第03讲 三角恒等变换(三角函数的化简)-2023-2024高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版必修第二册)

第03讲 三角函数的化简

【必备知识】

1.公式总结

2.三角函数式化简“三看”原则                           

【典例剖析】

类型一:化简

1．化简：

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)   (2)0   (3)

【解析】

(1)

(2)

(3)

2．已知，化简：.

【答案】.

【解析】

解：原式.

因为，所以，所以，.

所以上式.

3．化简：.

【答案】1

【详解】

原式

.

4．化简：＋.

【答案】

【解析】

解：原式

类型二:化简求值

1．求值：

（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）-2.

【详解】

（1）原式

．

（2）（方法一）原式

．

（方法二）原式

．

2．化简，求值：

（I）已知，求；

（II）.

【答案】（I）；（II）16.

【详解】

（I）原式化简得：

将代入，原式；

（II）原式

3．求值：．

【答案】

【详解】

，

，

因此，.

4．化简求值：

；

.

【答案】；.

【详解】

解：

.

.

类型三:化简证明

1．求证：．

【解析】

证明：左边

右边

原式成立

2．求证：

(1)；

(2)．

【解析】

(1)

(2)

3．已知，，且，，求证：.

【解析】

证明：因为，，

所以，

又因为，，

所以，

所以.

4．求证：

【解析】

证明：右边

左边

所以原等式成立.

类型四:化简比较大小

1．设 ，，则有

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

试题分析：因为，，，，由正弦函数在为增函数，所以，在上，所以，所以可得，故选择A

2．设，，，则有（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：

，

，

，

因为在上为增函数，

所以，所以，

故选：C

3．设，，，则有（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解：，

 ，，

因为在上为增函数，且，

所以，即可，

故选：B

4．设，，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，，，

又在上单调递增，且，

∴

故选C

【过关检测】

一、单选题

1．4cos10°=

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【详解】

原式.

故选：C.

2．化简等于

A．1 B．－1

C．cos α D．－sin α

【答案】A

【详解】

原式====

1．故选A.

3．若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

由二倍角公式可知，，，

从而，

又因为，所以，，

从而.

故选：D.

4．（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【详解】

.

故选：C

5．

A．- B． C． D．

【答案】C

【详解】

,

所以

故选：C.

6．计算的值为

A． B．2 C． D．1

【答案】D

【详解】

∵α与α互余，∴cos（α）＝sin（α）

∴原式＝tan（α）••

∵sin（α）＝cosα，

∴1，即原式＝1

故选D．

二、解答题

7．化简下列各式：

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)；  (2)；   (3).

【解析】

(1)原式=

.

(2)原式

.

(3)原式

.

8．化简：

(1)；

(2).

【答案】(1)1  (2)1

【解析】

(1)原式=

===1

故答案：1

(2)原式====1

故答案：1

9．化简：

(1)；

(2)；

(3)；

(4).

【答案】(1)  (2)   (3)  (4)

【解析】

(1)解：

；

(2)解：；

(3)解：因为，

所以，

所以原式；

(4)解：．

10．（1）求值：；

（2）化简：.

【答案】（1）4；（2）

【详解】

解：（1）

.

；

（2）∵，∴，

.

11．求证：＝.

【答案】证明见解析.

【详解】

证明：左边＝

＝＝

＝＝＝＝右边.

所以原等式成立.

12．化简并求值.

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）32.

【详解】

（1）原式

.

（2）原式

.

（3）原式

.

（4）原式

.