2024年高三培优讲义38---解三角形中的最值与范围问题

这是一份2024年高三培优讲义38---解三角形中的最值与范围问题，共38页。试卷主要包含了三角形中的最值范围问题处理方法，边化角与角化边的变换原则等内容，欢迎下载使用。


知识点 ⋅ 梳理
一、三角形中的最值范围问题处理方法
1、利用基本不等式或常用不等式求最值: 化角为边
余弦定理公式里有 “平方和” 和 “积” 这样的整体, 一般可先由余弦定理得到等式, 再由基本
不等式求最值或范围, 但是要注意 “一正二定三相等”, 尤其是取得最值的条件。
2、转为三角函数求最值: 化边为角
如果所求整体结构不对称, 或者角度有更细致的要求, 用余弦定理和基本不等式难以解决, 这时候可以转化为角的关系, 消元后使得式子里只有一个角, 变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。
二、边化角与角化边的变换原则
在解三角形的问题中, 若已知条件同时含有边和角, 但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案, 要选择 “边化角” 或 “角化边”, 变换原则如下:
(1)若式子中含有正弦的齐次式, 优先考虑正弦定理 “角化边”;
(2)若式子中含有 a、b、c 的齐次式,优先考虑正弦定理 “边化角”;
(3)若式子中含有余弦的齐次式, 优先考虑余弦定理 “角化边”;
(4)代数式变形或者三角恒等变换前置;
(5)含有面积公式的问题, 要考虑结合余弦定理求解;
(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时, 要用到三角形的内角和定理.
高考真题 ⋅ 回顾
2022・全国甲卷（理&文）T16
1. 已知 △ABC 中,点 D 在边 BC 上, ∠ADB=120∘,AD=2,CD=2BD . 当 ACAB 取得最小值时, BD= ___.
2022 - 新高考 1 卷
2. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 csA1+sinA=sin2B1+cs2B .
(1) 若 C=2π3 ,求 B ; (2) 求 a2+b2c2 的最小值.
2020。浙江卷
3. 在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 2bsinA−3a=0 .
(I) 求角 B 的大小; (II) 求 csA+csB+csC 的取值范围.
2019 年全国III卷・文·理 T18
4. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 asinA+C2=bsinA .
（1）求 B ; (2) 若 △ABC 为锐角三角形,且 c=1 ,求 △ABC 面积的取值范围.
2018⋅ 北京卷
5. 若 △ABC 的面积为 34a2+c2−b2 ,且 ∠C 为钝角,则 ∠B= ;ca 的取值范围是
2018 . 江苏卷
6. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,∠ABC=120∘,∠ABC 的平分线交 AC 于点 D ,且 BD=1 , 则 4a+c 的最小值为___.
重点题型。归类精讲
题型一 由不等式求最值
角平分线相关
1. (多选) 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,∠ABC=π3 ,内角 B 的平分线交 AC 于点 D 且 BD=3 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 1a+1c=1 B. b 的最小值是 2
C. a+3c 的最小值是 43 D. △ABC 的面积最小值是 3
2. (2024 届·湖南衡阳市八中校考) 在① b+c−ab+c+a=bc ,② asinC=3acsC−b ,③
2b+ccsA+acsC=0 中选一个,补充在下面的横线中,并解答.
在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且满足___.
(1)求 A ;
(2)若内角 A 的角平分线交 BC 于 D 点,且 AD=3 ,求 △ABC 的面积的最小值. (注: 如果选择多个条件分别解答, 那么按第一个解答计分)
中线相关
3. (2024 届·湖北校联考) 已知 a,b,c 分别是 △ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,且 acsC+3asinC−b−c=0 . (1)求角 A ; (2)若 D 在边 BC 上且 BD=DC,AD=2 ,求 △ABC 面积的最大值.
浙江省百校联盟 2022-2023 学年高三上学期 11 月模拟
4. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 btanA+tanB=2ctanB,BC 边的中线长为 1 .
(1) 求角 A ; (2) 求边 a 的最小值.
福建省厦门双十中学高三上学期期中
5. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 2bsinA=3acsB+asinB .
（1）求角 B 的大小; (2) 设点 D 是 AC 的中点,若 BD=3 ,求 a+c 的取值范围.
定角定高
6. 如图,在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,AH=4,∠BAC=60∘ ,求 △ABC 面积的最小值.
对式子变形后利用基本不等式求最值
7. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 2acsinB+C+a2+c2−b2=0 .
(1) 若 A=π6,a=2 ,求 △ABC 的面积; (2) 求 4sin2C+3sin2A+2sin2B 的最小值,并求出此时 B 的大小.
湖南省益阳市 2022 届高三上学期 9 月调研
8. 已知 △ABC 的角 A,B,C 对边分别为 a,b,c,3acsB−bsinA=0 .
(1) 求 ∠B ; (2) 若 a+c=2 ,求 b 的取值范围.
题型二 构造函数求范围
9. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 π3,c=2 ,求 2a−b 的取值范围.
2024 届. 雅礼中学月考 (二)
10. 记锐角 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 sinA−BcsB=sinA−CcsC .
(1) 求证: B=C ; (2) 若 asinC=1 ,求 1a2+1b2 的最大值.
2023 届河北省唐山市三模
11. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 A 为钝角, asinB=bcsB .
(1) 若 C=π6 ,求 A ; (2) 求 csA+csB+csC 的取值范围.
12. (2024 届·湖南长郡中学校考) 在锐角 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 2sinAccsB+bcsC=3a.
(1) 求 A ; (2) 若 a=3 ,求 b2+c2+3bc 的取值范围.
2023 届广东江门市一模
13. 在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 1tanB,1sinA,1tanC 依次组成等差数列. (1) 求 a2bc 的值; (2) 若 b>c ,求 b2+c2a2 的取值范围.
2024 届常德市一中校考
14. 在 △ABC 中, a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 bcsC+12c=a ,请完成以下问题:
(1) 求角 B 的大小; (2)若 △ABC 为锐角三角形, c=1 ,求 a2+b2 的取值范围.
2024 届长沙一中月考 (一)
15. 在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且满足 b2−a2=ac .
(1) 求证: B=2A ; (2)设 △ABC 的周长为 l ,求 la 的取值范围.
2024 届长沙一中月考 (二)
16. △ABC 的内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c ,点 O 为 △ABC 的内心,记 △OBC,△OAC,△OAB 的面积分别为 S1,S2,S3 ,已知 S12+S32−S1S3=S22,AB=2 .
(1) 在 ① acsC+ccsA=1 ; ② 4sinBsinA+cs2A=1 ; ③ 1−2csAsinA+1−2csBsinB=0 中选一个作为条件,判断 △ABC 是否存在,求出 △ABC 的周长,若不存在,说明理由. (注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.)
(2)若 △ABC 为锐角三角形,求 △ABC 面积的取值范围.
17. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC=sinA+sinBcsA+csB .
(1) 求角 C 的大小; (2) 若 △ABC 是锐角三角形,且其面积为 3 ,求边 C 的取值范围.
18. (2024 届·扬州中学校考) 在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,b=3,sinA+asinB=23 , 则 △ABC 周长的取值范围为___.
2024 届河南省实验中学校考
19. 在锐角 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,满足 sinAsinC−1=sin2A−sin2Csin2B ,且 A≠C .
