【同步讲义】人教版数学八年级上册：专题15.2 分式的运算 讲义

专题15.2 分式的运算

1、掌握分式的四则运算法则、运算顺序、运算律；

2、正确使用分式的四则运算；

3、掌握零指数幂和负整数指数幂的意义和运算；及小于1的科学计数法。

知识点01 分式的乘除

知识点

分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：

1）分式的乘法

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．

2）分式的除法

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．

用式子表示为：．

3）分式的乘方

乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，．

【知识拓展1】分式的乘法

例1．（2022·山东·泰安市八年级阶段练习）计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

【即学即练】

1．（2022·湖南·新化县八年级期中）计算：的正确结果是（         ）

A．2 B．2b C．-2b D．-2ab²

【知识拓展2】分式的除法

例2．（2022·绵阳市八年级单元测试）化简，正确结果是（    ）

A． B． C． D．

【即学即练】

2.（2022·浙江·宁波外国语学校七年级期中）化简：÷＝_____．

【知识拓展3】分式的乘方

例3．（2022·江西宜春·八年级期中）下列计算中，错误的是(   )

A．     B．      C．    D．

【即学即练】

3．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期末）计算分式得（　　）

A． B． C． D．

【知识拓展4】分式的乘除乘方混合运算

例4．（2022·海南·儋州川绵中学八年级阶段练习）计算的结果是（    ）

A． B． C． D．2

【即学即练】

4．（2022·湖北·京山市实验中学八年级期中）计算：

(1)    (2)    (3)

知识点02 分式的加减

知识点

1）分式的加减  

①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．

②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．

用式子表示为：．

2）分式的混合运算

含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．

混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．

注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式

【知识拓展1】分式的加减（同分母）

例1．（2022·山东·济宁八年级阶段练习）分式①；②；③中，计算结果是整式的序号_______．

【即学即练】

1．（2022·湖南·新化县八年级期中）计算 （    ）

A． B． C．1 D．

【知识拓展2】分式的加减（异分母）

例2．（2022·江苏连云港·八年级期中）计算：

(1)；   (2)．

【即学即练】

2.（2022·浙江·七年级阶段练习）化简，得（    ）

A． B． C． D．

【知识拓展3】分式的混合运算

例3．（2022·湖南长沙·七年级阶段练习）已知，其中，，，为常数，则______．

【即学即练】

3．（2022·河北唐山·八年级期末）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ）

A．当时， B．当时，

C．当时， D．当时，

【知识拓展4】分式的化简求值

例4．（2022·广西贵港·八年级期中）先化简，再求值

(1)，其中； (2)，其中a满足．

【即学即练4】

4．（2022·江苏·八年级阶段练习）先化简，再从﹣2≤a≤2中选取一个合适的整数代入求值．

知识点03 整数指数幂

【知识拓展1】零指数幂与负指数幂

例1．（2022·广西桂林·八年级期中）计算：．

【即学即练1】

1．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）计算：；

【知识拓展2】科学记数法表示除法

例2．（2022·河北·廊坊市八年级阶段练习）_____．

【即学即练2】

2．（2022·山东·烟台市期中）福山新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．(1)用含m，n的代数式表示Q；(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值；(3)若P=4×1012，求的值（结果用科学记数法表示）．

【知识拓展3】科学记数法相关问题

例3．（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（    ）

A．-5 B．-6 C．-7 D．-8

【即学即练3】

3．（2022·广东·佛山市南海区大沥谢边南桥学校七年级期中）纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，1纳米=米．某细胞的直径是1000纳米，用科学记数法表示该细胞的直径为（       ）

A．米 B．米 C．米 D．米

考法01   分式的应用

【典例1】（2022·江苏·盐城市毓龙路实验学校八年级阶段练习）【生活观察】甲、乙两人买水果，甲习惯买一定质量的水果，乙习惯买一定金额的水果，两人每次买水果的单价相同，例如：

第一次

第二次：

(1)完成上表；(2)计算甲两次买水果的均价和乙两次买水果的均价．（均价＝总金额÷总质量）

【数学思考】设甲每次买质量为m千克的水果，乙每次买金额为n元的水果，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买水果的均价、，比较、的大小，并说明理由．【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为；如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v﹣p），所需时间为．请借鉴上面的研究经验，比较、的大小，并说明理由．

变式1．（2022·全国·八年级单元测试）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行．在没有风时，飞行器的速度为v，往返所需时间为；如果风速度为，则飞行器顺风飞行速度为，逆风飞行速度为，往返所需时间为．则、的大小关系为（    ）

