专题04 二倍角的三角函数（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末常考考点精讲精练（苏教版必修第二册）

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（一）二倍角的正弦
S2α：sin2α＝2sinαcsα
（二）二倍角的余弦
C2α：cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
（三）二倍角的正切
T2α：tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)；
公式应用的条件：α≠且α≠kπ＋ (k∈Z)，当α＝kπ＋ (k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式
（四）二倍角公式的逆用、变形
1.逆用形式：
2sinαcsα＝sin2α；sinαcsα＝eq \f(1,2)sin2α；csα＝eq \f(sin2α,2sinα)；cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α＝cs2α；
eq \f(2tanα,1－tan2α)＝tan2α．
2.变形用形式：
1±sin2α＝sin2α＋cs2α±2sinαcsα＝(sinα±csα)2；
1＋cs2α＝2cs2α；
1－cs2α＝2sin2α；cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)；
sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)．
题型一 公式的正用
【典例1】（2022春·江苏南京·高一南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知，，则cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据余弦二倍角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：B
【典例2】（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量数量积的坐标表示，结合题意整理可得，再代入二倍角的正切公式运算求解．
【详解】由题意可得：，整理得，即
∴
故选：C．
【典例3】（2022春·江苏徐州·高一校考竞赛）求的值.
【答案】
【分析】由正弦的二倍角公式及诱导公式化简即可得到结果.
【详解】
【规律方法】
由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．
题型二 公式的逆用
【典例4】（2022春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）设则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可.
【详解】解：，
，
，
因为在上单调递增，
所以，
所以.
故选：C
【典例5】【多选题】（2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考开学考试）下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】A选项，由正切的和角公式化简得到答案；B选项，由余弦二倍角公式求出答案；C选项，由正切二倍角公式进行求解；D选项，通分后，利用辅助角公式，倍角公式和诱导公式求出答案.
【详解】A选项，，即，
化简得：，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，，D错误.
故选：AC
【典例6】（2022秋·江苏常州·高一校考期末）计算：
(1)求值；
(2)已知，，求的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和的余弦、正弦、诱导公式化简计算可得出所求代数式的值；
（2）利用诱导公式、二倍角的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得的值，再利用诱导公式可求得的值.
【详解】（1）解：原式
.
（2）解：原式，
即，
因为，则，所以，，则，
因此，.
【规律方法】
当出现（或可化成）公式右端结构形式时，注意“逆用”公式，简化解题过程.
题型三 公式的变用
【典例7】（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】利用两角和与差的余弦公式将转化为，进行展开，对于分子则是结合二倍角正弦公式及完全平方式进行化简，最后再约分即可.
【详解】
故选：D.
【典例8】（2023春·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）求证：
．
【答案】证明见解析.
【分析】由二倍角公式，可得左边，通分后即可证明左边等于右边.
【详解】证明：因.
则，
.
故左边
右边.
【典例9】（2023·江苏·高一专题练习）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】第（1）问中，利用二倍角公式即可求出，从而求得.
第（2）问中，利用降幂公式及和差化积的正弦公式，即可求解.
【详解】（1）因为，，且，
得，，，，，
从而．
（2）．
【规律方法】
公式变形的主要形式有1±sin2α＝sin2α＋cs2α±2sinαcsα＝(sinα±csα)2,1＋cs2α＝2cs2α，1－cs2α＝2sin2α，cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)．
题型四 三角函数式化简问题
【典例10】（2022秋·河北承德·高一河北承德第一中学校考期末）化简：____.
【答案】
【分析】对原式通分，然后借助于辅助角公式以及二倍角公式化简计算，即可求出结果.
【详解】解：原式=




