up6(→))|×cs 60°+2| eq \(CB,\s\up6(→))|×| eq \(CC1,\s\up6(→))|×cs 60°=1+1+4+2× eq \f(1,2)+2×2× eq \f(1,2)+2×2× eq \f(1,2)=11,所以| eq \(CA1,\s\up6(→))|= eq \r(11),即线段A1C的长度是 eq \r(11).
    考向一 空间向量的线性运算
    例1 、(1) 已知向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论中正确的是________;(填序号)
    ①a∥b,a∥c; ②a∥b,a⊥c;③a∥c,a⊥b.
    【解析】 因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,所以a∥c.又a·b=(-2)×2+(-3)×0+1×4=0,所以a⊥b.
    【答案】 ③
    (2) 已知a=(2,-1,2),b=(-4,2,x),且a∥b,则x=________.
    【解析】 因为a∥b,所以-x=4,即x=-4.
    【答案】 -4
    (3)在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用向量 eq \(OA,\s\up6(→)), eq \(OB,\s\up6(→)), eq \(OC,\s\up6(→))表示 eq \(MG,\s\up6(→)), eq \(OG,\s\up6(→)).
    【解析】 eq \(MG,\s\up6(→))= eq \(MA,\s\up6(→))+ eq \(AG,\s\up6(→))= eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \f(2,3) eq \(AN,\s\up6(→))
    = eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \f(2,3)( eq \(ON,\s\up6(→))- eq \(OA,\s\up6(→)))
    = eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \f(2,3)[ eq \f(1,2)( eq \(OB,\s\up6(→))+ eq \(OC,\s\up6(→)))- eq \(OA,\s\up6(→))]
    =- eq \f(1,6) eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→))+ eq \f(1,3) eq \(OC,\s\up6(→)).
    eq \(OG,\s\up6(→))= eq \(OM,\s\up6(→))+ eq \(MG,\s\up6(→))
    = eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→))- eq \f(1,6) eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→))+ eq \f(1,3) eq \(OC,\s\up6(→))
    = eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→))+ eq \f(1,3) eq \(OC,\s\up6(→)).
    变式1、(1)如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AD,\s\up6(→))=b,eq \(AA1,\s\up6(→))=c,则向量eq \(BM,\s\up6(→))= (用a,b,c表示).
    【答案】:-eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b+c
    【解析】:eq \(BM,\s\up6(→))=eq \(BB1,\s\up6(→))+eq \(B1M,\s\up6(→))=eq \(AA1,\s\up6(→))+eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→)))
    =c+eq \f(1,2)(b-a)=-eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b+c.
    (2)如图,在四面体O-ABC中,eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(OB,\s\up6(→))=b,eq \(OC,\s\up6(→))=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则eq \(OE,\s\up6(→))= (用a,b,c表示).
    【答案】:eq \f(1,2)a+eq \f(1,4)b+eq \f(1,4)c
    【解析】:eq \(OE,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))+eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))+eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))
    =eq \f(1,2)a+eq \f(1,4)b+eq \f(1,4)c.
    变式2、(多选)(2022·威海调研)如图所示,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且AP=3PN,eq \(ON,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up6(→)),设eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(OB,\s\up6(→))=b,eq \(OC,\s\up6(→))=c,则下列等式成立的是( )
    A.eq \(OM,\s\up6(→))=eq \f(1,2)b-eq \f(1,2)c
    B.eq \(AN,\s\up6(→))=eq \f(1,3)b+eq \f(1,3)c-a
    C.eq \(AP,\s\up6(→))=eq \f(1,4)b-eq \f(1,4)c-eq \f(3,4)a
    D.eq \(OP,\s\up6(→))=eq \f(1,4)a+eq \f(1,4)b+eq \f(1,4)c
    【答案】 BD
    【解析】 对于A,利用向量的平行四边形法则,eq \(OM,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))=eq \f(1,2)b+eq \f(1,2)c,A错误;
    对于B,利用向量的平行四边形法则和三角形法则,得eq \(AN,\s\up6(→))=eq \(ON,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(OB,\s\up6(→))+\f(1,2)\(OC,\s\up6(→))))-eq \(OA,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→))=eq \f(1,3)b+eq \f(1,3)c-a,B正确;
    对于C,因为点P在线段AN上,且AP=3PN,所以eq \(AP,\s\up6(→))=eq \f(3,4)eq \(AN,\s\up6(→))=eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)b+\f(1,3)c-a))=eq \f(1,4)b+eq \f(1,4)c-eq \f(3,4)a,C错误;
    对于D,eq \(OP,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(AP,\s\up6(→))=a+eq \f(1,4)b+eq \f(1,4)c-eq \f(3,4)a=eq \f(1,4)a+eq \f(1,4)b+eq \f(1,4)c,D正确.
