初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程精品课堂检测

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2022-2023学年九年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础
第21章《一元二次方程》
21.3 实际问题与一元二次方程

一．选择题
1．（2022春•包河区期末）受我省“药品安全春风行动”影响，某品牌药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为x，根据题意可得方程（　　）
A． B． C． D．
解：第一次降价后的价格为：（1﹣x）；
第二次降价后的价格为：（1﹣x）2；
∵两次降价后的价格为，
∴（1﹣x）2＝．
故选：D．
2．（2022•泗水县二模）疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，4月份第1周接到1.5万件订单，前3周共接到4.8万件订单，设第1周到第3周订单的周平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．1.5（1+2x）＝4.8
B．1.5×2（1+x）＝4.8
C．1.5（1+x）2＝4.8
D．1.5+1.5（1+x）+1.5（1+x）2＝4.8
解：∵4月份第1周接到1.5万件订单，且第1周到第3周订单的周平均增长率为x，
∴第2周接到1.5（1+x）万件订单，第3周接到1.5（1+x）2万件订单．
依题意得：1.5+1.5（1+x）+1.5（1+x）2＝4.8．
故选：D．
3．（2022•游仙区模拟）2022年2月6日，中国女足获得亚洲杯冠军！某传媒发布的参赛队员简介视频两天的点击量由原来的5万飙升至150万，若设每天点击量的平均增长率为x，则下列所列方程正确的是（　　）
A．5（1+x）2＝150 B．5+5（1+x）+5（1+x）2＝150
C．5x2＝150 D．5+5x+5x2＝150
解：由题意可得，
5+5（1+x）+5（1+x）2＝150，
故选：B．
4．（2022•桥西区校级模拟）如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不计）若该无盖盒子的底面积为900cm2，盒子的容积是（　　）

A．3600cm3 B．4000cm3 C．4500cm3 D．9000cm3
解：设剪掉的正方形的边长为xcm，则做成的无盖盒子的底面为长（40﹣2x）cm的正方形，
依题意得：（40﹣2x）2＝900，
解得：x1＝5，x2＝35（不合题意，舍去），
∴盒子的容积为900×5＝4500（cm3）．
故选：C．
5．（2022春•钱塘区期末）已知某企业2019年年营业收入为2500万元，2021年年营业收入达到3600万元，求这两年该企业年营业收入的平均增长率．设这两年年营业收入的平均增长率为x，根据题意列方程为（　　）
A．2500x2＝3600
B．2500（1+x）＝3600
C．2500（1+x）2＝3600
D．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝3600
解：根据题意所列方程为：2500（1+x）2＝3600，
故选：C．
6．（2022•衢江区二模）某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（　　）
A．（50﹣40+x）（500﹣x）＝8000
B．（40+x）（500﹣10x）＝8000
C．（50﹣40+x）（500﹣10x）＝8000
D．（50﹣x）（500﹣10x）＝8000
解：设这种商品每件涨价x元，则销售量为（500﹣10x）件，
根据题意，得：（10+x）（500﹣10x）＝8000，
故选：C．
7．（2022•贵阳模拟）据贵阳市自然资源和规划局公示，贵阳轨道交通4号线从贵阳北出发，依次为贵阳北﹣贵阳东﹣龙洞堡﹣……﹣白云区．从贵阳北到白云区共设计了156种往返车票，这条线路共有多少个站点？设这条线路共有x个站点，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝156 B．x（x﹣1）＝156
C．（x+1）＝156 D．x（x﹣1）＝156
解：设有x个站点，则
x（x﹣1）＝156．
故选：B．
8．（2022•南漳县模拟）新冠疫情给各地经济带来很大影响．为了尽快恢复经济，某企业加大生产力度，四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．若该企业五、六月份平均每月的增长率为x，则下列方程中正确的是（　　）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
C．50（1+2x）2＝182
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：D．
9．（2022•大方县二模）春意复苏，郑州绿化工程正在如火如茶地进行着，某工程队计划将一块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽为xm，则可列方程（　　）

A．（64﹣2x）（40﹣x）＝64×40×80%
B．（40﹣2x）（64﹣x）＝64×40×80%
C．64x+2×40x﹣2x2＝64×40×80%
D．64x+2×40x＝64×40×（1﹣80%）
解：设小路的宽为x 米，则绿化区域的长为（64﹣2x）米，宽为（40﹣x）米，
∴（64﹣2x）（40﹣x）＝64×40×80%
故选：A．
二．填空题
10．（2022•芜湖一模）为推进“书香芜湖”建设，让市民在家门口即可享受阅读和休闲服务，某社区开办了社区书屋.2021年9月份书屋共接待了周边居民200人次，11月份共接待了648人次，假定9月至11月每月接待人次增长率相同设为x，则可列方程 　200（1+x）2＝648　．
解：依题意得：200（1+x）2＝648．
故答案为：200（1+x）2＝648．
11．（2021秋•峡江县期末）某校九（1）班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九（1）班有 　40　名学生．
解：设九（1）班有x名学生，则每名学生需送出（x﹣1）张新年贺卡，
依题意得：x（x﹣1）＝1560，
整理得：x2﹣x﹣1560＝0，
解得：x1＝40，x2＝﹣39（不合题意，舍去），
∴九（1）班有40名学生．
故答案为：40．
12．（2021秋•朝阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 　2或3　秒时，△BPQ的面积是6cm2．

