新高考数学一轮复习考点过关练习 利用基本不等式求最值（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点过关练习 利用基本不等式求最值（含解析），共31页。
1. 基本不等式
如果a>0，b>0，那么eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立. 该式叫基本不等式，其中，eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2. 几个重要不等式
3. 基本不等式求最值
(1)设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)(简记为：积定和最小).
(2)设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2(简记为：和定积最大).
4. 常用推论
(1)(a＋b)2≤2(a2＋b2).
(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
(3)|2ab|≤a2＋b2⇔－(a2＋b2)≤2ab≤a2＋b2.
(4)eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0).
即有：正数a，b的调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.
5. 三元均值不等式
(1)eq \f(a＋b＋c,3)≥eq \r(3,abc).
(2)eq \f(a3＋b3＋c3,3)≥abc.
以上两个不等式中a，b，c∈R，当且仅当a＝b＝c时等号成立.
6. 二维形式柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立.
【题型归纳】
题型一： 由基本不等式比较大小
1．已知m，n为正实数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题型二：直接求最值
4．若正实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 有最大值4
C． SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 有最小值2
5．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．0D．2
题型三：配凑法求最值
7．函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．2B．4C．5D．6
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
9．函数 SKIPIF 1 < 0 有（ ）
A．最大值 SKIPIF 1 < 0 B．最小值 SKIPIF 1 < 0 C．最大值2D．最小值2
题型四：常数代换求最值
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．已知 SKIPIF 1 < 0 都是正数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．3
12．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．13B．19C．21D．27
【双基达标】
13．设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为8，则 SKIPIF 1 < 0 的焦距的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
14．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则正实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15．已知 SKIPIF 1 < 0 为正实数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门 SKIPIF 1 < 0 里见到树，则 SKIPIF 1 < 0 ．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 里B． SKIPIF 1 < 0 里C． SKIPIF 1 < 0 里D． SKIPIF 1 < 0 里
17．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
18．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．2B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
19．已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），则该函数的（ ）．
A．最小值为3B．最大值为3
C．没有最小值D．最大值为 SKIPIF 1 < 0
20．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时， SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．4D． SKIPIF 1 < 0
21．某手机生产线的年固定成本为250万元，每生产x千台需另投入成本 SKIPIF 1 < 0 万元，当年产量不足80千台时， SKIPIF 1 < 0 (万元)；当年产量不小于80千台时， SKIPIF 1 < 0 (万元).每千台产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完.当年产量为（ ）千台时，该厂当年的利润最大？
A．60B．80C．100D．120
22．已知圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
23．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
24．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．1B．4C．7D． SKIPIF 1 < 0
25．已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
26．设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R，若存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 对一切实数x均成立，则称 SKIPIF 1 < 0 为“F函数”．给出下列函数：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．其中是“F函数”的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
27．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．7B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
28．若正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
29．若实数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．2
30．若正实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【高分突破】
单选题
31．已知 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，满足 SKIPIF 1 < 0 ，记线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 到抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
32．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
33．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
34．已知正实数x，y满足4x+3y＝4，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
35．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
36．已知两个正实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．8D．3
37．若实数 SKIPIF 1 < 0 满足约束条件 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 最大值为1，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
38．已知正数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 有最小值8
C． SKIPIF 1 < 0 有最小值4D． SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0
39．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式中对一切满足条件的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
40．设正实数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
41．已知实数 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 有最小值B． SKIPIF 1 < 0 有最大值
C． SKIPIF 1 < 0 有最小值D． SKIPIF 1 < 0 有最大值
三、填空题
42．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_________．
43．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是___________.
44．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为____________．
45．若正数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
46．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则二元函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
47．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.
四、解答题
48．（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值及对应 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值及对应 SKIPIF 1 < 0 的值．
49．（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时 SKIPIF 1 < 0 的值为？
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为？
（3）函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为？
50．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 ＜ SKIPIF 1 < 0 ．
51．某航运公司用300万元买回客船一艘，此船投入营运后，每月需开支燃油费、维修费、员工工资，已知每月燃油费7000元，第 SKIPIF 1 < 0 个月的维修费和工资支出为 SKIPIF 1 < 0 元.
（1）设月平均消耗为 SKIPIF 1 < 0 元，求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 （月）的函数关系；
（2）投入营运第几个月，成本最低？（月平均消耗最小）
（3）若第一年纯收入50万元（已扣除消耗），以后每年纯收入以5%递减，则多少年后可收回成本？
52．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求ab的最小值.
重要不等式
使用前提
等号成立条件
a2＋b2≥2ab
a，b∈R
a＝b
eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
ab>0
a＝b
eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≤－2
ab