    方法总结:本题考查空间向量基本定理及向量的线性运算. 用不共面的三个向量作为基向量表示某一向量时注意以下三点:(1)结合已知和所求向量观察图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
    考向二 共线、共面向量定理的应用
    例2、已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
    (1) 求证:E,F,G,H四点共面;
    (2) 求证:BD∥平面EFGH;
    (3) 设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有 eq \(OM,\s\up6(→))= eq \f(1,4)( eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \(OB,\s\up6(→))+ eq \(OC,\s\up6(→))+ eq \(OD,\s\up6(→))).
    【解析】 (1) 连接BG,
    则 eq \(EG,\s\up6(→))= eq \(EB,\s\up6(→))+ eq \(BG,\s\up6(→))= eq \(EB,\s\up6(→))+ eq \f(1,2)( eq \(BC,\s\up6(→))+ eq \(BD,\s\up6(→)))= eq \(EB,\s\up6(→))+ eq \(BF,\s\up6(→))+ eq \(EH,\s\up6(→))= eq \(EF,\s\up6(→))+ eq \(EH,\s\up6(→)),
    由共面向量定理的推论,得E,F,G,H四点共面.
    (2) 因为 eq \(EH,\s\up6(→))= eq \(AH,\s\up6(→))- eq \(AE,\s\up6(→))= eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))- eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))= eq \f(1,2)( eq \(AD,\s\up6(→))- eq \(AB,\s\up6(→)))= eq \f(1,2) eq \(BD,\s\up6(→)),所以EH∥BD.
    又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,
    所以BD∥平面EFGH.
    (3) 任取一点O,连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG.由(2),知 eq \(EH,\s\up6(→))= eq \f(1,2) eq \(BD,\s\up6(→)),同理 eq \(FG,\s\up6(→))= eq \f(1,2) eq \(BD,\s\up6(→)),
    所以 eq \(EH,\s\up6(→))= eq \(FG,\s\up6(→)),即EH与FG平行且相等,
    所以四边形EFGH是平行四边形,
    所以EG,FH交于一点M,且被点M平分.
    故 eq \(OM,\s\up6(→))= eq \f(1,2)( eq \(OE,\s\up6(→))+ eq \(OG,\s\up6(→)))= eq \f(1,2) eq \(OE,\s\up6(→))+ eq \f(1,2) eq \(OG,\s\up6(→))
    = eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)(\(OA,\s\up6(→))+\(OB,\s\up6(→)))))+ eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)(\(OC,\s\up6(→))+\(OD,\s\up6(→)))))
    = eq \f(1,4)( eq \(OA,\s\up6(→))+ eq \(OB,\s\up6(→))+ eq \(OC,\s\up6(→))+ eq \(OD,\s\up6(→))).
    变式1、(多选)(2021·武汉质检)下列说法中正确的是( )
    A.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件
    B.若eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))共线,则AB∥CD
    C.A,B,C三点不共线,对空间任意一点O,若eq \(OP,\s\up6(→))=eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))+eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))+eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→)),则P,A,B,C四点共面
    D.若P,A,B,C为空间四点,且有eq \(PA,\s\up6(→))=λeq \(PB,\s\up6(→))+μeq \(PC,\s\up6(→))(eq \(PB,\s\up6(→)),eq \(PC,\s\up6(→))不共线),则λ+μ=1是A,B,C三点共线的充要条件
    【答案】 CD
    【解析】 由|a|-|b|=|a+b|,可得向量a,b的方向相反,此时向量a,b共线,反之,当向量a,b同向时,不能得到|a|-|b|=|a+b|,所以A不正确;
    若eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))共线,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,所以B不正确;
    由A,B,C三点不共线,对空间任意一点O,若eq \(OP,\s\up6(→))=eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))+eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))+eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→)),因为eq \f(3,4)+eq \f(1,8)+eq \f(1,8)=1,可得P,A,B,C四点共面,所以C正确;
    若P,A,B,C为空间四点,且有eq \(PA,\s\up6(→))=λeq \(PB,\s\up6(→))+μeq \(PC,\s\up6(→))(eq \(PB,\s\up6(→)),eq \(PC,\s\up6(→))不共线),当λ+μ=1时,即μ=1-λ,可得eq \(PA,\s\up6(→))-eq \(PC,\s\up6(→))=λ(eq \(PB,\s\up6(→))+eq \(CP,\s\up6(→))),即eq \(CA,\s\up6(→))=λeq \(CB,\s\up6(→)),所以A,B,C三点共线,反之也成立,即λ+μ=1是A,B,C三点共线的充要条件,所以D正确.