(1) 求证: B=2C ;
(2)已知 BD 是 ∠ABC 的平分线,若 a=4 ,求线段 BD 长度的取值范围.
湖北省腾云联盟 2023-2024 学年高三上学期 10 月联考
20. 在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 △ABC 的面积 S=bc1−csA ,则 a2bc 的取值范围为
A. 45,+∞ B. 45,1615 C. 45,3235 D. 3235,1615
专题 7-3 解三角形中的最值与范围问题
思维导图
知识点 ⋅ 梳理
一、三角形中的最值范围问题处理方法
1、利用基本不等式或常用不等式求最值: 化角为边
余弦定理公式里有 “平方和” 和 “积” 这样的整体, 一般可先由余弦定理得到等式, 再由基本
不等式求最值或范围, 但是要注意 “一正二定三相等”, 尤其是取得最值的条件。
2、转为三角函数求最值: 化边为角
如果所求整体结构不对称, 或者角度有更细致的要求, 用余弦定理和基本不等式难以解决, 这时候可以转化为角的关系, 消元后使得式子里只有一个角, 变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。
二、边化角与角化边的变换原则
在解三角形的问题中, 若已知条件同时含有边和角, 但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案, 要选择 “边化角” 或 “角化边”, 变换原则如下:
(1)若式子中含有正弦的齐次式, 优先考虑正弦定理 “角化边”;
(2)若式子中含有 a、b、c 的齐次式,优先考虑正弦定理 “边化角”;
(3)若式子中含有余弦的齐次式, 优先考虑余弦定理 “角化边”;
(4)代数式变形或者三角恒等变换前置;
(5)含有面积公式的问题, 要考虑结合余弦定理求解;
(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时, 要用到三角形的内角和定理.
高考真题 ⋅ 回顾
2022・全国甲卷（理&文）T16
1. 已知 △ABC 中,点 D 在边 BC 上, ∠ADB=120∘,AD=2,CD=2BD . 当 ACAB 取得最小值时, BD= ___. 【答案】 3−1
【分析】设 CD=2BD=2m>0 ,利用余弦定理表示出 AC2AB2 后,结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]: 余弦定理
设 CD=2BD=2m>0 ,
则在 △ABD 中, AB2=BD2+AD2−2BD⋅ADcs∠ADB=m2+4+2m ,
在 △ACD 中, AC2=CD2+AD2−2CD⋅ADcs∠ADC=4m2+4−4m ,
所以 AC2AB2=4m2+4−4mm2+4+2m=4m2+4+2m−121+mm2+4+2m=4−12m+1+3m+1
≥4−122m+1⋅3m+1=4−23
当且仅当 m+1=3m+1 即 m=3−1 时,等号成立,
所以当 ACAB 取最小值时, m=3−1 .
故答案为: 3−1 .
[方法二]: 建系法
令 BD=t ,以 D 为原点, OC 为 x 轴,建立平面直角坐标系.
则 C2t,0,A1,3,B−t,0
∴AC2AB2=2t−12+3t+12+3=4t2−4t+4t2+2t+4=4−12t+1+3t+1≥4−23
当且仅当 t+1=3 ,即 BD=3−1 时等号成立。
[方法三]: 余弦定理
设 BD=x,CD=2x . 由余弦定理得
c2=x2+4+2xb2=4+4x2−4x, ∴2c2+b2=12+6x2,
c2=x2+4+2xb2=4+4x2−4x, ∴2c2+b2=12+6x2,
令 ACAB=t ,则 2c2+t2c2=12+6x2 ,
∴t2+2=12+6x2c2=12+6x2x2+2x+4=61−2x+1+3x+1≥6−23 ,
∴t2≥4−23
当且仅当 x+1=3x+1 ,即 x=3+1 时等号成立.
[方法四]: 判别式法
设 BD=x ,则 CD=2x
在 △ABD 中, AB2=BD2+AD2−2BD⋅ADcs∠ADB=x2+4+2x ,
在 △ACD 中, AC2=CD2+AD2−2CD⋅ADcs∠ADC=4x2+4−4x ,
所以 AC2AB2=4x2+4−4xx2+4+2x ,记 t=4x2+4−4xx2+4+2x ,
则 4−tx2−4+2tx+4−4t=0
由方程有解得: Δ=4+2t2−44−t4−4t≥0
即 t2−8t+4≤0 ,解得: 4−23≤t≤4+23
所以 tmin=4−23 ,此时 x=2+t4−t=3−1
所以当 ACAB 取最小值时, x=3−1 ,即 BD=3−1
2022 . 新高考 1 卷
2. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 csA1+sinA=sin2B1+cs2B .
(1) 若 C=2π3 ,求 B ;
(2) 求 a2+b2c2 的最小值.
【答案】 1π6:242−5 .
【分析】(1) 根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 csA1+sinA=sin2B1+cs2B 化成 csA+B=sinB ,再结合 0(2) 由 (1) 知, C=π2+B,A=π2−2B ,再利用正弦定理以及二倍角公式将 a2+b2c2 化成 4cs2B+2cs2B−5 , 然后利用基本不等式即可解出.
【详解】(1) 因为 csA1+sinA=sin2B1+cs2B=2sinBcsB2cs2B=sinBcsB ,
即 sinB=csAcsB−sinAsinB=csA+B=−csC=12 ,
而 0（2）由（1）知, sinB=−csC>0 ,所以 π2而 sinB=−csC=sinC−π2 ,
所以 C=π2+B ,即有 A=π2−2B ,所以 B∈0,π4,C∈π2,3π4
所以 a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cs22B+1−cs2Bcs2B
=2cs2B−12+1−cs2Bcs2B=4cs2B+2cs2B−5≥28−5=42−5.
当且仅当 cs2B=22 时取等号,所以 a2+b2c2 的最小值为 42−5 .
2020。浙江卷
3. 在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 2bsinA−3a=0 .
(I) 求角 B 的大小;
(II) 求 csA+csB+csC 的取值范围.
【答案】(I) B=π3 ; (II) 3+12,32
【分析】(I) 方法二: 首先利用正弦定理边化角,然后结合特殊角的三角函数值即可确定角 B 的大小;
(II) 方法二: 结合(I)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角 A 的三角函数式,然后由三角形为锐角三角形确定角 A 的取值范围,最后结合三角函数的性质即可求得 csA+csB+csC 的取值范围. 【详解】(I)
[方法一]: 余弦定理
由 2bsinA=3a ,得 sin2A=3a2b2=3a24b2 ,即 1−cs2A=3a24b2 .
结合余弦定 csA=b2+c2−a22bc ,
∴1−b2+c2−a22bc2=3a24b2 ,
即 4b2c2−b4−c4−a4−2b2c2+2b2a2+2c2a2=3a2c2 ,
即 a4+b4+c4+a2c2−2a2b2−2b2c2=0 ,
即 a4+b4+c4+2a2c2−2a2b2−2b2c2=a2c2 ,
即 a2+c2−b22=ac2 ,
∵△ABC 为锐角三角形, ∴a2+c2−b2>0 ,
∴a2+c2−b2=ac ,
所以 csB=a2+c2−b22ac=12 ,
又 B 为 △ABC 的一个内角,故 B=π3 .
[方法二]【最优解】: 正弦定理边化角
由 2bsinA=3a ,结合正弦定理可得: 2sinBsinA=3sinA,∴sinB=32
△ABC 为锐角三角形,故 B=π3 .