解：设运动时间为t 秒，则PB＝（10﹣2t）cm，BQ＝tcm，
依题意得：（10﹣2t）t＝6，
整理得：t2﹣5t+6＝0，
解得：t1＝2，t2＝3．
∴2或3秒时，△BPQ的面积是6cm2．
故答案为：2或3．
13．（2021秋•九江期末）某树主干长出x根枝干，每个枝干又长出x根小分支，若主干、枝干和小分支总数共133根，则主干长出枝干的根数x为 　11　．
解：依题意得：1+x+x2＝133，
整理得：x2+x﹣132＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．
故答案为：11．
14．（2021秋•湖北期末）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个面积50m2的矩形场地，平行于墙的篱笆应设计为多长？设平行于墙的篱笆长为xm，列方程，并化成一般形式为 　x2﹣20x+100＝0　．

解：∵篱笆的总长为20m，且平行于墙的篱笆长为xm，
∴垂直于墙的篱笆长为m，
依题意得：x•＝50，
化成一般形式为x2﹣20x+100＝0．
故答案为：x2﹣20x+100＝0．
15．（2022春•莱芜区期末）受疫情影响，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米10000元降至每平方米8100元，设每次降价的百分率相同，则降价的百分率为 　10%　．
解：设每次降价的百分率为x，
依题意得：10000（1﹣x）2＝8100，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），
∴每次降价的百分率为10%．
故答案为：10%．
16．（2022春•上城区期末）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱，如果要使每天销售饮料获利1400元，设每箱应降价x元，则可列方程为 　（12﹣x）（100+20x）＝1400　．
解：设每箱应降价x元，商场日销售量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12﹣x）元；
依据题意列方程得，
（12﹣x）（100+20x）＝1400，
故答案为：（12﹣x）（100+20x）＝1400．
17．（2022•河口区二模）电影《长津湖之水门桥》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为 　3+3（1+x）+3（1+x）2＝10　．
解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，
依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故答案为：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
18．（2022•山西模拟）如图，在一块长为40米，宽为30米的矩形荒地上，要建造一个花园（阴影部分），使得花园的面积为荒地面积的，小明设计出如图所示的方案，则图中x的值为 　10　．

解：图中四块空白的部分可合成长为（40﹣x）米，宽为（30﹣2x）米的矩形，
依题意得：（40﹣x）（30﹣2x）＝40×30×（1﹣），
整理得：x2﹣55x+450＝0，
解得：x1＝10，x2＝45（不合题意，舍去）．
故答案为：10．
三．解答题
19．（2022•西安二模）直播购物逐渐走进人们的生活．某电商在抖音上对一款标价为400元/件的商品进行直播销售，为了尽快减少库存，直播期间，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．求该种商品每次降价的百分率．
解：设该种商品每次降价的百分率为x，
依题意得：400（1﹣x）2＝324，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
20．（2022•内黄县模拟）某县生态果园2019年冬桃产量为80吨，2021年冬桃产量为115.2吨，若该生态果园冬桃产量的年平均增长率相同．
（1）求该生态果园冬桃产量的年平均增长率．
（2）若下一年冬桃产量的年增长率不变，请预估2022年该生态果园冬桃产量．
解：（1）设该果园冬桃产量的年平均增长率为x，
根据题意得：80（1+x）2＝115.2，
解这个方程得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2．
x2＝﹣2.2＜0，不符合题意，舍去．
答：该果园冬桃产量的年平均增长率为20%；
（2）由题可知115.2×（1+0.2）＝138.24（吨），
答：预计该果园2022年冬桃产量为138.24吨．
21．（2021秋•淮安区期末）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m．
（1）设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为 　30﹣2x　m（用含x的代数式表示）；
（2）若菜园的面积为100m2，求x的值．