    变式2、已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足eq \(OM,\s\up6(→))=eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(OB,\s\up6(→))+eq \(OC,\s\up6(→))).
    (1)判断eq \(MA,\s\up6(→)),eq \(MB,\s\up6(→)),eq \(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面;
    (2)判断点M是否在平面ABC内.
    【解析】 (1)由题知eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(OB,\s\up6(→))+eq \(OC,\s\up6(→))=3eq \(OM,\s\up6(→)),
    ∴eq \(OA,\s\up6(→))-eq \(OM,\s\up6(→))=(eq \(OM,\s\up6(→))-eq \(OB,\s\up6(→)))+(eq \(OM,\s\up6(→))-eq \(OC,\s\up6(→))),
    即eq \(MA,\s\up6(→))=eq \(BM,\s\up6(→))+eq \(CM,\s\up6(→))=-eq \(MB,\s\up6(→))-eq \(MC,\s\up6(→)),
    ∴eq \(MA,\s\up6(→)),eq \(MB,\s\up6(→)),eq \(MC,\s\up6(→))共面.
    (2)由(1)知,eq \(MA,\s\up6(→)),eq \(MB,\s\up6(→)),eq \(MC,\s\up6(→))共面且基线过同一点M,
    ∴M,A,B,C四点共面,从而点M在平面ABC内.
    变式3、.如图所示,已知斜三棱柱ABC ­A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足eq \(AM,\s\up7(―→))=keq \(AC1,\s\up7(―→)),eq \(BN,\s\up7(―→))=keq \(BC,\s\up7(―→))(0≤k≤1).判断向量eq \(MN,\s\up7(―→))是否与向量eq \(AB,\s\up7(―→)),eq \(AA1,\s\up7(―→))共面.
    【解析】∵eq \(AM,\s\up7(―→))=keq \(AC1,\s\up7(―→)),eq \(BN,\s\up7(―→))=keq \(BC,\s\up7(―→)),
    ∴eq \(MN,\s\up7(―→))=eq \(MA,\s\up7(―→))+eq \(AB,\s\up7(―→))+eq \(BN,\s\up7(―→))=keq \(C1A,\s\up7(―→))+eq \(AB,\s\up7(―→))+keq \(BC,\s\up7(―→))=k(eq \(C1A,\s\up7(―→))+eq \(BC,\s\up7(―→)))+eq \(AB,\s\up7(―→))=k(eq \(C1A,\s\up7(―→))+eq \(B1C1,\s\up7(―→)))+eq \(AB,\s\up7(―→))=keq \(B1A,\s\up7(―→))+eq \(AB,\s\up7(―→))=eq \(AB,\s\up7(―→))-keq \(AB1,\s\up7(―→))=eq \(AB,\s\up7(―→))-k(eq \(AA1,\s\up7(―→))+eq \(AB,\s\up7(―→)))=(1-k)eq \(AB,\s\up7(―→))-keq \(AA1,\s\up7(―→)),
    ∴由共面向量定理知向量eq \(MN,\s\up7(―→))与向量eq \(AB,\s\up7(―→)),eq \(AA1,\s\up7(―→))共面.
    方法总结:证明空间三点P,A,B共线的方法有:①eq \(PA,\s\up6(→))=λeq \(PB,\s\up6(→)) (λ∈R);
    ②对空间任一点O,eq \(OP,\s\up6(→))=xeq \(OA,\s\up6(→))+yeq \(OB,\s\up6(→)) (x+y=1). 证明空间四点P,M,A,B共面的方法有:①eq \(MP,\s\up6(→))=xeq \(MA,\s\up6(→))+yeq \(MB,\s\up6(→));②对空间任一点O,eq \(OP,\s\up6(→))=xeq \(OM,\s\up6(→))+yeq \(OA,\s\up6(→))+zeq \(OB,\s\up6(→)) (x+y+z=1);③eq \(PM,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→)) (或eq \(PA,\s\up6(→))∥eq \(MB,\s\up6(→))或eq \(PB,\s\up6(→))∥eq \(AM,\s\up6(→))). 三点共线通常转化为向量共线,四点共面通常转化为向量共面,线面平行可转化为向量共线、共面来证明.