故答案为：
【典例11】（2022春·上海徐汇·高一上海市徐汇中学校考阶段练习）化简：__．
【答案】
【分析】利用倍角公式与同角三角函数关系式即可求解.
【详解】依题意，
．
故答案为：.
【典例12】（2023·高一课时练习）化简并求值．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，利用切化弦、二倍角公式、辅助角公式化简计算作答.
（2）根据给定条件，利用切化弦、诱导公式、二倍角公式、辅助角公式化简计算作答.
（3）根据给定条件，利用特殊角的三角函数值、二倍角公式、凑角的思想结合和差角的正弦化简计算作答.
【详解】（1）
.
（2）
.
（3）
.
【规律方法】
1.三角公式化简求值的策略
(1)使用倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现eq \f(1,2)，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．
题型五 三角恒等式证明问题
【典例13】（2023·江苏·高一专题练习）证明：；
【答案】证明见解析
【分析】利用诱导公式和二倍角的正弦公式即可化简证明.
【详解】证明：
，
故成立.
【典例14】（2023·江苏·高一专题练习）求证：
【答案】证明见解析
【分析】利用二倍角正余弦公式化简左侧，即可证结论.
【详解】由
，得证.
【典例15】（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）（1）化简：；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）根据题意，由正余弦的和差角公式，代入计算，化简即可得到结果；
（2）根据题意，由二倍角公式，代入分别计算，即可证明.
【详解】（1）
．
（2）证明：
左边
右边．
所以．
【总结提升】
三角恒等式的证明方法
(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．
(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．
(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．
提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．
一、单选题
1．（2023·江苏·高一专题练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把已知等式平方化简即得解.
【详解】两边平方得

故选：
2．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用降幂公式，再利用二倍角公式化简即得解.
【详解】由已知，化简得．
平方得，
所以．
故选：A．
3．（2022春·江苏宿迁·高一泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知为任意角，若满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将看成一个整体，化简，即可根据正切的二倍角公式求出．
【详解】由，
可得
.
故选：B.
4．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）若，则（ ）
A．0B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合倍角公式、三角函数在对应象限的符号、辅助角公式化简即可.
【详解】，.
故选：D
5．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，再表达出，从而根据诱导公式与二倍角公式求解即可
【详解】设，则，故，故，则
故选：D
6．（2022春·江苏南京·高一南京师范大学附属中学江宁分校校考期中）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，化简，代入即可求解.
【详解】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，可得
.
故选：C.
7．（2022春·江苏苏州·高一江苏省沙溪高级中学校考期中）已知，且，则（ ）
A．B．12C．D．
【答案】D
【分析】将两边平方，可求出，结合，可得，利用求出，利用平方差公式求出，从而可求出.
【详解】因为，所以，所以，
所以，
因为，所以，
又，所以，所以，
所以，
所以，
所以.
故选：D
8.（2022春·江苏常州·高一统考期末）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到，结合得到，求出.
【详解】因为，
所以，
整理得：，
，
，
因为，
所以，
所以，
解得：
故选：D.
二、多选题
9．（2022春·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考期中）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】利用两角和差公式和二倍角公式依次判断各个选项即可．
【解答过程】对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.另外可由解出，舍去增解.
故选：AD.
10．（2022春·江苏徐州·高一统考期中）已知，以下选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据正弦和余弦的二倍角公式，以及，逐个选项进行化简，然后判断，即可得答案.
【详解】根据题意，，两边平方，得，所以，，故A错误；
又因为，所以，，故B正确；
，故C正确；
，故D正确；
故选：BCD
三、填空题
11．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）___________.
【答案】
【分析】利用倍角公式及辅助角公式变形计算即可.
【详解】
.
故答案为：.
12.（2022春·江苏盐城·高一统考期中）若，则_____．
【答案】
【分析】由二倍角公式，平方关系变形可得．
【详解】，则，所以，，
．
故答案为：．
四、解答题
13．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知，.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用二倍角的正切公式求解；
(2)利用弦化切的方法求解.
【详解】（1）因为，
所以解得或，
因为，所以.
（2）.
14．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）（1）已知，求的值；
（2）已知，，则．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题设条件利用倍角公式整理得，再根据齐次式问题化简求值；
（2）先根据运算求解，注意符号的判断，再结合倍角公式公式化简求解.
【详解】（1）∵，则，即，
∴．
（2）∵，则，
整理得，
所以，
又∵，则，且，
则，即，
∴，
故．
15．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量，其中，且．
(1)求和的值；
(2)若，且，求角的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由得，化简可求，结合万能公式可求；
（2）采用整体法，由，结合角度范围，分别求出，进而得解.
【详解】（1）因为，所以，即；
；
（2）由（1）得，，
，
因为，，所以，
因为，所以，，
所以，
所以.
16．（2022春·江苏盐城·高一盐城中学校考期中）已知向量，，．
(1)若时，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由求出，进行弦化切，代入求解；
（2）由求出，得到，利用和差角公式直接求解．
(1)
（1）时，，
因为，
所以，，
．
(2)
因为，所以，
所以，，所以，所以，
所以.
所以，
．
所以
．