第10讲 解三角形(利用基本不等式求范围与最值)-2023-2024高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版必修第二册)

第10讲 利用基本不等式求范围与最值

【必备知识】

1.公式总结

2.三角形中求范围与最值的方法

【典例剖析】

类型一:利用均值不等式求周长的范围与最值

1．在中，角所对的边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是（       ）

A． B． C． D．

2．在中，已知，，则周长的最大值为（       ）

A．8 B．10 C．12 D．14

3．已知中，、分别是线段、的中点，与交于点，且，若，则周长的最大值为__________

4．已知向量，，函数．

(1)求函数在上的最大值；

(2)若的内角、、所对的边分别为、、，且，，求的周长的取值范围．

类型二:利用均值不等式求面积的范围与最值

1．的外接圆半径，角，则面积的最大值为（       ）

A． B． C．4 D．

2．在中，，D是BC上一点，且，，则面积的最大值是（       ）

A． B． C． D．

3．已知，，分别是内角，，的对边，，当时，面积的最大值为______．

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设．

(1)求角A；

(2)若，且AD＝2，求△ABC面积的最大值．

类型三:利用均值不等式求角度的范围与最值

1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csin C＝(a＋b)(sin B－sin A)，则当角C取得最大值时，B＝（       ）

A． B． C． D．

2．已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

3．在中，，若，则的最大值是____________．

4．在中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C．已知a，b，c成等比数列．

（1）求角的取值范围；

（2）若，求角的值.

类型四:利用均值不等式求线段的范围与最值

1．在中，，是线段上的点，，若的面积为，则的最大值是（       ）

A． B． C．1 D．

2．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

3．在中，，，D为BC中点，则AD最长为_________.

4．在中，角，，对边分别为，，，已知，且．

(1)求角；

(2)若为中点，求的最大值．

【过关检测】

一、单选题

1．已知锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积，且，则S的最大值为（       ）

A．6 B．4

C．2 D．1

2．在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

3．已知的三个内角分别为、、.若，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

4．在中，的平分线交于点，，则周长的最小值为（       ）

A． B． C． D．

5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

3．已知三角形中，角，，所对的边分别为，，，，且，边上的高为，则的最大值为（       ）

A． B．3 C． D．12

二、多选题

7．设的内角、、所对边的长分别为、、，下列命题正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

8．在中，、、所对的边为、、，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（       ）

A．若，则 B．的最大值为

C． D．角的最小值为

三、填空题

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，其中，，则S的最大值为______．

10．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，三角形ABC的面积为S，若，则______.

11．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且．若，则外接圆面积的最小值为______．

12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若的面积为，则的最小值为______．

四、解答题

13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．

(1)若，求的值；

(2)若的面积为，求边长c的最小值．

14．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，．

(1)求A；

(2)若，求△ABC面积的最大值．

15．已知在中，角的对边分别为，，且，

(1)若，，求；

(2)若，求的最大值．

16．在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.

(1)求角B；

(2)若D为AC的中点，且，求 ABC面积的最大值.