    考向三 空间向量数量积的应用
    例3、 如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.
    (1)求AC1的长;
    (2)求证:AC1⊥BD;
    (3)求BD1与AC夹角的余弦值.
    【解析】:(1)记eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AD,\s\up6(→))=b,eq \(AA1,\s\up6(→))=c,
    则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
    ∴a·b=b·c=c·a=eq \f(1,2).
    |eq \(AC1,\s\up6(→))|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)
    =1+1+1+2×(eq \f(1,2)+eq \f(1,2)+eq \f(1,2))=6,
    ∴|eq \(AC1,\s\up6(→))|=eq \r(6),即AC1的长为eq \r(6).
    (2)∵eq \(AC1,\s\up6(→))=a+b+c,
    eq \(BD,\s\up6(→))=b-a,
    ∴eq \(AC1,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))=(a+b+c)(b-a)
    =a·b+|b|2+b·c-|a|2-a·b-a·c
    =b·c-a·c
    =|b||c|cs 60°-|a||c|cs 60°=0.
    ∴eq \(AC1,\s\up6(→))⊥eq \(BD,\s\up6(→)),∴AC1⊥BD.
    (3)eq \(BD1,\s\up6(→))=b+c-a,eq \(AC,\s\up6(→))=a+b,∴|eq \(BD1,\s\up6(→))|=eq \r(2),|eq \(AC,\s\up6(→))|=eq \r(3),
    eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=(b+c-a)·(a+b)
    =b2-a2+a·c+b·c=1.
    ∴cs〈eq \(BD1,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))〉=eq \f(\(BD1,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(BD1,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)=eq \f(\r(6),6).
    ∴AC与BD1夹角的余弦值为eq \f(\r(6),6).
    方法总结:空间向量数量积计算的两种方法:(1)基向量法:a·b=|a||b|cs〈a,b〉. (2)坐标法:设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a·b=x1x2+y1y2+z1z2. 利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置. 利用夹角公式,可以求异面直线所成的角,也可以求二面角. 可以通过|a|=eq \r(a2),将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解,体现转化与化归的数学思想
    考向四 利用空间向量证明平行或垂直
    例4 如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2eq \r(5),AA1=eq \r(7),BB1=2eq \r(7),点E和F分别为BC和A1C的中点.
    (1)求证:EF∥平面A1B1BA;
    (2)求证:平面AEA1⊥平面BCB1.
    证明 因为AB=AC,E为BC的中点,所以AE⊥BC.
    因为AA1⊥平面ABC,AA1∥BB1,
    所以过E作平行于BB1的垂线为z轴,EC,EA所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
    因为AB=3,BE=eq \r(5),所以AE=2,
    所以E(0,0,0),C(eq \r(5),0,0),A(0,2,0),B(-eq \r(5),0,0),B1(-eq \r(5),0,2eq \r(7)),A1(0,2,eq \r(7)),则Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2),1,\f(\r(7),2))).
    (1)eq \(EF,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2),1,\f(\r(7),2))),eq \(AB,\s\up6(→))=(-eq \r(5),-2,0),eq \(AA1,\s\up6(→))=(0,0,eq \r(7)).
    设平面A1B1BA的一个法向量为n=(x,y,z),
    则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))=0,,n·\(AA1,\s\up6(→))=0,))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-\r(5)x-2y=0,,\r(7)z=0,))
    取eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=-2,,y=\r(5),,z=0,))所以n=(-2,eq \r(5),0).
    因为eq \(EF,\s\up6(→))·n=eq \f(\r(5),2)×(-2)+1×eq \r(5)+eq \f(\r(7),2)×0=0,
    所以eq \(EF,\s\up6(→))⊥n.
    又EF⊄平面A1B1BA,
    所以EF∥平面A1B1BA.
    (2)因为EC⊥平面AEA1,
    所以eq \(EC,\s\up6(→))=(eq \r(5),0,0)为平面AEA1的一个法向量.
    又EA⊥平面BCB1,
    所以eq \(EA,\s\up6(→))=(0,2,0)为平面BCB1的一个法向量.