(II) [方法一]: 余弦定理基本不等式
因为 B=π3 ,并利用余弦定理整理得 b2=a2+c2−ac ,
即 3ac=a+c2−b2 .
结合 ac≤a+c22 ,得 a+cb≤2 .
由临界状态 (不妨取 A=π2 ) 可知 a+cb=3 .
而 △ABC 为锐角三角形,所以 a+cb>3 .
由余弦定理得 csA+csB+csC=b2+c2−a22bc+12+a2+b2−c22ab ,
b2=a2+c2−ac ,代入化简得 csA+csB+csC=12a+cb+1
故 csA+csB+csC 的取值范围是 3+12,32 .
[方法二]【最优解】: 恒等变换三角函数性质
结合(1)的结论有:
csA+csB+csC=csA+12+cs2π3−A
=csA−12csA+32sinA+12=32sinA+12csA+12
=sinA+π6+12 .
由 0<23π−A<π20则 sinA+π6∈32,1,sinA+π6+12∈3+12,32 .
即 csA+csB+csC 的取值范围是 3+12,32 .
【点评】(I) 的方法一,根据已知条件,利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得 a2+c2−b2=ac ,运算能力要求较高; 方法二则利用正弦定理边化角, 运算简洁, 是常用的方法, 确定为最优解; (II) 的三种方法中, 方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简, 运算较为麻烦, 方法二直接使用三角恒等变形, 简洁明快, 确定为最优解.
2019 年全国III卷・文·理 T18
4. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 asinA+C2=bsinA .
（1）求 B ;
（2）若 △ABC 为锐角三角形,且 c=1 ,求 △ABC 面积的取值范围.
【答案】 1B=π3;238,32 .
【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式,得到关于 B 的三角方程,最后根据 A,B,C 均为三角形内角解得 B=π3.
(2) 根据三角形面积公式 S△ABC=12ac⋅sinB ,又根据正弦定理和 c=1 得到 S△ABC 关于 C 的函数,由于 △ABC 是锐角三角形,所以利用三个内角都小于 π2 来计算 C 的定义域,最后求解 S△ABCC 的值域.
【详解】(1)
[方法一]【最优解：利用三角形内角和为 π 结合正弦定理求角度】
由三角形的内角和定理得 A+C2=π2−B2 ,
此时 asinA+C2=bsinA 就变为 asinπ2−B2=bsinA .
由诱导公式得 sinπ2−B2=csB2 ,所以 acsB2=bsinA .
在 △ABC 中,由正弦定理知 a=2RsinA,b=2RsinB ,
此时就有 sinAcsB2=sinAsinB ,即 csB2=sinB ,
再由二倍角的正弦公式得 csB2=2sinB2csB2 ,解得 B=π3 .
[方法二]【利用正弦定理解方程求得 csB 的值可得 ∠B 的值】
由解法 1 得 sinA+C2=sinB ,
两边平方得 sin2A+C2=sin2B ,即 1−csA+C2=sin2B .
又 A+B+C=180∘ ,即 csA+C=−csB ,所以 1+csB=2sin2B ,
进一步整理得 2cs2B+csB−1=0 ,
解得 csB=12 ,因此 B=π3 .
[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为 π 求得 A,B,C 的比例关系】
根据题意 asinA+C2=bsinA ,由正弦定理得 sinAsinA+C2=sinBsinA , 因为 00 ,
消去 sinA 得 sinA+C2=sinB .
0而根据题意 A+B+C=π ,故 A+C2+B=π 不成立,所以 A+C2=B ,
又因为 A+B+C=π ,代入得 3B=π ,所以 B=π3 .
(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得 C 的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】
因为 △ABC 是锐角三角形,又 B=π3 ,所以 π6则 S△ABC=12acsinB=12c2⋅ac⋅sinB=34⋅sinAsinC=34⋅sin2π3−CsinC
整理得 S△ABC=34⋅sin2π3csC−cs2π3sinCsinC=38tanC+38 .
因为 C∈π6,π2 ,所以 tanC∈33,+∞ ,则 1tanC∈0,3 ,
从而 S△ABC∈38,32 ,故 △ABC 面积的取值范围是 38,32 .
[方法二]【由题意求得边 a 的取值范围,然后结合面积公式求面积的取值范围】
由题设及 (1) 知 △ABC 的面积 S△ABC=34a .
因为 △ABC 为锐角三角形,且 c=1,B=π3 ,
所以 csA=b2+1−a22b>0,csC=b2+a2−12ab>0, 即 b2+1−a2>0,b2+a2−1>0.
又由余弦定理得 b2=a2+1−a ,所以 2−a>0,2a2−a>0, 即 12所以 38[方法三]【数形结合, 利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】
如图,在 △ABC 中,过点 A 作 AC1⊥BC ,垂足为 C1 ,作 AC2⊥AB 与 BC 交于点 C2 .
由题设及 (1) 知 △ABC 的面积 S△ABC=34a ,因为 △ABC 为锐角三角形,且 c=1,B=π3 ,
所以点 C 位于在线段 C1C2 上且不含端点,从而 c⋅csB即 csπ3故 △ABC 面积的取值范围是 38,32 .
【整体点评】(1)方法一: 正弦定理是解三角形的核心定理, 与三角形内角和相结合是常用的方法;
方法二: 方程思想是解题的关键, 解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值;
方法三: 由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系, 从而确定角的大小.
(2)方法一: 由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法;
方法二: 将面积问题转化为边长的问题, 然后求解边长的范围可得面积的范围;
方法三: 极限思想和数形结合体现了思维的灵活性, 要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.
2018⋅ 北京卷
5. 若 △ABC 的面积为 34a2+c2−b2 ,且 ∠C 为钝角,则 ∠B= ;ca 的取值范围是
【答案】 60∘ 2,+∞
【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得 tanB=3 ,可求得 ∠B=π3 ; 再利用 sinC=sinA+B ,
将问题转化为求函数 fA 的取值范围问题.
【详解】 ∵S△ABC=34a2+c2−b2=12acsinB ,
∴a2+c2−b22ac=sinB3 ,即 csB=sinB3 ,
∴sinBcsB=3,∠B=π3 ,
则 ca=sinCsinA=sin2π3−AsinA=32⋅csA−−12⋅sinAsinA=32⋅1tanA+12 ,
∴∠C 为钝角, ∠B=π3,∴0<∠A<π6 ,
∴tanA∈0,33,1tanA∈3,+∞ ,故 ca∈2,+∞ .
故答案为 π3,2,+∞ .
2018⋅ 江苏卷
6. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,∠ABC=120∘,∠ABC 的平分线交 AC 于点 D ,且 BD=1 , 则 4a+c 的最小值为___.
【答案】 9
【详解】[方法一]:【最优】角平分线定义十三角形面积公式十基本不等式
由题意可知, S△ABC=S△ABD+S△BCD ,由角平分线定义和三角形面积公式得 12acsin120∘=12a×1×sin60∘+12c×1×sin60∘ ,化简得 ac=a+c ,即 1a+1c=1 ,
因此 4a+c=4a+c1a+1c=5+ca+4ac≥5+2ca⋅4ac=9 ,
当且仅当 c=2a=3 时取等号,则 4a+c 的最小值为 9 .
