(新高考)高考数学一轮复习第26讲《正弦定理和余弦定理》达标检测(解析版)

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第26讲 正弦定理和余弦定理（达标检测）[A组]—应知应会1．（春•南京期末）在中，，，，则角等于　　A． B． C． D．或【分析】根据正弦定理建立方程关系进行求解即可．【解答】解：，，，由正弦定理，可得：，得，则或，故选：．2．（春•宜宾期末）在中，若，，，则的面积　　A． B． C．6 D．4【分析】由已知利用余弦定理可得，解方程可得的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：，，，由余弦定理，可得：，整理可得：，解得，或（舍去），．故选：．3．（春•凉山州期末）的内角，，的对边分别为，，，，，，则角等于　　A． B．或 C． D．或【分析】由，利用正弦定理可得，即可得解．【解答】解：，，，．故选：．4．（春•禅城区期末）中，，，，则的形状一定为　　A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形【分析】由已知利用正弦定理可求，进而可得或，分类讨论，分别求出的值即可判断得解．【解答】解：中，因为，由正弦定理，可得，故或，当时，，为直角三角形；当时，，为等腰三角形；综上，的形状一定为等腰三角形或直角三角形．故选：．5．（春•九龙坡区期末）在中，角，，的对边分别为．．．根据下列条件解三角形，其中有两解的是　　A．，， B．，， C．，， D．，，【分析】，根据三边关系判断只有一解；，根据三角形内角和定理与正弦定理，判断只有一解；，利用正弦定理与大边对大角，得出只有一解；，根据正弦定理和三角形的边角关系，得出有两解．【解答】解：对于，，，，三边关系确定，所以只有一解；对于，，，，所以，由正弦定理求得、的值，所以只有一解；对于，，，，由正弦定理得，且，所以唯一确定，所以只有一解；对于，，，，由正弦定理得，且，，所以的值有两个，有两解．故选：．6．（春•徐州期末）在中，已知，边，且的面积为，则边的长为　　A．2 B． C． D．4【分析】先由可求出的长，再由余弦定理，代入数据进行运算即可得解．【解答】解：由得，，，由余弦定理知，，．故选：．7．（春•黔南州期末）设，，分别为内角，，的对边．巳知，，则　　A．5 B． C． D．【分析】由正弦定理化简已知等式可得，进而由余弦定理即可求解的值．【解答】解：，由正弦定理可得，即，，由余弦定理可得：，解得．故选：．8．（•沙坪坝区校级模拟）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平．他在著作《数书九章》中叙述了已知三角形的三条边长，，，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．已知的三条边长为，，，其面积为12，且，则周长的最小值为　　A．12 B．14 C．16 D．18【分析】结合面积公式，以及代数运算的方法，容易求出的值，然后结合基本不等式，即可求出周长的最小值．【解答】解：由已知：①，且②，．由将②式代入①式得：，周长．取等条件，，故周长的最小值为16．故选：．9．（春•沙坪坝区校级期末）在锐角中，若，且，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【分析】由，可得；再结合正弦定理和余弦定理，将中的角化边，化简整理后可求得；根据锐角和，可推出，，由于，故，，于是，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解．【解答】解：由，得，，，．由正弦定理知，，由余弦定理知，，，，化简整理得，，，，由正弦定理，有，，，锐角，且，，，解得，，，，，，，，，的取值范围为，．故选：．10．（多选）（春•梅州期末）在中，角，，所对的边分别是，，，下列说法正确的有　　A． B．若，则 C．若，则 D．【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式逐一分析各个选项即可求解．【解答】解：对于，由正弦定理，可得：，故正确；对于，由，可得，或，即，或，，或，故错误；对于，在中，由正弦定理可得，因此是的充要条件，正确；对于，由正弦定理，可得右边左边，故正确．故选：．11．（多选）（春•鼓楼区校级期末）对于，下列说法中正确的是　　A．若，则为等腰三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，，，则的面积为或【分析】，由题可知，或，所以为等腰三角形或直角三角形，即错误；，角与角互余，所以为直角三角形，即正确；，利用正弦定理将角化边，有，由余弦定理知，，可推出为钝角三角形，即正确；，由正弦定理知，或，然后分两类讨论：当时，为直角三角形，可求得；当时，为等腰三角形，可求得．【解答】解：对于选项，若，则或，所以或，即为等腰三角形或直角三角形，所以错误；对于选项，若，则与互余，所以为直角三角形，所以正确；对于选项，由正弦定理知，，若，则，由余弦定理知，，所以为钝角，为钝角三角形，即正确；对于选项，由正弦定理知，，即，所以，因为，所以或，当时，为直角三角形，且，所以；当时，为等腰三角形，，所以．综上所述，的面积为或，所以正确．故选：．12．（春•马鞍山期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　    ．【分析】由已知利用正弦定理可得，结合大边对大角可求，根据特殊角的三角函数值即可求解的值．【解答】解：，，，由正弦定理，可得，，可得，．故答案为：．13．（春•重庆期末）已知中，角，，的对边分别为，，，，则　　．【分析】由已知利用特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式可求，的值，进而由正弦定理可求得的值．【解答】解：，，，由正弦定理，可得：．故答案为：．14．（2019秋•密云区期末）在中，，，分别是角，，的对边，且，，，则　　   ，　   　．【分析】由已知结合余弦定理可求，然后结合正弦定理可求．【解答】解：由余弦定理可得，，解可得，，由正弦定理可得，，故，因为为三角形的内角且，所以．故答案为：，．15．