    因为eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(EA,\s\up6(→))=0,所以eq \(EC,\s\up6(→))⊥eq \(EA,\s\up6(→)),
    故平面AEA1⊥平面BCB1.
    变式1、在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,BB1= eq \r(2),M是线段B1D1的中点.求证:
    (1) BM∥平面D1AC;
    (2) D1O⊥平面AB1C.
    【解析】 (1) 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则O(1,1,0),D1(0,0, eq \r(2)),B(2,2,0),M(1,1, eq \r(2)),
    所以 eq \(OD1,\s\up6(→))=(-1,-1, eq \r(2)), eq \(BM,\s\up6(→))=(-1,-1, eq \r(2)),
    所以 eq \(OD1,\s\up6(→))= eq \(BM,\s\up6(→)).
    又因为OD1与BM不共线,
    所以OD1∥BM.
    又OD1⊂平面D1AC,BM⊄平面D1AC,
    所以BM∥平面D1AC.
    (2) 连接OB1,点B1(2,2, eq \r(2)),A(2,0,0),C(0,2,0).
    因为 eq \(OD1,\s\up6(→))· eq \(OB1,\s\up6(→))=(-1,-1, eq \r(2))·(1,1, eq \r(2))=0, eq \(OD1,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))=(-1,-1, eq \r(2))·(-2,2,0)=0,
    所以 eq \(OD1,\s\up6(→))⊥ eq \(OB1,\s\up6(→)), eq \(OD1,\s\up6(→))⊥ eq \(AC,\s\up6(→)),
    即OD1⊥OB1,OD1⊥AC.
    又OB1∩AC=O,OB1⊂平面AB1C,AC⊂平面AB1C,
    所以D1O⊥平面AB1C.
    变式2、 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD= eq \f(\r(2),2)AD,设E,F分别为PC,BD的中点.求证:
    (1) EF∥平面PAD;
    (2) 平面PAB⊥平面PDC.
    【解析】 (1) 如图,取AD的中点O,连接OP,OF.
    因为PA=PD,所以PO⊥AD.
    因为侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,
    所以PO⊥平面ABCD.
    又O,F分别为AD,BD的中点,
    所以OF∥AB.
    又四边形ABCD是正方形,所以OF⊥AD.
    因为PA=PD= eq \f(\r(2),2)AD,
    所以PA⊥PD,OP=OA= eq \f(a,2).
    以O为坐标原点,OA,OF,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
    则A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2),0,0)),F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(a,2),0)),D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(a,2),0,0)),P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,0,\f(a,2))),B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2),a,0)),C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(a,2),a,0)).
    因为E为PC的中点,所以E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(a,4),\f(a,2),\f(a,4))).
    易知平面PAD的一个法向量为 eq \(OF,\s\up6(→))= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(a,2),0)).
    因为 eq \(EF,\s\up6(→))= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4),0,-\f(a,4))),且 eq \(OF,\s\up6(→))· eq \(EF,\s\up6(→))= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(a,2),0))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4),0,-\f(a,4)))=0,
    所以 eq \(OF,\s\up6(→))⊥ eq \(EF,\s\up6(→)),所以EF∥平面PAD.
    (2) 因为 eq \(PA,\s\up6(→))= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2),0,-\f(a,2))), eq \(CD,\s\up6(→))=(0,-a,0),
    所以 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2),0,-\f(a,2)))·(0,-a,0)=0,
    所以 eq \(PA,\s\up6(→))⊥ eq \(CD,\s\up6(→)),所以PA⊥CD.
    又PA⊥PD,PD∩CD=D,PD⊂平面PDC,CD⊂平面PDC,
    所以PA⊥平面PDC.
    又PA⊂平面PAB,
    所以平面PAB⊥平面PDC.
    1、如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AD,\s\up6(→))=b,eq \(AA1,\s\up6(→))=c,则下列向量中与eq \(BM,\s\up6(→))相等的向量是( )
    A.-eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b+c B.eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b+c
    C.-eq \f(1,2)a-eq \f(1,2)b+c D.eq \f(1,2)a-eq \f(1,2)b+c
    【答案】 A
    【解析】 eq \(BM,\s\up6(→))=eq \(BB1,\s\up6(→))+eq \(B1M,\s\up6(→))=eq \(AA1,\s\up6(→))+eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→)))=c+eq \f(1,2)(b-a)=-eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b+c.