[方法二]: 角平分线性质十向量的数量积十基本不等式
由三角形内角平分线性质得向量式 BD=aa+cBA+ca+cBC .
因为 BD=1 ,所以 1=aa+c2BA2+ca+c2BC2+2aca+c2BA⋅BC ,化简得 1=aca+c ,即 ac=a+c ,亦即 a−1c−1=1 ,所以 4a+c=4a−1+c−1+5≥5+24a−1c−1=9 , 当且仅当 4a−1=c−1 ,即 a=32,c=3 时取等号.
[方法三]: 解析法十基本不等式
如图,以 B 为坐标原点, BC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系. 设 Ca,0,D12,32,A−12c,32c . 因
为 A,D,C 三点共线,则 kAD=kCD ,即 32c−32−12c−12=3212−a ,则有 a+c=ac ,所以 1a+1c=1 .
, 下同方法一.
[方法四]: 角平分线定理十基本不等式
在 △BDC 中, CD=a2+1−2acsπ3=a2+1−a ,同理 AD=c2+1−c . 根据内角平分线性质定理知
CDAD=BCAB ,即 a2+1−ac2+1−c=ac ,两边平方,并利用比例性质得 1−a1−c=a2c2 ,整理得 a−ca+c−ac=0 ,当 a=c 时,可解得 a=c=2,4a+c=10 . 当 a+c=ac 时,下同方法一. [方法五]: 正弦定理十基本不等式
在 △ABD 与 △BCD 中,由正弦定理得 ADsin60∘=1sinA,CDsin60∘=1sinC .
在 △ABC 中,由正弦定理得 asinA=bsinB=AD+CDsin120∘=ADsin60∘+CDsin60∘ .
所以 asinA=1sinA+1sinC ,由正弦定理得 1=aa=1a+1c ,即 ac=a+c ,下同方法一.
[方法六]: 相似十基本不等式
如图 6,作 AE//BC ,交 BD 的延长线于 E . 易得 △ABE 为正三角形,则 AE=c,DE=c−1 .
图6
由 △ADE∽△CDB ,得 AEBC=DEBD ,即 ca=c−11 ,从而 a+c=ac . 下同方法一.
【点评】方法一: 利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系, 再根据基本不等式“1”的代换求出最
小值, 思路常规也简洁, 是本题的最优解;
方法二: 利用角平分线的性质构建向量的等量关系,再利用数量积得到 a,c 的关系,最后利用基本不等式求
出最值, 关系构建过程运算量较大;
方法三: 通过建立直角坐标系, 由三点共线得等量关系, 由基本不等式求最值;
方法四: 通过解三角形和角平分线定理构建等式关系, 再由基本不等式求最值, 计算量较大;
方法五: 多次使用正弦定理构建等量关系, 再由基本不等式求最值, 中间转换较多;
方法六: 由平面几何知识中的相似得等量关系, 再由基本不等式求最值, 求解较为简单
重点题型。归类精讲
题型一 由不等式求最值
角平分线相关
1. (多选) 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,∠ABC=π3 ,内角 B 的平分线交 AC 于点 D 且 BD=3 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 1a+1c=1 B. b 的最小值是 2
C. a+3c 的最小值是 43 D. △ABC 的面积最小值是 3
【答案】 ABD
【分析】由三角形面积公式寻找 a,c 关系,再利用基本不等式判断.
【详解】解: 由题意得: S△ABC=S△ABD+S△BCD ,
由角平分线以及面积公式得 12ac×sinπ3=123a×sinπ6+123c×sinπ6 ,
化简得 ac=a+c ,所以 1a+1c=1 ,故 A 正确;
∴ac=a+c≥2ac ,当且仅当 a=c 时取等号,
∴ac≥2, ∴ac≥4 ,
所以 S△ABC=12acsin∠ABC=34ac≥3 ,当且仅当 a=c=2 时取等号,故 D 正确;
由余弦定理 b2=a2+c2−2accs∠ABC=a2+c2−ac
=a+c2−3ac=ac2−3ac≥42−3×4=4
所以 b≥2 ,即 b 的最小值是 2,当且仅当 a=c=2 时取等号,故 B 正确;
对于选项 C : 由 ac=a+c 得: 1a+1c=1,∴a+3c=a+3c×1a+1c=1+ac+3ca+3≥4+2ac×3ca=4+23 ,
当且仅当 1a+1c=1ac=3ca ,即 a=1+3c=1+33 时取等号,故 C 错误;
故选: ABD.
2. (2024 届·湖南衡阳市八中校考) 在 ① b+c−ab+c+a=bc ,② asinC=3acsC−b ,③ 2b+ccsA+acsC=0 中选一个,补充在下面的横线中,并解答.
在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且满足___
(1)求 A ;
(2)若内角 A 的角平分线交 BC 于 D 点,且 AD=3 ,求 △ABC 的面积的最小值. (注: 如果选择多个条件分
别解答, 那么按第一个解答计分)
【答案】 1A=2π3233
【分析】(1) 若选①: 根据余弦定理分析运算; 对于②③: 根据正弦定理结合三角恒等变换分析运算;
（2）根据面积公式可得 bc=3b+c ,再利用基本不等式可得 bc≥12 ,进而可得结果.
【详解】(1) 若选①: 因为 b+c−ab+c+a=b2+c2−a2+2bc=bc ,整理得 b2+c2−a2=−bc ,
由余弦定理可得 csA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=−12 ,
因为 A∈0,π ,所以 A=2π3 ;
若选 ②: 因为 asinC=3acsC−b ,
由正弦定理可得 sinAsinC=3sinAcsC−sinB ,
则 sinAsinC=3sinAcsC−sinB=3sinAcsC−sinA+C=−3csAsinC ,
因为 A,C∈0,π ,则 sinC≠0 ,则 sinA=−3csA ,
可得 tanA=−3 ,所以 A=2π3 ;
若选③: 因为 2b+ccsA+acsC=0 ,由正弦定理可得 2sinB+sinCcsA+sinAcsC=0 ,
则 2sinB+sinCcsA+sinAcsC=2sinBcsA+sinA+C=2sinBcsA+sinB=0 ,
因为 A,B∈0,π ,则 sinB≠0 ,则 2csA+1=0
可得 csA=−12 ,所以 A=2π3 .
（2）由题意可得: ∠BAD=∠CAD=π3 ,且 S△ABC=S△BAD+S△CAD ,
则 12bcsin∠BAC=12×c×AD×sin∠BAD+12×b×AD×sin∠CAD ,
即 12bc×32=12×c×3×32+12×b×3×32 ,且 b,c>0 ,
则 bc=3b+c≥3×2bc ,当且仅当 b=c=23 时,等号成立,
可得 bc≥12 ,
所以 S△ABC=12bcsin∠BAC≥12×12×32=33 ,
故 △ABC 的面积的最小值为 33 .
中线相关
3. (2024 届·湖北校联考) 已知 a,b,c 分别是 △ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,且 acsC+3asinC−b−c=0 . (1)求角 A ;
(2) 若 D 在边 BC 上且 BD=DC,AD=2 ,求 △ABC 面积的最大值.
【答案】 1π3 ， 2433
【分析】(1) 利用正弦定理将已知式子统一为角的形式, 然后利用三角函数恒等变换公式可求得结果,
（2）由已知可得 D 为 BC 中点,则 AD=12AB+AC ,两边平方化简得 16=c2+b2+bc ,再利用基本不等式可求得 bc≤163 ,从而可求出 △ABC 面积的最大值.