（春•金华期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为　      　．【分析】由已知利用余弦定理可得，解得的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：中，，，，由余弦定理，可得，即，解得，或（舍去），．故答案为：．16．（春•渝中区校级期末）在中，内角、、所对的边分别为、、，若，，，则　      　．【分析】根据条件得到，由正弦定理得到，解出，利用二倍角公式即可求解．【解答】解：因为，所以，由正弦定理可得，因为，则，因为，所以解得，故，则，故答案为：．17．（•新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，证明：是直角三角形．【分析】（1）由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，解方程得，结合范围，可求的值；（2）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，结合范围，，可求，即可得证．【解答】解：（1），，解得，，；（2）证明：，，由正弦定理可得，，，，，，可得，可得是直角三角形，得证．18．（•江苏）在中，角、、的对边分别为、、．已知，，．（1）求的值；（2）在边上取一点，使得，求的值．【分析】（1）由题意及余弦定理求出边，再由正弦定理求出的值；（2）三角形的内角和为，，可得为钝角，可得与互为补角，所以展开可得及，进而求出的值．【解答】解：（1）因为，，．由余弦定理可得：，由正弦定理可得，所以，所以；（2）因为，所以，在三角形 中，易知为锐角，由（1）可得，所以在三角形中，，因为，所以，所以．19．（•新课标Ⅱ）中，．（1）求；（2）若，求周长的最大值．【分析】（1）运用余弦定理和特殊角的三角函数值，可得所求角；（2）方法一、运用正弦定理和三角函数的和差公式，结合余弦函数的图象和性质，可得所求最大值．方法二、运用余弦定理和基本不等式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）设的内角，，所对的边分别为，，，因为，由正弦定理可得，即为，由余弦定理可得，由，可得；（2）由题意可得，又，可设，，，由正弦定理可得，可得，，则周长为，，当，即时，的周长取得最大值．另解：，，又，，由，则（当且仅当时，“”成立），则周长的最大值为．20．（春•广东期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且．（1）求；（2）若的面积为，求的周长．【分析】（1）利用两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得，结合，利用余弦定理可求，结合范围利用同角三角函数基本关系式可求的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求的值，结合，可求的值，由（1）可求的值，即可得解三角形的周长．【解答】解：（1）因为 ，可得，所以因为，所以 ， 因为，所以 （2）因为的面积为 ，所以因为，所以因为，所以故的周长为21．（春•日照期末）在①； ②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在中，角，，的对边分别为，，，已知 _____，．（1）求；（2）如图，为边上一点，，，求边．【分析】若选①，（1）由正弦定理可得的正切值，再由的范围及正弦的定义求出的正弦值；（2）设，由，可得，在中由余弦定理可得的值，在中，可得的值；若选②（1）由三角形内角和和正弦定理及2倍角的正弦公式可得的正弦值，进而求出其余弦值，求出的正弦值；（2）同选①的答案．【解答】解：若选①，则答案为：（1）在①，由正弦定理可得，因为，所以可得，在中，所以，所以；（2）因为，设，由图可得，在中，由余弦定理可得，而，所以，解得，在中，．若选②，则答案为：（1）因为，所以，由正弦定理可得，因为，，所以，，所以，（2）答案同选①．22．（春•潍坊期末）从①，②这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答．已知中，，，分别是内角，，所对的边，且．（1）求角；（2）已知，且____，求的值及的面积．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得，根据余弦定理可求，结合范围，可求的值．（2）选择①时，由，，利用两角和的正弦函数公式可求，根据正弦定理，可得，利用三角形的面积公式即可计算得解；选择②时，，根据正弦定理解得，利用两角和的正弦函数公式可求，根据正弦定理可得，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）因为，由正弦定理可得，可得，因为，所以．（2）选择①时，，，故，根据正弦定理，可得，可得．选择②时，，根据正弦定理，可得，解得，，根据正弦定理，可得，可得． [B组]—强基必备1．（春•渝中区校级期末）已知非等腰的内角，，的对边分别是，，，且，若为最大边，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【分析】由，化简得到的值，根据余弦定理和基本不等式求出即可．【解答】解：由，得，即，则，，通分得，故，故，因为为最大角，所以，由余弦定理，当且仅当时，取等号，故，则，由，得，所以的取值范围是，，故选：．2．（春•静海区校级期中）在锐角三角形中，若，且满足关系式，则的取值范围是　　A． B． C． D．【分析】由，推导出，由，推导出，再由正弦定理可得，，由此能求出的取值范围【解答】解：，，，，，，，，，，由正弦定理可得，，，，三角形为锐角三角形，，，即故选：．3．（•郑州三模）在中，角，，所对的边分别为、、，，，则，则　　．【分析】由正弦定理化简已知等式，结合，可得，可得，或，由于若，可得推出矛盾，可得，根据三角形内角和定理可得，可求范围，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据余弦定理可求的值．【解答】解：，，，由正弦定理可得：，，，可得，或，若，由于，可得，可得（舍去），，可得，可得：，，，，由，可得，由余弦定理可得．故答案为：．