    2、已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为( )
    A.eq \f(5π,6) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,6)
    【答案】: D
    【解析】: ∵a·b=x+2=3,∴x=1,∴b=(1,1,2),
    ∴cs〈a,b〉=eq \f(a·b,|a||b|)=eq \f(3,\r(2)×\r(6))=eq \f(\r(3),2),
    又∵〈a,b〉∈[0,π],∴a与b的夹角为eq \f(π,6),故选D.
    3、(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果eq \(AB,\s\up7(―→))=(2,-1,-4),eq \(AD,\s\up7(―→))=(4,2,0),eq \(AP,\s\up7(―→))=(-1,2,-1).下列结论正确的有( )
    A.AP⊥AB
    B.AP⊥AD
    C.eq \(AP,\s\up7(―→))是平面ABCD的一个法向量
    D.eq \(AP,\s\up7(―→))∥eq \(BD,\s\up7(―→))
    【答案】ABC
    【解析】对于A,eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AP,\s\up7(―→))=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,∴eq \(AP,\s\up7(―→))⊥eq \(AB,\s\up7(―→)),即AP⊥AB,A正确;对于B,eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(AD,\s\up7(―→))=(-1)×4+2×2+(-1)×0=0,∴eq \(AP,\s\up7(―→))⊥eq \(AD,\s\up7(―→)),即AP⊥AD,B正确;对于C,由eq \(AP,\s\up7(―→))⊥eq \(AB,\s\up7(―→)),且eq \(AP,\s\up7(―→))⊥eq \(AD,\s\up7(―→)),得出eq \(AP,\s\up7(―→))是平面ABCD的一个法向量,C正确;对于D,由eq \(AP,\s\up7(―→))是平面ABCD的法向量,得出eq \(AP,\s\up7(―→))⊥eq \(BD,\s\up7(―→)),则D错误.故选A、B、C.
    4、(多选)已知ABCD­A1B1C1D1为正方体,下列说法中正确的是( )
    A.(eq \(A1A,\s\up7(―→))+eq \(A1D1,\s\up7(―→))+eq \(A1B1,\s\up7(―→)))2=3(eq \(A1B1,\s\up7(―→)))2
    B.eq \(A1C,\s\up7(―→))·(eq \(A1B1,\s\up7(―→))-eq \(A1A,\s\up7(―→)))=0
    C.向量eq \(AD1,\s\up7(―→))与向量eq \(A1B,\s\up7(―→))的夹角是60°
    D.正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为|eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AA1,\s\up7(―→))·eq \(AD,\s\up7(―→))|
    【答案】AB
    【解析】由向量的加法得到:eq \(A1A,\s\up7(―→))+eq \(A1D1,\s\up7(―→))+eq \(A1B1,\s\up7(―→))=eq \(A1C,\s\up7(―→)),∵A1C2=3A1Beq \\al(2,1),∴(eq \(A1C,\s\up7(―→)))2=3(eq \(A1B1,\s\up7(―→)))2,所以A正确;∵eq \(A1B1,\s\up7(―→))-eq \(A1A,\s\up7(―→))=eq \(AB1,\s\up7(―→)),AB1⊥A1C,∴eq \(A1C,\s\up7(―→))·eq \(AB1,\s\up7(―→))=0,故B正确;∵△ACD1是等边三角形,∴∠AD1C=60°,又A1B∥D1C,∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°,但是向量eq \(AD1,\s\up7(―→))与向量eq \(A1B,\s\up7(―→))的夹角是120°,故C不正确;∵AB⊥AA1,∴eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AA1,\s\up7(―→))=0,故|eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AA1,\s\up7(―→))·eq \(AD,\s\up7(―→))|=0,因此D不正确.故选A、B.
    5、如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=eq \r(2),AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE.则M点的坐标为( )
    A.(1,1,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),3),\f(\r(2),3),1))
    C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2),\f(\r(2),2),1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4),\f(\r(2),4),1))
    【答案】 C
    【解析】 设AC与BD相交于O点,连接OE,由AM∥平面BDE,且AM⊂平面ACEF,平面ACEF∩平面BDE=OE,∴AM∥EO.
    又O是正方形ABCD对角线交点,
    ∴M为线段EF的中点.
    在空间直角坐标系中,E(0,0,1),F(eq \r(2),eq \r(2),1),
    由中点坐标公式,知点M的坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2),\f(\r(2),2),1)).