【详解】(1) 由 acsC+3asinC=b+c 及正弦定理得 sinAcsC+3sinAsinC=sinB+sinC
因为 sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC ,
所以 sinAcsC+3sinAsinC=sinAcsC+csAsinC+sinC ,
因为 sinC≠0 ,
所以 3sinA=csA+1⇒sinA−π6=12 ,
因为 A∈0,π ,所以 A−π6∈−π6,5π6 ,
所以 A−π6=π6 ,得 A=π3 ,
（2）因为 D 在边 BC 上且 BD=DC ,
所以 D 为 BC 中点,所以 AD=12AB+AC ,两边平方得
AD2=14AB2+AC2+2AB⋅AC,
因为 AD=2,A=π3 ,所以得到 16=c2+b2+bc ,
由 b2+c2≥2bc,∴bc≤163 ,当且仅当 b=c 时取等号,
所以 S△ABC=12bcsinA=34bc≤433 ,当且仅当 b=c 时取等号,
所以当 b=c=433 时,即 △ABC 为等边三角形时 △ABC 面积的最大值为 433
浙江省百校联盟 2022-2023 学年高三上学期 11 月模拟
4. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 btanA+tanB=2ctanB,BC 边的中线长为 1 .
(1) 求角 A ; （2）求边 a 的最小值.
【答案】(1) A=π4 ; (2) 22−2 .
【分析】(1) 首先利用同角三角函数的商数关系和正弦定理的边化角公式将 btanA+tanB=2ctanB 转化为 sinBsinAcsA+sinBcsB=2sinBsinCcsB ,再化简即可得到答案.
（2）首先根据 BC 边的中线长为 1,得到 AB+AC=2 ,从而得到 bc≤4−22 ,再利用余弦定理即可得到答案.
【详解】(1) 因为 btanA+tanB=2ctanB ,
所以 sinBsinAcsA+sinBcsB=2sinBsinCcsB ,
sinBsinAcsB+csAsinBcsAcsB=2sinCsinBcsB,
sinBsinA+BcsAcsB=2sinCsinBcsB,
sinBsinCcsAcsB=2sinCsinBcsB,
因为 sinB>0,sinC>0,csB≠0 ,
所以 csA=22 ,又 0（2）因为 BC 边的中线长为 1,所以 AB+AC=2 ,
所以 c2+b2+2bccsA=4 ,即 b2+c2=4−2bc≥2bc ,
解得 bc≤4−22 ,当且仅当 b=c 时取等号.
所以 a2=AB−AC2=AB+AC2−4AB⋅AC
=4−22bc≥4−224−22=12−82, 所以 a 的最小值为 12−82=22−2 .
福建省厦门双十中学高三上学期期中
5. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 2bsinA=3acsB+asinB .
（1）求角 B 的大小;
（2）设点 D 是 AC 的中点,若 BD=3 ,求 a+c 的取值范围.
【答案】(1) B=π3 ; (2) (23,4] .
【分析】(1) 由 2bsinA=3acsB+asinB 可得 bsinA=acsB−π6 ,由正弦定理得 bsinA=asinB ,从而
得 asinB=acsB−π6 ,化简可求得 tanB=3 ,进而可求出角 B ;
（2）如图,延长 BD 到 E ,满足 DE=BD ,连接 AE,CE ,则 ABCE 为平行四边形,且 BE=23,∠BAE=2π3,AB=c,AE=BC=a ,然后在 △BAE 中,利用余弦定理可得 ac=a+c2−12 ,再利用基本不等式可得 a+c≤4 ,又由 AE+AB>BE ,即 a+c>23 ,从而可求出 a+c 的取值范围
【详解】解: (1) 在 △ABC 中,
由正弦定理 asinA=bsinB ,可得 bsinA=asinB ,
因为 2bsinA=3acsB+asinB ,
所以 bsinA=acsB−π6 ,
所以 asinB=acsB−π6 ,
即 sinB=csB−π6 ,即 sinB=32csB+12sinB ,可得 tanB=3 ,
又因为 B∈0,π ,所以 B=π3 .
（2）如图,延长 BD 到 E ,满足 DE=BD ,连接 AE,CE ,
则 ABCE 为平行四边形,且 BE=23,∠BAE=2π3,AB=c,AE=BC=a ,
在 △BAE 中,由余弦定理得 232=a2+c2−2accs2π3 ,
即 a2+c2+ac=12 ,可得 a+c2−ac=12 ,即 ac=a+c2−12 ,
由基本不等式得: ac=a+c2−12≤a+c22 ,
即 34a+c2≤12 ,即 a+c2≤16 ,可得 a+c≤4
(当且仅当 a=c=2 取等号号)
又由 AE+AB>BE ,即 a+c>23 ,
故 a+c 的取值范围是 (23,4] .
定角定高
6. 如图,在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,AH=4,∠BAC=60∘ ,求 △ABC 面积的最小值.
【简证】由等面积可得: 12bcsinπ3=12×4a⇒bc=833a
由余弦定理+可得: a2=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc⇒a2≥833a
得 a≥833 ,即 S=12×4a≥1633
对式子变形后利用基本不等式求最值
7. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 2acsinB+C+a2+c2−b2=0 .
(1) 若 A=π6,a=2 ,求 △ABC 的面积;
(2) 求 4sin2C+3sin2A+2sin2B 的最小值,并求出此时 B 的大小.
【答案】 13 ; 2 最小值是 5,B=2π3 .
【分析】(1) 利用三角形内角和以及诱导公式和余弦定理化简,可得 csB=−sinA ,继而求得 B ,判断三角形形状, 即可求得三角形面积;
（2）利用二倍角公式以及同角的三角函数关系化简为只含 sinB 的表达式，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】(1) 由题意: ∵A+B+C=π,∴sinB+C=sinA ,
根据余弦定理 csB=a2+c2−b22ac ,
可知 2acsinB+C+a2+c2−b2=0 ,得 sinA+a2+c2−b22ac=0 ,
即 sinA+csB=0 ,故 csB=−sinA ,
而 A=π6 ,故 csB=−12
又因为 B,C 是 △ABC 内角,故 B 为钝角, ∴B=2π3,∴C=π6 ,
∴△ABC 是等腰三角形,则 a=c=2 ,
∴S△ABC=12acsinB=12×2×2×32=3 .
（2）由（1）可知 △ABC 中, csB=−sinA ,则 B=A+π2 ,即 B 为钝角,
又 ∵A+B+C=π, C=π−A−B=3π2−2B, A=B−π2
所以 4sin2C+3sin2A+2sin2B=4cs22B+3cs2B+2sin2B ,
设 fB=4cs22B+3cs2B+2sin2B ,
则 fB=41−2sin2B2+31−sin2B+2sin2B=16sin4B−19sin2B+9sin2B
=16sin2B+9sin2B−19,sin2B∈0,1,
故 fB=16sin2B+9sin2B−19≥216sin2B⋅9sin2B−19=5 ,
当且仅当 16sin2B=9sin2B ,即 sinB=32 ,结合 B 为钝角,即 B=2π3 时等号成立所以 4sin2C+3sin2A+2sin2B 的最小值是 5,此时 B=2π3 .
