【同步讲义】人教版数学八年级上册-基础练【11.2 与三角形有关的角】 讲义

2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础

第11章《三角形》

11.2 与三角形有关的角

知识点1：三角形内角和定理

【典例分析01】（2022•兴庆区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D边在AB上，将其沿CD折叠，点B落在AC边上的B′点处，∠ADB′＝18°，则∠A＝　36°　．

解：由题意可知：∠B＝∠CB′D，∠BCD＝∠B′CD＝ACB＝45°，

∵∠CB′D＝∠B′DA+∠A，∠B＝90°﹣∠A，

∴90°﹣∠A＝∠B′DA+∠A．

∴2∠A＝90°﹣18°＝72°．

∴∠A＝36°．

故答案为：36°．

【变式训练1-1】（2021秋•礼泉县期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠BOC＝125°，则∠A的度数为（　　）

A．70° B．80° C．90° D．55°

【变式训练1-2】（2021秋•攸县期末）若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：5，那么这个三角形的最大内角的度数为（　　）

A．54° B．60° C．90° D．100°

【变式训练1-3】（2021秋•头屯河区期末）△ABC中，BF、CF是角平分线，∠A＝70°，则∠BFC＝　125°　．

【变式训练1-4】（2021秋•利通区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求∠AEC的度数．

【变式训练1-5】（2021秋•高新区校级期末）小明在学习中遇到这样一个问题：

如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．

猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．

（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：

上表中a＝　20　，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为               ．

（2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．

（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图2，过EA的延长线是一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为 　   　°．

知识点2：三角形的外角性质

【典例分析02】（2021秋•开江县期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：

（1）【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；

（2）【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B＝40°，求∠CEF和∠CFE的度数；

（3）【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M＝35°，求∠CFE的度数．

（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，

∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，

∴∠B＝∠ACD，

∵AE是角平分线，

∴∠CAF＝∠DAF，

∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD∠CEF＝∠DAF+∠B，

∴∠CEF＝∠CFE；

（2）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，

∴∠GAF＝∠B+∠ACB＝40°+90°＝130°，

∵AF为∠BAG的角平分线，

∴∠GAF＝∠DAF＝×130°＝65°，

∵CD为AB边上的高，

∴∠ADF＝∠ACE＝90°，

∴∠CFE＝90°﹣∠GAF＝90°﹣65°＝25°，

又∵∠CAE＝∠GAF＝65°，∠ACB＝90°，

∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝90°﹣65°＝25°；

（3）证明：∵C、A、G三点共线   AE、AN为角平分线，

∴∠EAN＝90°，

又∵∠GAN＝∠CAM，

∴∠M+∠CEF＝90°，

∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，

∴∠CEF＝∠CFE，

∴∠M+∠CFE＝90°．

∴∠CFE＝90°﹣∠M＝90°﹣35°＝55°．

【变式训练2-1】（2021秋•巧家县期末）如图，在△ABC中，D为线段BA延长线上一点，∠B＝35°，∠DAC＝60°，则∠C的度数为（　　）

A．85° B．45° C．25° D．125°

【变式训练2-2】（2021秋•黄陂区期末）如图中∠1的度数为（　　）

A．60° B．70° C．100° D．110°

【变式训练2-3】（2022•南宁模拟）一副三角板如图放置，则∠1的度数为         　．

【变式训练2-4】（2021秋•平江县期末）如图，△ABC中，∠A＝80°，∠ACD＝118°，则∠B的度数为 　38°　．

【变式训练2-5】（2021秋•武功县期末）如图，已知∠A＝70°，∠B＝50°，CE平分△ABC的外角∠ACD，求∠DCE的度数．

知识点3：直角三角形的性质

【典例分析03】（2022春•古田县期中）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠A＝30°，求∠DCB．

解：∵∠A＝30°，

∴∠B＝90°﹣30°＝60°，

∵CD⊥AB，

∴∠DCB＝90°﹣∠B＝30°．

【变式训练3-1】（2021秋•澄海区期末）如图，某社会实践学习小组为测量学校A与河对岸江景房B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝300米．由此可求得学校与江景房之间的距离AB等于（　　）

A．150米 B．600米 C．800米 D．1200米

【变式训练3-2】（2022春•渌口区期中）已知直角三角形ABC中，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是（　　）

A．50° B．45° C．40° D．30°

【变式训练3-2】（2021秋•望城区期末）在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是（　　）

A．25° B．55° C．65° D．75°

【变式训练3-3】（2022•甘肃模拟）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CE∥AB，若∠BCE＝30°，则

∠A＝　        ．

【变式训练3-4】（2021春•路北区期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．

（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；

（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系．