数学八年级下册17.1 勾股定理精品达标测试

17.1.4 利用勾股定理解决蚂蚁爬行问题专题

蚂蚁爬行问题的概述：蚂蚁在某几何体的一个顶点，爬行到另外一个相对的顶点去吃食物，求所走的最短路径是多少。

蚂蚁爬行问题的实质：两点之间，线段最短。

模型一：蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点A到点B的最短距离：

解题方法：在长方体问题中，我们需要将长方体展开，然后利用两点之间线段最短画图求解。如果长方体的长、宽、高各不相同，一般分三种情况讨论。

模型二：蚂蚁沿着圆柱表面爬行，求最短距离：

解题方法：在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形

模型三（蚂蚁吃蜂蜜问题）：求蚂蚁从点A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到点B蜂蜜处的最短距离。

一、单选题

1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正四棱柱的底面边长为4cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱外表面到点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（    ）

A． B．14cm C． D．10cm

2．（2022春·全国·八年级假期作业）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（   ）cm．

A．15 B．20 C．18 D．30

3．（2021秋·四川眉山·八年级统考期中）如图，有一个长、宽、高分别为、、的长方体，现一只蚂蚁沿长方体表面从A点爬到B点，那么最短的路径是（ ）

A．3 B． C． D．

4．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3）

A．30 B．28 C．25 D．22

5．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（    ）

A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．15 cm

6．（2023春·八年级课时练习）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　）

A． B．  C．  D．

7．（2022秋·河南三门峡·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（    ）（杯壁厚度不计）．

A．14 B．18 C．20 D．25

8．（2022·全国·八年级专题练习）如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　）

A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm

9．（2022秋·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考阶段练习）如图，有一长、宽、高分别是5cm，4cm，4cm的长方体木块，一只蚂蚁沿如图所示路径从顶点A处在长方体的表面爬到长方体上和A相对的中点B处，则需要爬行的最短路径长为（    ）

A．cm B．cm C．cm D． cm

10．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，正方体的棱长为，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点，一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径长是（     ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．（2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_________ dm．

12．（2023春·八年级单元测试）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm

13．（2022秋·广东揭阳·八年级统考期末）如图，在圆柱的截面ABCD中，AB＝，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为_____．

14．（2022秋·全国·八年级专题练习）在一个长11cm，宽5cm的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽，它的底面边长为1cm的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是________cm．

15．（2023春·八年级单元测试）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为3丈，底面周长为8尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是___________丈．

三、解答题

16．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．

(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．

(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．

(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？

17．（2022秋·江苏·八年级期末）如图①，长方体长AB为8 cm，宽BC为6 cm，高BF为4 cm．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？

(1)蚂蚁从点A爬行到点G，且经过棱EF上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长．

(2)设该长方体上底面对角线EG、FH相交于点O（如图②），则OE＝OF＝OG＝OH＝5 cm．

①蚂蚁从点B爬行到点O的最短路径的长为  cm；

②当点P在BC边上，设BP长为a cm，求蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长（用含a的代数式表示）．

18．（2022秋·江苏·八年级期末）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？

(1)如图①，正方体的棱长为2cm，A是正方体的顶点，P为棱BC的中点．蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径的长为        cm（结果保留根号）．

(2)如图②，四棱锥的底面四边形ABCD是正方形，O是四棱锥的顶点，四棱锥的四个侧面是全等的等腰三角形，侧棱OA＝OB＝OC＝OD＝4cm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P为侧棱OC的中点．图③所示的四棱锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径，并求出它的长（结果保留根号）．

(3)图④中的几何体是由底面相同的正方体和四棱锥组成．正方体的棱长为acm，M是正方体的顶点，四棱锥的四个侧面是全等的等腰三角形，O是四棱锥的顶点，侧棱OA＝OB＝OC＝OD＝bcm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P为侧棱OC的中点．正方体的侧面展开图如图⑤所示，在图中画出蚂蚁从点M爬行到点P的最短路径的示意图，并写出求最短路径的思路．

19．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：

(1)将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置；

(2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______；

(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：

①的最小值______；

②的最小值为______．