湖南省益阳市 2022 届高三上学期 9 月调研
8. 已知 △ABC 的角 A,B,C 对边分别为 a,b,c,3acsB−bsinA=0 .
(1) 求 ∠B ; (2) 若 a+c=2 ,求 b 的取值范围.
【答案】 1π3:21≤b<2
【分析】(1) 由正弦定理化简已知等式,结合 sinA≠0 ,可求 tanB ,结合范围 B∈0,π ,可得 B 的值;
（2）由已知利用余弦定理,基本不等式可求 b≥1 ,结合 b【详解】(1) ∵3acsB−bsinA=0 ,
∴ 由正弦定理可得: 3sinAcsB−sinBsinA=0 ,
∵sinA≠0 ,
∴3csB−sinB=0 ,即 tanB=3 ,
∵B∈0,π ,
∴B=π3 .
（2） ∵B=π3,a+c=2 ,
∴ 由余弦定理可得 b2=a2+c2−ac=a+c2−3ac≥a+c2−3×a+c22=1 ,
当且仅当 a=c 时等号成立,
∴b≥1 ,
∵b∴1≤b<2 .
题型二 构造函数求范围
9. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 π3,c=2 ,求 2a−b 的取值范围.
【答案】 −2,4
【分析】利用正弦定理得 a=433sinA,b=433sinB ,再利用两角差的正弦公式以及角的范围计算求得结果.
【详解】由正弦定理得 asinA=bsinB=csinC=433 ,
a=433sinA,b=433sinB,
则 2a−b=833sinA−433sinB=833sinA−433sinA+π3 ,
=23sinA−2csA=4sinA−π6,
∵A∈0,2π3,A−π6∈−π6,π2,sinA−π6∈−12,1 ,
∴2a−b∈−2,4 .
2024 届·雅礼中学月考 (二)
10. 记锐角 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 sinA−BcsB=sinA−CcsC .
(1) 求证: B=C ; (2) 若 asinC=1 ,求 1a2+1b2 的最大值.
【答案】(1)见解析; (2) 2516 .
【分析】 (1) 运用两角和与差正弦进行化简即可;
（2）根据（1）中结论运用正弦定理得 asinC=2RsinA⋅b2R=bsinA=1 ,然后等量代换出 1a2+1b2 ,再运用降次公式化简, 结合内角取值范围即可求解.
【详解】(1) 证明: 由题知 sinA−BcsB=sinA−CcsC ,
所以 sinA−BcsC=sinA−CcsB ,
所以 sinAcsBcsC−csAsinBcsC=sinAcsCcsB−csAsinCcsB ,
所以 csAsinBcsC=csAsinCcsB
因为 A 为锐角,即 csA≠0 ,
所以 sinBcsC=sinCcsB ,
所以 tanB=tanC ,
所以 B=C .
（2）由（1）知: B=C ,
所以 sinB=sinC ,
因为 asinC=1 ,
所以 1a=sinC ,
因为由正弦定理得: a=2RsinA,sinB=b2R ,
所以 asinC=2RsinA⋅b2R=bsinA=1 ,
所以 1b=sinA ,
因为 A=π−B−C=π−2C ,
所以 1b=sinA=sin2C ,
所以
1a2+1b2
=sin2C+sin22C
=1−cs2C2+1−cs22C
=−cs22C−12cs2C+32
因为 △ABC 是锐角三角形,且 B=C ,
所以 π4所以 π2<2C<π ,
所以 −1当 cs2C=−14 时, 1a2+1b2 取最大值为 2516 ,
所以 1a2+1b2 最大值为: 2516 .
2023 届河北省唐山市三模
11. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 A 为钝角, asinB=bcsB .
(1) 若 C=π6 ,求 A ; (2) 求 csA+csB+csC 的取值范围.
【答案】 12π3:21,54
【分析】（1）由题意及正弦定理得到 sinA=csB ,即 sinA=sinπ2+B ,结合角的范围可得 A=π2+B,C=π2−2B ,又 C=π6,A+B+C=π ,即可求得 A ;
(2) csA+csB+csC=csB−sinB+2sinBcsB ,令 t=csB−sinB ,化简得到 csA+csB+csC=t+1−t2 , 结合二次函数的性质, 即可求解.
【详解】(1) 由 asinB=bcsB ,根据正弦定理得: sinAsinB=sinBcsB ,
由于 sinB≠0 ,可知 sinA=csB ,即 sinA=sinπ2+B ,
因为 A 为钝角,则 B 为锐角,即 B∈0,π2 ,
则 π2+B∈π2,π ,则 A=π2+B,C=π2−2B .
由 A=π2+B,C=π6,A+B+C=π ,得 A=2π3 .
（2） csA+csB+csC=csπ2+B+csB+csπ2−2B
=−sinB+csB+sin2B=csB−sinB+2sinBcsB .
因为 C=π2−2B 为锐角,所以 0<π2−2B<π2 ,即 0设 t=csB−sinB=2csB+π4∈0,1 ,则 2sinBcsB=1−t2 ,
csA+csB+csC=t+1−t2=−t−122+54.
因为 t∈0,1 ,则 t−122∈0,14 ,从而 −t−122+54∈1,54 .
由此可知, csA+csB+csC 的取值范围是 1,54 .
12. (2024 届·湖南长郡中学校考) 在锐角 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知
2sinAccsB+bcsC=3a .
(1) 求 A ; (2) 若 a=3 ,求 b2+c2+3bc 的取值范围.
【答案】 1π3,2(11,15]
【分析】(1) 利用正弦定理化边为角, 再结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理化简即可得解;
（2）先利用正弦定理求出 b,c ,再根据三角恒等变换化简,结合三角函数的性质即可得解.
【详解】(1) 根据题意, 由正弦定理得
2sinAsinCcsB+sinBcsC=2sinAsinB+C=2sinAsinA=3sinA,
又在锐角 △ABC 中,有 A∈0,π2 ,所以 sinA>0 ,
所以 sinA=32 ,所以 A=π3 ;
（2）结合（1）可得 A=π3,B+C=π−A=2π3 ,
由 a=3 ,则根据正弦定理有 asinA=bsinB=csinC=2 ,
得 b=2sinB,c=2sinC ,
根据余弦定理有 a2=b2+c2−2bccsA ,得 b2+c2=3+bc ,
所以 b2+c2+3bc=3+4bc=3+16sinBsinC=3+16sinBsin2π3−B
=3+83sinBcsB+8sin2B=7+43sin2B−4cs2B=7+8sin2B−π6,
又 △ABC 为锐角三角形,则有 B∈0,π2,2π3−B∈0,π2 ,得 B∈π6,π2 ,
所以 2B−π6∈π6,5π6 ,所以 sin2B−π6∈12,1 ,
故 b2+c2+3bc=7+8sin2B−π6∈(11,15] .
2023 届广东江门市一模
13. 在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 1tanB,1sinA,1tanC 依次组成等差数列.
(1) 求 a2bc 的值; (2) 若 b>c ,求 b2+c2a2 的取值范围.
【答案】 12;21,2
【分析】(1) 根据 1tanB,1sinA,1tanC 成等差数列结合三角恒等变换可得 sin2A=2sinBsinC ,由正弦定理即可求得 a2bc 的值;
（2）由（1）得 a2=2bc ,根据锐角三角形结合余弦定理可得 ba 的取值范围,将 b2+c2a2 转化为 b2+c2a2=12bc+cb ,令 bc=x∈1,1+2 ,设 fx=12x+1x 根据函数单调性确定函数取值范围,即得 b2+c2a2 的取值范围.