A． B． C． D．无法确定

变式2．（2022·四川成都·八年级期中）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了m千克．则高的单位面积产量比低的单位面积产量多几分之几？多的这个值是______．

题组A  基础过关练

1．（2022·湖南衡阳·八年级期末）计算的结果是（　　）

A．  B． C． D．0

2.（2022·全国·八年级专题练习）计算的结果为（   ）

A． B．m C． D．

3．（2022·湖南·岳阳县八年级阶段练习）计算：，结果为（　　）

A．1 B． C．  D．

4．（2022·海南·八年级期末）化简 的结果是（　　）

A． B． C． D．

5．（2022·湖南·新化县八年级期中）2010年，国外科学家成功制造出世界上最小的晶体管，只有，请用科学记数法表示它的长度（         ）

A． B． C． D．

6．（2022·山东·八年级期末）某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册元，现每册降价元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（   ）册．

A． B． C． D．

7．（2022·四川·仁寿八年级期中）计算：＝____________________．

8．（2022·广西贵港·八年级期中）计算：________．

9．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）计算：

(1)；   (2)；    (3)．

10．（2022·福建福州九年级开学考试）先化简，再求值：，其中x＝3．

11．（2022·山东威海·期中）先化简，再求值：，其中．

题组B  能力提升练

1．（2022·山东·新泰市八年级阶段练习）化简的结果是（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·四川·隆昌市知行中学八年级阶段练习）化简的结果是（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·河北邢台·八年级阶段练习）若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（    ）

A．1 B．x C． D．4

4．（2022·黑龙江·兰西县八年级阶段练习）一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（　  　  ）

A． B． C． D．

5．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级阶段练习）学完分式运算后，老师出了一道题：化简．

小明的做法是：原式；

小亮的做法是：原式；

小芳的做法是：原式．

对于这三名同学的做法，你的判断是（    ）

A．小明的做法正确 B．小亮的做法正确

C．小芳的做法正确 D．三名同学的做法都不正确

6．（2022·江苏·七年级期末）已知一种细胞的直径约为2.13×cm，请问2.13×这个数原来的数是 _____．

7．（2022·陕西·西北大学附中八年级期中）若，则_________，_________．

8．（2022·北京市八年级期中）老师所留的作业中有这样一个分式的计算题，甲、乙两位同学完成的过程分别如下：

老师发现这两位同学的解答过程都有错误．

(1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．我选择______同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）．该同学的解答从第____步开始出现错误，错误的原因是_______；

(2)请重新写出完成此题的正确解答过程：

9．（2022·广西宁明·七年级期末）课堂上，李老师给大家出了这样一道题：“当、、时，求代数式的值．”小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程．

10．（2022·浙江·八年级单元测试）先阅读后思考：

克糖水中有克糖，且，则糖与糖水的质量比为，如果再加克糖，则糖与糖水的质量比为，生活经验告诉我们：添加糖后，糖水会更甜，于是有，趣称“糖水不等式”．

请你思考：若能从克糖水中提炼出克糖，则糖水会变得没有原来甜，你能得出另外的“糖水不等式”吗？

题组C  培优拔尖练

1．（2022·山东威海·期中）设，，则，的关系是(   )

A．   B．    C．   D．

2．（2022·湖南·邵阳市八年级阶段练习）已，则的值是__________．

3．（2022·山东·峄城区八年级阶段练习）一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，水流速度是x千米/时，A、B两地距离为S千米，则该船从A港出发到返回A港共用多少时间？______．（只需列式表示，不必化简）

4．（2022·江苏·南通八年级阶段练习）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4．若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8．(1)求a，b的值；(2)若T（m，n）＝0（n≠﹣2），①用含n的代数式表示m；②若m、n均取整数，求m、n的值；③当n取s、t时，m对应的值为c、d．当t＜s＜﹣2时，试比较c、d的大小．

5．（2022·河南·八年级期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了550kg．设“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为．

(1)        ；        ．（用含a的式子表示）(2)求证：．(3)求的值．

(4)当a＝49时，高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

6．（2022·绵阳市·八年级单元测试）课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元/千克，种糖的单价为元/千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）．现有甲乙两种什锦糖，均由，两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克种糖和10千克种糖混合而成；乙种什锦糖由100元种糖和100元种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究：

(1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为和（用、的代数式表示）；

(2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将与进行作差比较，即计算的差与0比较来确定大小；

(3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动．方式一：每次都加满；方式二：每次加200元）．选择哪种方式？请简要说明理由．