    6、.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,E为棱AB的中点,eq \(AF,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→)),eq \(AG,\s\up6(→))=2eq \(GA1,\s\up6(→)),AC1与平面EFG交于点M,则eq \f(AM,AC1)=________.
    【答案】 eq \f(2,13)
    【解析】 由题图知,设eq \(AM,\s\up6(→))=λeq \(AC1,\s\up6(→))(0<λ<1),
    由已知eq \(AC1,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(AA1,\s\up6(→))
    =2eq \(AE,\s\up6(→))+3eq \(AF,\s\up6(→))+eq \f(3,2)eq \(AG,\s\up6(→)),
    所以eq \(AM,\s\up6(→))=2λeq \(AE,\s\up6(→))+3λeq \(AF,\s\up6(→))+eq \f(3λ,2)eq \(AG,\s\up6(→)).
    因为M,E,F,G四点共面,所以2λ+3λ+eq \f(3λ,2)=1,解得λ=eq \f(2,13).
    7、.(2022·石家庄质检)如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC和∠A1AC均为60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.
    (1)求证:BD⊥AA1;
    (2)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置,若不存在,请说明理由.
    (1)证明 设BD与AC交于点O,
    则BD⊥AC.连接A1O,
    在△AA1O中,AA1=2,AO=1,∠A1AO=60°,
    所以A1O2=AAeq \\al(2,1)+AO2-2AA1·AOcs 60°=3,
    所以AO2+A1O2=AAeq \\al(2,1),所以A1O⊥AO.
    由于平面AA1C1C⊥平面ABCD,
    且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,
    A1O⊂平面AA1C1C,
    所以A1O⊥平面ABCD.
    以OB,OC,OA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
    则A(0,-1,0),B(eq \r(3),0,0),C(0,1,0),
    D(-eq \r(3),0,0),A1(0,0,eq \r(3)),C1(0,2,eq \r(3)).
    由于eq \(BD,\s\up6(→))=(-2eq \r(3),0,0),eq \(AA1,\s\up6(→))=(0,1,eq \r(3)),eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))=0×(-2eq \r(3))+1×0+eq \r(3)×0=0,
    所以eq \(BD,\s\up6(→))⊥eq \(AA1,\s\up6(→)),即BD⊥AA1.
    (2)解 假设在直线CC1上存在点P,
    使BP∥平面DA1C1,
    设eq \(CP,\s\up6(→))=λeq \(CC1,\s\up6(→)),P(x,y,z),
    则(x,y-1,z)=λ(0,1,eq \r(3)),
    从而有P(0,1+λ,eq \r(3)λ),
    eq \(BP,\s\up6(→))=(-eq \r(3),1+λ,eq \r(3)λ).
    又eq \(A1C1,\s\up6(→))=(0,2,0),eq \(DA1,\s\up6(→))=(eq \r(3),0,eq \r(3)),
    设平面DA1C1的一个法向量为
    n3=(x3,y3,z3),
    则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n3·\(A1C1,\s\up6(→))=0,,n3·\(DA1,\s\up6(→))=0,))
    则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2y3=0,,\r(3)x3+\r(3)z3=0,))取n3=(1,0,-1).
    因为BP∥平面DA1C1,所以n3⊥eq \(BP,\s\up6(→)),
    即n3·eq \(BP,\s\up6(→))=-eq \r(3)-eq \r(3)λ=0,解得λ=-1,
    即点P在C1C的延长线上,且CP=CC1.概念
    语言描述
    共线向量(平行向量)
    表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
    共面向量
    平行于同一个平面的向量
    共线向量定理
    对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb
    共面向量定理
    若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb
    空间向量基本定理及推论
    定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组{x,y,z}使得p=xa+yb+zc.
    推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使eq \(OP, \s\up7(―→))=xeq \(OA, \s\up7(―→))+yeq \(OB, \s\up7(―→))+zeq \(OC, \s\up7(―→))且x+y+z=1
    a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
    向量和
    a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
    向量差
    a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
    数量积
    a·b=a1b1+a2b2+a3b3
    共线
    a∥b⇒a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)
    垂直
    a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0
    夹角公式
    cs〈a,b〉=eq \f(a1b1+a2b2+a3b3,\r(a\\al(2,1)+a\\al(2,2)+a\\al(2,3))\r(b\\al(2,1)+b\\al(2,2)+b\\al(2,3)))
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