初中数学苏科版七年级下册9.5 多项式的因式分解优秀当堂检测题

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9.5 多项式的因式分解

因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
【注意事项】
1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2）因式分解必须是恒等变形；
3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为。
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
因式分解的常用方法：
方法一：提公因式法
1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
方法二：公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
 
【题型一】判断是否因式分解
【典题】（2022春·河北邯郸·七年级统考期末）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（    ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义进行判断即可；
【详解】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；
②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键．
巩固练习
1（ê）（2022秋·上海静安·七年级新中初级中学校考期末）下列四个式子从左到右的变形是因式分解的为（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义，即可求解．
【详解】解：AD.等号右边都不是积的形式，所以不是因式分解，故AD不符合题意；
B.左边不是多项式，所以不是因式分解，故B不符合题意；
C.符合因式分解的定义，故C符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式的过程是解题的关键．
2（ê）（2022秋·上海宝山·七年级校联考期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ）
A．； B．；
C．； D．；
【答案】C
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A、，右边不是整式的积的形式，故A不符合题意；
B、是整式的乘法，而且原运算错误．故B不符合题意；
C、，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C符合题意；
D、，右边不是整式的积的形式，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
【题型二】已知因式分解的结果求未知数的值
【典题】（2022春·广西贵港·七年级统考期末）多项式可分解为，则a的值分别是（      ）
A．10 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用多项式乘法整理多项式进而得出a的值．
【详解】∵多项式可分解为，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，得出同类项系数相等是解题关键．
巩固练习
1（ê）（2022春·贵州铜仁·七年级统考期中）已知关于x的二次三项式分解因式的结果是，则代数式的值为（    ）
A．－3 B．－1 C．－ D．
【答案】C
【分析】根据因式分解与整式乘法的关系，可求得a与b的值，从而可求得结果的值．
【详解】
则，
∴
故选：C
【点睛】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，负整数指数幂的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是本题的关键．
2（ê）（2022春·山东东营·七年级统考期末）若，则m+n的值为（　　）
A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1
【答案】D
【详解】先将展开，再根据已知条件可得﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，求出m和n的值，进一步求解即可．
【解答】解：∵，
又∵，
∴﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，
解得n＝2，m＝﹣3，
∴m+n＝﹣3+2＝﹣1，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是根据等式的性质求出参数m和n的值．
3（êê）（2022春·浙江宁波·七年级宁波市第七中学校考期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．
利用上述阅读材料求解：
(1)若是多项式的一个因式，求的值；
(2)若和是多项式的两个因式，试求，的值．
(3)在（2）的条件下，把多项式因式分解．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）将代入多项式并使多项式等于，求；
（2）将和分别代入多项式并使多项式等于，解二元一次方程组，求，；
（3）将（2）中解得的，的值代入多项式，然后进行因式分解即可．
(1)
解：是多项式的一个因式，
当时，，解得；
(2)
和是多项式的两个因式，
，解得．
，．
(3)
解：由（2）得即为，


．
【点睛】本题考查因式分解的创新应用，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键．
【题型三】判断公因式
【典题】（2022春·江苏苏州·七年级苏州市振华中学校校考期中）多项式的公因式是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】确定公因式的方法：①如果多项式的第一项系数是负数时，应把公因式的符号“-"提取；②取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数；③把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式．
【详解】解：原多项式的公因式为：，
故选：C．
【点睛】本题考查公因式的确定，掌握确定公因式的方法是解题关键．
巩固练习
1（ê）（2022春·湖南永州·七年级校考期中）下列各组式子中，没有公因式的是（　　）
A．﹣a2+ab与ab2﹣a2b B．mx+y与x+y
C．(a+b)2与﹣a﹣b D．5m(x﹣y)与y﹣x
【答案】B
【分析】公因式的定义：多项式中，各项都含有一个公共的因式，因式叫做这个多项式各项的公因式．
【详解】解：、因为，，所以与是公因式是，故本选项不符合题意；
、与没有公因式．故本选项符合题意；
、因为，所以与的公因式是，故本选项不符合题意；
、因为，所以与的公因式是，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查公因式的确定，解题的关键是先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．
2（ê）（2022春·湖南怀化·七年级统考期中）三个多项式：的最大公因式是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先把多项式因式分解，再进行解答即可．
【详解】解：∵，
，
，
∴最大公因式是，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了最大公因式，熟练掌握最大公因式的定义，将三个多项式分解因式，是解题的关键．
3（ê）（2022春·湖南常德·七年级统考期中）已知：，，，问多项式A、、是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．
【答案】
【分析】先分别把代数式A，B，C分别分解因式，再确定公因式即可．
【详解】解：多项式A、、有公因式．
，
，
．
因此多项式A、、的公因式是：
【点睛】本题考查的是公因式的含义，因式分解的方法，掌握“利用提公因式，公式法分解因式”是解本题的关键．
【题型四】利用提公因式法分解因式
【典题】（2022春·山东聊城·七年级统考期末）如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2的值为（    ）