【详解】(1) 由条件得: 2sinA=1tanB+1tanC=csBsinB+csCsinC=sinCcsB+csCsinBsinBsinC=sinC+BsinBsinC=sinAsinBsinC , 所以 sin2A=2sinBsinC ,
由正弦定理得: a2=2bc ,所以 a2bc=2 .
（2） b>c 及 a2=2bc ,则 B>C ,角 C 一定为锐角,又 △ABC 为锐角三角形,所以 csA>0csB>0
由余弦定理得: b2+c2−a22bc>0a2+c2−b22ac>0⇒b2+c2−2bc2bc>02bc+c2−b22ac>0⇒b2+c2−2bc>02bc+c2−b2>0,所以2bc+c2−b2>0 ,
即 bc2<1+2bc ,解得: 1−2又 bc>1 ,所以 bc∈1,1+2 .
又 b2+c2a2=b2+c22bc=12bc+cb ,
令 bc=x∈1,1+2 ,则 b2+c2a2=fx=12x+1x ,
f′x=121−1x2=x+1x−12x2>0,
所以 fx 在 1,1+2 上递增,又 f1=1,f1+2=2 ,
所以 b2+c2a2 的取值范围是 1,2 .
2024 届常德市一中校考
14. 在 △ABC 中, a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 bcsC+12c=a ,请完成以下问题:
(1)求角 B 的大小;
(2)若 △ABC 为锐角三角形, c=1 ,求 a2+b2 的取值范围.
【答案】 1B=π3 ; 21,7 .
【分析】(1) 根据给定条件, 利用正弦定理边化角, 再利用和角的正弦公式化简即可作答.
（2）利用正弦定理把 a,b 表示为角 C 的函数,再利用三角函数的性质求解作答.
【详解】(1) 在 △ABC 中,由 bcsC+12c=a 及正弦定理得: 2sinBcsC+sinC=2sinA ,
2sinBcsC+sinC=2sinB+C=2sinBcsC+2csBsinC,
整理得 2csBsinC=sinC ,而 B,C∈0,π,sinC>0 ,于是 csB=12 ,
所以 B=π3 .
（2）在 △ABC 中, B=π3,c=1 ,由正弦定理 asinA=csinC ,得 a=csinAsinC=sinAsinC ,同理 b=csinBsinC=32sinC ,
因此 a2+b2=sin2Asin2C+34sin2C=4sin2A+34sin2C=4sin22π3−C+34sin2C
=3cs2C+sin2C+23sinCcsC+34sin2C=6cs2C+4sin2C+23sinCcsC4sin2C=32tan2C+32tanC+1
由锐角 △ABC ,得 033,t=1tanC∈0,3 ,
于是 a2+b2=32t2+32t+1 在 t∈0,3 上单调递增,则 1 2024 届长沙一中月考 (一)
15. 在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且满足 b2−a2=ac .
(1)求证: B=2A ;
(2) 设 △ABC 的周长为 l ,求 la 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析,(2) 2+2,3+3
【分析】（1）由余弦定理及正弦定理，结合角的范围即可得证;
（2）先由角的关系得出 B=2A,C=π−3A ,再结合正弦定理可得 la=4cs2A+2csA ,最后结合二次函数值域得出范围.
【详解】(1) 因为 b2−a2=ac ,由余弦定理得 b2=a2+c2−2accsB ,所以 ac=c2−2accsB,a=c−2acsB ,
由正弦定理得 sinA=sinC−2sinAcsB=sinA+B−2sinAcsB=sinAcsB+csAsinB−2sinAcsB
=csAsinB−sinAcsB=sinB−A,
因为 △ABC 为锐角三角形,所以 A∈0,π2,B−A∈−π2,π2 ,
所以 A=B−A ,即 B=2A .
（2） B=2A,C=π−3A ,
由 A,B,C∈0,π2 ,得 A∈π6,π4 ,
la=a+b+ca=sin3A+sin2AsinA+1=sin2AcsA+cs2AsinA+2sinAcsAsinA+1
=2sinAcs2A+cs2AsinA+2sinAcsAsinA+1=4cs2A+2csA
A∈π6,π4,csA∈22,32 ,结合二次函数单调性易知 2+2<4cs2A+2csA<3+3 ,
即 la 的取值范围为 2+2,3+3 .
2024 届长沙一中月考 (二)
16. △ABC 的内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c ,点 O 为 △ABC 的内心,记 △OBC,△OAC,△OAB 的面积分别为 S1,S2,S3 ,已知 S12+S32−S1S3=S22,AB=2 .
(1) 在 ① acsC+ccsA=1 ; ② 4sinBsinA+cs2A=1 ; ③ 1−2csAsinA+1−2csBsinB=0 中选一个作为条件,判断 △ABC 是否存在,若存在,求出 △ABC 的周长,若不存在,说明理由. (注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.)
(2) 若 △ABC 为锐角三角形,求 △ABC 面积的取值范围.
【答案】(1)见解析; (2) 32,23
【分析】(1) 由题意,根据 △ABC 的内切圆的性质可得 a2+c2−b2=ac ,选 ①,根据余弦定理可得 a2+4−1=2a , 方程无解即 △ABC 不存在; 选②,根据正弦定理可得 a=2b ,由 a2+c2−b2=ac 可得 3b2−4b+4=0 ,方程无解即 △ABC 不存在; 选③,根据三角恒等变换可得 a+b=2c=4 ,由 (1) 得 a2+4−b2=2a ,解得 a=b=2 , 可求出 △ABC 的周长.
（2）由三角形的面积可得 S=32BC ,再由正弦定理和两角和的正弦公式可得 BC=3tanC+1 ,结合角 C 的取值范围即可求解.
【详解】(1) 设 △ABC 的内切圆半径为 r ,因为 S12+S32−S1S3=S22 ,
所以 12ar2+12cr2−12ar⋅12cr=12br2 ,化简得: a2+c2−b2=ac ,
所以 csB=a2+c2−b22ac=12 ,因为 B∈0,π ,所以 B=π3 ,
选择 ①,因为 acsC+ccsA=1 ,所以 a⋅a2+b2−c22ab+c⋅b2+c2−a22bc=b=1 ,
因为 a2+c2−b2=ac,c=2 ,所以 a2+4−1=2a ,
整理得 a2−2a+3=0 ,
方程无实数解,所以 △ABC 不存在.
选择 ②,因为 4sinBsinA+cs2A=1 ,所以 4sinBsinA=1−cs2A=2sin2A ,
因为 sinA≠0 ,所以 sinA−2sinB=0 ,所以 a=2b ,
因为 a2+c2−b2=ac,c=2 ,所以 4b2+4−b2=4b ,
整理得 3b2−4b+4=0 ,方程无实数解,所以 △ABC 不存在.
选择③,由 1−2csAsinA+1−2csBsinB=0 得: sinA+sinB−2sinAcsB+csAsinB=0 ,
所以 sinA+sinB=2sinA+B ,即 sinA+sinB=2sinC ,所以 a+b=2c=4 ,
因为以 a2+c2−b2=ac,c=2 ,
所以 a2+4−b2=2a ,所以 a2+4−4−a2=2a ,解得 a=b=2 ,
所以 △ABC 存在且唯一, △ABC 的周长为 a+b+c=6 .