解：（1）由图可得：平行于墙的一边长为（30﹣2x）m，
故答案为：30﹣2x；
（2）根据题意得：
x•（30﹣2x）＝100，
∴x2﹣15x+50＝0，
解得x＝5或x＝10，
当x＝5时，30﹣2x＝20＞18，
∴x＝5不合题意，舍去，
∴x＝10，
答：x的值为10m．
22．（2022•单县三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
解：设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，日销售量为20+×10＝（140﹣2x）件，
依题意得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，
整理得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（不合题意，舍去）．
答：每件售价应定为50元．
23．（2022春•瑶海区期末）为落实常规疫情防控，某口罩厂计划生产8万只口罩，可在A和B两个地区全部销售，若在A地区销售，每只口罩的利润为1.5元，若在B地区销售，平均每只口罩的利润y（元）与B地区的销售量x（万只）之间的关系如下面所示：
x（万只）
1
2
3
4
5
6
7
8
y（元）
2.2
2.2
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1.2
（当0＜x≤3时，y保持不变；当3＜x≤8时，销售量x每增加1万只，平均每只口罩的利润y就减少0.2元）
（1）若在A地区销售口罩2万只，则销售完这批口罩共获利 　12.6　万元；
（2）当3＜x≤8时，B地区销售完这批口罩共获利 　[2.2﹣0.2（x﹣3）]x　万元；
（3）若该厂销售完这批口罩共获利13.5万元，求B地区销售口罩多少万只？（精确到0.1万只）
解：（1）若在A地区销售口罩2万只，则在B地区的口罩销售量为8﹣2＝6（万只），
根据题意得：
1.5×2+1.6×6
＝3+9.6
＝12.6，
则销售完这批口罩共获利12.6万元；
故答案为：12.6；
（2）根据题意得：
当3＜x≤8时，B地区销售完这批口罩共获利[2.2﹣0.2（x﹣3）]x万元；
故答案为：[2.2﹣0.2（x﹣3）]x；
（3）设该厂销售完这批口罩共获利13.5万元，求B地区销售口罩x万只，
根据题意得：
当3＜x≤8时，由（2）得：[2.2﹣0.2（x﹣3）]x＝13.5，
整理得：（﹣x+5）（2x﹣3）＝0，
解得：x＝5或x＝1.5（舍去），
此时x＝5；
当0＜x≤3时，由题意得：2.2x+1.5（8﹣x）＝13.5，
解得：x＝≈2.1，
则B地区销售口罩约为2.1或5万只．
24．（2022春•包河区期末）某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题：
（1）当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利 　14000　元．
（2）为了更多的让利消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？
解：（1）根据题意，得（120﹣20）×（100+2×20）＝14000（元），
故答案为：14000；
（2）设每盒应降价x元，
根据题意，得（120﹣x）（100+2x）＝14400，
解得x＝30或x＝40，
∵更多的让利消费者，
∴x＝40，
答：每盒应降价40元．
25．（2022•枝江市一模）【政策背景】
某地为扶持科技企业的发展，对企业实行月补贴，以提高企业的净利润额．
【实际情境】
该地某科技企业2021年12月份并未如期收到补贴，这样导致对2021年的净利润影响达到700万元，若剔除补贴延迟的影响，2021年的净利润增长达到60%，而若不剔除补贴延迟的影响，2021年的净利润增长只达到55%．
【问题探究】
（1）2021年该企业净利润是多少万元？
（2）又据统计，2021年12月该企业不含补贴，净利润为2100万元，2022年1月不含补贴净利润比上月增加一个分数m，2022年2月比上月增加的分数刚好是2m，这两个月的补贴金额相等，都在2021年12月基础上增加了一个分数，并且由于扶持力度的加大，这个分数恰好也是2m．据推算，若以后各月不含补贴净利润和补贴金额均稳定在2月份的水平不变，2022年该企业净利润将比2021年再次大增87.5%．求m的值．
解：（1）设2020年该企业净利润额是x万元，
依题意得：55%x+700＝60%x，
解得：x＝14000，
∴（1+60%）x＝（1+60%）×14000＝22400．
答：2021年该企业净利润额为22400万元．
（2）依题意可知，2022年1月不含补贴收入实际利润额为2100（1+m）万元，2022年2月不含补贴收入实际利润额为2100（1+m）（1+2m）万元，这两个月的政府补贴都是700（1+2m），
∴可列方程为：2100（1+m）+2100（1+m）（1+2m）×11+700（1+2m）×12＝22400×（1+87.5%），
整理得：11m2+21m﹣2＝0，
解得：m1＝，m2＝﹣2（不合题意，舍去）．
答：m的值是．
26．（2022•思明区校级一模）虽然北京冬奥会已经结束，但冬奥会吉祥物“冰墩墩”依然受到热摔，某“冰墩墩”产品原价100元，提价后又降价出售，经过两次价格变动，每个“冰墩墩”产品价格为96元，若提价的百分率和降价的百分率相同，求这个百分率．

解：设这个百分率为m，
∴100（1+m）（1﹣m）＝96，
解得，m＝0.04＝4%（负值舍去）．
∴这个百分率4%．
27．（2022•毕节市）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
类别
价格
A款钥匙扣
B款钥匙扣
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
解：（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，
依题意得：，
解得：．
答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件．
（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（80﹣m）件B款钥匙扣，
依题意得：30m+25（80﹣m）≤2200，
解得：m≤40．
设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（45﹣30）m+（37﹣25）（80﹣m）＝3m+960．
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝3×40+960＝1080，此时80﹣m＝80﹣40＝40．
答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元．
（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣a）＝（78﹣2a）件，
依题意得：（a﹣25）（78﹣2a）＝90，
整理得：a2﹣64a+1020＝0，
解得：a1＝30，a2＝34．
答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元