A．80 B．160 C．320 D．480
【答案】B
【分析】根据题意可得，，则，代入求解即可．
【详解】解：根据题意可得，，即，
，
故选：B
【点睛】此题考查了代数式求值，解题的关键是利用因式分解法求得．
巩固练习
1（ê）（2022春·浙江宁波·七年级校联考期末）下列各数中，不能整除的是（    ）
A．78 B．79 C．80 D．81
【答案】A
【分析】直接利用提取公因式以及平方差公式分解因式，进而得出答案．
【详解】解：803﹣80
＝80×（802﹣1）
＝80×（80+1）×（80﹣1）
＝80×81×79，
故不能整除803﹣80的是78，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了提取公因式以及平方差公式分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
2（ê）（2022春·广西贺州·七年级统考期末）把多项式分解因式等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】提取公因式，即可分解因式．
【详解】解：=，
故选：B．
【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法是关键．
3（êê）（2022春·广西贵港·七年级统考期中）观察下列因式分解的过程：
（1）x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
（2）a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
①
②
（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．
【答案】（1）①（d﹣c）（a﹣b）；②（x﹣3+y）（x﹣3﹣y）；（2）（1+x）n+1
【分析】（1）①利用分组后直接提公因式分解；
②利用分组后直接运用公式分解；
（2）把添加括号，利用分组后直接提取公因式，反复运算得结论．
【详解】解：（1）①原式