（2）由（1）知, B=π3 , △ABC 面积 S=12AB⋅BC⋅sinB=12×2⋅BC⋅32=32BC ,
因为 ABsinC=BCsinA ,所以 BC=AB⋅sinAsinC=2sinAsinC=2sinπ3+CsinC=2sinπ3csC+csπ3sinCsinC ,
=2sinπ3csC+csπ3sinCsinC=232csC+12sinCsinC=3csC+sinCsinC=3tanC+1
因为 △ABC 为锐角三角形,
所以 0所以 tanC>33 ,所以 0<1tanC<3,0<3tanC<3,1<3tanC+1<4 ,
所以 BC 的取值范围为 1,4 ,
而 △ABC 面积 S=32BC∈32,23 .
17. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC=sinA+sinBcsA+csB .
(1) 求角 C 的大小; (2) 若 △ABC 是锐角三角形,且其面积为 3 ,求边 C 的取值范围.
【答案】 1C=π3,22,6
【分析】(1) 根据同角三角函数关系, 结合正余弦函数和差角公式化简即可;
（2）由 (1) 知 A+B=2π3 ,又 △ABC 是锐角三角形,可得 π6再设 y=sinAsinB ,根据角度关系化简可得 y=12sin2A−π6+14 ,再根据 π6【详解】(1) 因为 tanC=sinA+sinBcsA+csB ,则 sinCcsC=sinA+sinBcsA+csB ,
所以 sinCcsA+sinCcsB=csCsinA+csCsinB ,
即 sinCcsA−csCsinA=csCsinB−sinCcsB ,
得 sinC−A=sinB−C .
所以 C−A=B−C 或 C−A=π−B−C (不成立,舍去),
从而 2C=A+B ,又 A+B+C=π ,所以 C=π3 .
（2）由（1）知 A+B=2π3 ,又 △ABC 是锐角三角形,则 0因为 S△ABC=12absinC=c22⋅sinAsinBsinC=c23sinAsinB=3 ,
所以 c2=3sinAsinB .
设 y=sinAsinB ,因为 B=2π3−A ,
所以 y=sinAsin2π3−A=sinA32csA+12sinA
=34sin2A+14−14cs2A=12sin2A−π6+14,
因为 π6从而 c2=[4,6) ,即 c∈[2,6) ,
所以边 c 的取值范围是 [2,6) .
18. (2024 届·扬州中学校考) 在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,b=3,sinA+asinB=23 , 则 △ABC 周长的取值范围为___.
【答案】 9+332,9+33
【分析】由正弦定理及已知可得 sinA=32 ,结合锐角三角形得 A=π3、π6【详解】由 asinA=bsinB ,则 asinB=bsinA ,故 sinA+bsinA=4sinA=23 ,
所以 sinA=32 ,又 △ABC 为锐角三角形,则 A=π3 ,且 0而 asinA=bsinB=csinC ,则 a=bsinAsinB=332sinB, c=bsinCsinB=3sin2π3−BsinB=33csB2sinB+32 ,
所以 a+b+c=92+332⋅1+csBsinB=92+332⋅2cs2B22sinB2csB2=92+332⋅1tanB2 ,
又 π12所以 tanB2∈2−3,1 ,则 a+b+c=92+332⋅1tanB2∈9+332,9+33 .
故答案为: 9+332,9+33 .
2024 届河南省实验中学校考
19. 在锐角 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,满足 sinAsinC−1=sin2A−sin2Csin2B ,且 A≠C .
(1)求证: B=2C ;
(2)已知 BD 是 ∠ABC 的平分线,若 a=4 ,求线段 BD 长度的取值范围.
【答案】(1)证明见解析; (2) 433,22
【分析】(1) 由正弦定理得 b2=c2+ac ,又由余弦定理得 b2=a2+c2−2accsB ,结合整理可得角的关系; （2）由正弦定理得 BCsin∠BDC=BDsinC ,又因为 △ABC 为锐角三角形且 B=2C ,结合三角函数值域可求得线段 BD 长度的取值范围.
【详解】(1) 由题意得 sinA−sinCsinC=sin2A−sin2Csin2B ,由正弦定理得 a−cc=a2−c2b2=a+ca−cb2 ,
因为 A≠C ,则 a≠c ,即 a−c≠0 ,可得 1c=a+cb2 ,整理得 b2=c2+ac ,
由余弦定理得 b2=a2+c2−2accsB ,整理得 c=a−2ccsB ,
由正弦定理得 sinC=sinA−2sinCcsB ,
故 sinC=sinB+C−2sinCcsB ,整理得 sinC=sinB−C ,
又因为 △ABC 为锐角三角形,则 C∈0,π2,B∈0,π2 ,可得 B−C∈−π2,π2 ,
所以 C=B−C ,即 B=2C .
（2）在 △BCD 中,由正弦定理得 BCsin∠BDC=BDsinC ,
所以 BD=BCsinCsin∠BDC=4sinCsin2C=2csC ,
因为 △ABC 为锐角三角形,且 B=2C ,所以 0故 22 湖北省腾云联盟 2023-2024 学年高三上学期 10 月联考
20. 在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 △ABC 的面积 S=bc1−csA ,则 a2bc 的取值范围为 ( )
A. 45,+∞ B. 45,1615 C. 45,3235 D. 3235,1615
【答案】 B
【分析】先由三角形面积公式求出 csA=35sinA=45 ,然后引入参数 t=bc ,将所求表示为 t 的函数,再根据正弦定理边化角、诱导公式、两角和差得 t=45tanC+35 ,注意到在锐角 △ABC 中,有 0<π2−A【详解】由三角形面积公式 S=12bcsinA 结合 S=bc1−csA ,可知 12sinA=1−csA ,即 sinA=21−csA ,
又由平方关系 sin2A+cs2A=1 ,所以 41−csA2+cs2A=1 ,即 5cs2A−8csA+3=0 ,
解得 csA=35sinA=45 或 csA=1sinA=0 (舍去),
由余弦定理有 a2=b2+c2−2bccsA ,所以 a2bc=b2+c2−2bccsAbc=bc+cb−2csA=bc+cb−65 ,
令 t=bc ,所以 a2bc=bc+cb−65=t+1t−65 ,故只需求出 t 的范围即可,
由正弦定理边化角得 t=bc=sinBsinC=sinπ−A+CsinC=sinA+CsinC
=sinAcsC+csAsinCsinC=sinAtanC+csA=45tanC+35,
注意到在锐角 △ABC 中,有 A+C>π2 ,简单说明如下:
若 A+C≤π2 ,则 B=π−A+C≥π−π2=π2 ,即 B 不是锐角,但这与 △ABC 是锐角三角形矛盾,
所以在锐角 △ABC 中,有 A+C>π2 ,
所以在锐角 △ABC 中,有 0<π2−A因为正切函数 y=tanx 在 0,π2 上单调递增,
所以 tanC>tanπ2−A=sinπ2−Acsπ2−A=csAsinA=3545=34 ,
从而 35而函数 a2bc=t+1t−65=ft 在 35,1 单调递减,在 1,53 单调递增,
所以 45=f1≤ft综上所述: a2bc 的取值范围为 45,1615