②原式


（2）原式




【点睛】本题主要考查了多项式因式分解的分组分解法．掌握分组后直接提起公因式和分组后直接运用公式，是解决本题的关键．
【题型五】利用平方差公式分解因式
【典题】（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+b2 B．2a﹣b2 C．a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2
【答案】C
【分析】根据平方差公式判断即可；
【详解】A．a2+b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
B．2a﹣b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
C．a2﹣b2能运用平方差公式分解，故此选项正确；
D．﹣a2﹣b2=-（a2+b2）不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
故选： C．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式是解题关键．
巩固练习
1（ê）（2022春·江苏镇江·七年级镇江市外国语学校校考期中）已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（  ）
A．5 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【分析】先根据平方差公式分解，再整体代入，并整理，然后整体代入求出答案．
【详解】∵a-b=2，
∴．
故选：B.
【点睛】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．
2（ê）（2022春·河北邯郸·七年级统考期末）2161可以被1020之间的两个整数整除，那这两个整数是（    ）
A．13和15 B．12和16 C．14和17 D．15和17
【答案】D
【分析】根据因式分解化简2161即可．
【详解】解：2161=（281）（281）
=（281）（241）（241）
=（281）×17×15
即，2161的计算结果可以被17和15整除，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握用平方差公式分解因式是解题的关键．
【题型六】利用完全平方公式分解因式
【典题】（2022春·山东聊城·七年级统考期末）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用完全平方公式进行分解逐一判断，即可解答．
【详解】解：A、4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，故A符合题意；
B、x2+2x+1＝（x+1）2，故B不符合题意；
C、x2+xy+y2＝（x+y）2，故C不符合题意；
D、9+x2﹣6x＝（x﹣3）2，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
巩固练习
1（ê）（2022春·湖南常德·七年级统考期中）下列可以用完全平方公式因式分解的是（    ）
A．4a2﹣4a﹣1 B．4a2＋2a＋1 C．1﹣4a＋4a2 D．2a2＋4a＋1
【答案】C
【分析】对于前三项，根据完全平方公式的特点可知4a2和1是平方项，中间项是±4a，即可判断；最后一项2a2和1是平方项，不能因式分解判断即可．
【详解】解：A．4a2﹣4a﹣1不能用完全平方公式分解因式，故错误；
B．4a2+2a+1不能用完全平方公式分解因式，故错误；
C．1﹣4a+4a2＝(1﹣2a)2，能用完全平方公式分解因式，故正确；
D．2a2+4a+1不能用完全平方公式分解因式，故错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式因式分解，掌握完全平方公式的形式是解题的关键．
2（ê）（2022春·广西桂林·七年级统考期中）已知下列多项式：①；②；③；④其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（    ）
A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③
【答案】C
【分析】根据完全平方公式的结构，逐个分析判断即可求解．
【详解】解：①不能用完全平方公式进行因式分解；
②，能用完全平方公式进行因式分解；
③不能用完全平方公式进行因式分解；
④，用完全平方公式进行因式分解
故选C
【点睛】本题考查了用完全平方公式因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键．
3（ê）（2022春·河北唐山·七年级统考期末）在多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是（    ）
嘉琪：添加，
陌陌：添加，
嘟嘟：添加，
A．嘉琪和陌陌的做法正确 B．嘉琪和嘟嘟的做法正确
C．陌陌和嘟嘟的做法正确 D．三位同学的做法都不正确
【答案】A
【分析】利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：添加，，故嘉琪的表述是正确的；
添加，，故陌陌的表述是正确的；
嘟嘟的表述不是完全平方公式，故是错误的，
故选：A
【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【题型七】综合运用公式法分解因式
【典题】（2022春·山东聊城·七年级统考期末）分解因式2a2（x－y）＋2b2（y－x）的结果是（    ）
A．（2a2＋2b2） （x－y） B．（2a2－2b2） （x－y）
C．2（a2－b2） （x－y） D．2（a－b）（a＋b）（x－y）
【答案】D
【分析】根据提公因式法和平方差公式分解因式．
【详解】解：2a2（x－y）＋2b2（y－x）
=2a2（x－y）-2b2（x－y）
=（2a2－2b2）（x－y）
=2（a2－b2）（x－y）
=2（a－b）（a＋b）（x－y）．
故选：D．
【点睛】此题考查了分解因式，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式及十字相乘法）是解题的关键．
巩固练习
1（ê）（2022春·广西来宾·七年级统考期末）已知，，那么的值为（    ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】将多项式进行因式分解，再整体代入求解即可．
【详解】解：，
将，，代入可得：
，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解，整体代入思想，能够熟练地将整式因式分解是解决此类题型的关键．
2（êê）（2022春·湖南常德·七年级统考期中）现在生活中很多地方都需要安全又能记住的密码，但很多人还是直接用生日来设计密码，这存在极大的安全隐患．小明的生日是12月3日，他想用刚学的因式分解来设计家中的电脑密码．若对于多项式，因式分解的结果是，若，，则，，，于是可将“416136”作为密码.对于多项式，小明用自己的生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值，则产生的密码不可能是（    ）
A．123933 B．339321 C．333912 D．391233
【答案】B
【分析】先进行因式分解，根据题意得出，，得出，，利用乘法交换律即可得出密码组合．
【详解】解：

；
∵小明用自己的生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值
∴，，
∴，，
当时，产生的密码为123933，为选项A；
当时，产生的密码为333912，为选项C；
当时，产生的密码为391233，为选项D；
无法产生选项B，
故选：B．
【点睛】题目主要考查利用公式法及提公因式法进行因式分解，求代数式的值，理解题意，熟练掌握运用各个运算法则是解题关键．
3（ê）（2022秋·上海·七年级期末）因式分解：．
【答案】
【分析】原式第一、三项结合，二、四项结合，提取公因式后再提取公因式，利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式=
=
=
=．
【点睛】本题考查了因式分解：分组分解法：对于多于三项以上的多项式的因式分解，先进行适当分组，再把每组因式分解，然后利用提公因式法或公式法进行分解．
4（êê）（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等，请用配方法解决以下问题．
(1)试说明：、取任何实数时，多项式的值总为正数；
(2)分解因式：；
(3)已知实数，满足，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，再利用非负数的性质进行解答；
（2）先利用配方法再利用平方差公式进行因式分解即可；
（3）先表示出，再表示出，再利用配方法求解即可．
（1）
解：
=
=，
∵，，
∴x，y取任何实数时，多项式的值总为正数；
（2）
解：
=
=
=；
（3）
解：∵，
∴，
∴，
∴当a=2时，a+b有最小值为1，
∴a+b的最小值为1．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式即平方差公式是解答此题的关键．
【题型八】利用十字相乘法分解因式
【典题】（2022春·湖南株洲·七年级校联考期中）若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是（    ）
A．1 B．7 C．11 D．13
【答案】B
【分析】将多项式5x2+17x-12进行因式分解后，确定a、b、c的值即可．
【详解】解：因为5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c），
所以a=4，b=5，c=-3，
所以a-c=4-（-3）=7，
故选：B．
【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a、b、c的值是得出正确答案的关键．
巩固练习
1（ê）（2022秋·上海·七年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据十字相乘法进行因式分解的方法，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；
B、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；
C、，能用十字相乘法进行因式分解，符合题意；
D、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；
故选C
【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握十字相乘法进行因式分解．
2（ê）（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）不论x为何值，等式都成立，则代数式的值为（    ）
A．-9 B．-3 C．3 D．9
【答案】D
【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出p与q的值，即可求出答案．
【详解】解：由题意可得，
=，
∴p=2，q=-3，
则=9．
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解法-十字相乘法，解决本题的关键是熟练的掌握十字相乘法．
3（ê）（2022秋·上海静安·七年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）多项式77x2-13x-30可分解成（7x+a）（bx+c），其中a，b，c均为整数，求a+b+c的值为
A．0 B．10
C．12 D．22
【答案】C
【分析】利用十字相乘法将77x2-13x-30因式分解，求得a，b，c的值，即可得a＋b＋c的值．
【详解】利用十字相乘法将77x2-13x-30因式分解，可得：77x2-13x-30=(7x-5)(11x+6)．
∴a=-5，b=11，c=6，
则a+b+c=（-5）+11+6=12．
故选C．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，熟练运用十字相乘法分解因式是解题的关键．
4（ê）（2022秋·上海宝山·七年级统考期末）分解因式：
【答案】
【分析】先提取公因式，再用十字相乘法分解即可．
【详解】解：
=
=．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
【题型九】因式分解的实际应用
【典题】（2022春·河北石家庄·七年级统考期末）已知甲、乙、丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相乘的积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把题中的积分别分解因式后，确定出甲乙丙各自的整式，即可解答．
【详解】解：甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，
甲为，乙为，丙为，
则甲与丙相乘的积为，
故选：B．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
巩固练习
1（ê）（2022春·湖南娄底·七年级校考期末）已知可以被在0～10之间的两个整数整除，则这两个数是（    ）
A．1、3 B．3、5 C．6、8 D．7、9
【答案】D
【详解】248－1=(224+1)(224－1)
=(224+1)(212+1)(212－1)
=(224+1)(212+1)(26+1)(26－1)
= (224+1)(212+1)(26+1)(23+1) (23－1) ，
23+1=9， 23－1=7，
所以这两个数是7、9．
故选D．
2（êê）（2022春·湖南株洲·七年级株洲二中校考期中）已知a>b>c，M=a2b+b2c+c2a，N=ab2+bc2+ca2，则M与N的大小关系是（     ）
A．M>N B．M＜N C．M=N D．不能确定
【答案】A
【分析】多项式比较大小，采用“作差法”，将多项式因式分解，再根据已知条件判断M-N的符号，即可求解．
【详解】解：








∵a>b>c，
∴，
∴，即，
∴M>N．
故选：A.
【点睛】本题考查了整式的加减运算，因式分解的应用，整式比较大小，理解通常常用作差法：当M-N>0时，M>N，当M-N=0时，M=N，当M-N<0时，M 4（êê）（2022春·湖南永州·七年级校考期中）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：分别对应下列六个字：乌、爱、我、义、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ）
A．我爱美 B．义乌游 C．爱我义乌 D．美我义乌
【答案】C
【分析】将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息．
【详解】解：∵（x2-y2）a2-（x2-y2）b2=（x2-y2）（a2-b2）=（x-y）（x+y）（a+b）（a-b），
又∵a-b，x-y，x+y，a+b分别对应下列四个个字：乌、爱、我、义，
∴结果呈现的密码信息是：爱我义乌．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用．解题的关键是将多项式因式分解，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止．
5（êê）（2022秋·上海宝山·七年级统考期末）如果的三边长满足等式，试判断此的形状并写出你的判断依据．
【答案】是等边三角形，理由见解析
【分析】利用因式分解得出三边长的关系，即可判断三角形形状．
【详解】解：是等边三角形
证明：∵，
∴．
∴，
即，
∴，
∴，即，
∴是等边三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题关键是熟练进行因式分解，得出三角形的三边关系．