【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：计数原理章末检测卷（二）

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计数原理章末检测卷（二）说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。第I卷(选择题  共60分)一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）开学伊始，甲、乙、丙、丁四名防疫专家分别前往A，B，C三所中学开展防疫知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有（     ）A．6种 B．12种 C．15种 D．18种【答案】B【分析】由题意被安排到A中学的防疫专家有2种情况，结合分步乘法原理及分类加法原理即可.【详解】①若甲单独安排到A中学，则剩下的3名防疫专家分成两组到两个中学，共有：种方式，②若甲和另一名防疫专家被安排到A中学，则有：种方式，则剩下的2名防疫专家分到到两个中学，有：种方式，由分步乘法原理有：种方式，又由分类加法原理可得：若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有：种方式，故选：B.2．（2023·高二单元测试）若的展开式中常数项为，则正整数的值为（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】首先写出二项式展开式的通项，依题意可得且，即可排除B、C，再将A、D代入验证即可.【详解】解：二项式展开式的通项为，所以且，显然且为整数，即为的倍数，故排除B、C，又为的因数，所以或，当时，此时，不符合题意；当时，此时符合题意.故选：A3．（2022春·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（    ）A．5 B．7 C．8 D．12【答案】C【分析】根据分类计数原理与分步计数原理计算可得答案．【详解】要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为．故选：C．4．（2022秋·新疆巴音郭楞·高二新疆和静高级中学校考阶段练习）在含有3件次品的50件产品中，任取3件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】采用分类分步的方法，先取一件次品，再取2件正品即可.【详解】先取一件次品是，再取2件正品是，根据乘法原理得：故选：B5．（2023秋·内蒙古赤峰·高二统考期末）从单词“”中选取个不同的字母排成一排，含有、（其中、相连）的不同排法共有（    ）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【分析】先确定从中选择个不同的字母，且含有、的选法种数，然后将、这两个字母捆绑，利用捆绑法以及分步乘法计数原理可得结果.【详解】单词“”中共有个字母，且这个字母都不相同，从中选择个不同的字母，且含有、的选法种数为种，若、相连，将这两个字母捆绑，则不同的排法种数为种，由分步计数原理可知，不同的排法种数为种.故选：D.6．（2023秋·辽宁辽阳·高二校联考期末）某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜班，已知同一个人不能连续安排三天夜班，则这五天排夜班方式的种数为（    ）A．800 B．842 C．864 D．888【答案】C【分析】采用间接法，先计算没有限制条件的种数，再减去一人连排三天夜班、四天夜班、五天夜班的种数即可.【详解】所有可能值班安排共有种，若连续安排三天夜班，则连续的工作有三种可能，（1）从四人中选一人连排三天夜班，若形如▲▲▲□□或□□▲▲▲排列：共有种；若形如▲▲▲□▲或▲□▲▲▲排列：共有种；若形如▲▲▲□○或▲▲▲○□或□○▲▲▲或○□▲▲▲排列：共有种；若形如□▲▲▲□排列：共有种；若形如○▲▲▲□或□▲▲▲○排列：共有种；因此，选一人连排三天夜班共有132种．（2）从四人中选一人连排四天夜班，则连续的工作日有两种可能，从四人中选一人连排四天夜班，形如▲▲▲▲□或□▲▲▲▲排列，共有种．（3）从四人中选一人连排五天夜班，形如▲▲▲▲▲，则只有4种可能．故满足题意的排夜班方式的种数为．故选：C.7．（2023秋·江西吉安·高二统考期末）某公司为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（    ）A．18 B．24 C．36 D．60【答案】C【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合特殊元素问题及相邻问题，列式计算作答.【详解】因为C、D节目相邻，则视C、D节目为一个整体与其它3个节目排列，又A节目不排在第一个，则从后面三个位置中取一个排A，再排余下3个，有种，其中的每一种排法，C、D节目的排列有，所以节目安排的方法总数为（种）.故选：C8．（2023秋·江西吉安·高二统考期末）在的展开式中，记项的系数为，若，则a的值为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】利用二项式定理展开公式求解.【详解】所以解得，故选：B.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．（2023秋·福建宁德·高二统考期末）在的展开式中，下列说法正确的是（    ）A．常数项为160B．第3项二项式系数最大C．所有项的二项式系数和为D．所有项的系数和为【答案】ACD【分析】先求的通项公式可得选项A的正误，利用的值可得选项B、C的正误，所有项的系数和可以利用赋值法求解【详解】展开式的通项为，由，得，所以常数项为，A正确；二项式展开式中共有项，所以第项二项式系数最大，B错误；由及二项式系数和的性质知，所有项的二项式系数和为，C正确；令，得，所有项的系数和为，D正确；故选：ACD.10．（2023·高二单元测试）设，则（    ）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】根据二项展开式系数性质，逐个选项判断即可得到答案．【详解】对于选项A，令得，所以选项A错误；分别令和得和，所以选项B和选项C正确；对于选项 D，，选项D正确；故：BCD．11．（2023·高二单元测试）某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则下列说法正确的有（    ）A．若不选择政治，选法总数为种B．若物理和化学至少选一门，选法总数为C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种【答案】AC【分析】根据组合数性质判断A；若物理和化学至少选一门，分物理和化学选一门和物理和化学都选，求出选法数，判断B；物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门减去物理和历史同时选的选法数，判断C；物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，分三种情况考虑，求得选法数，判断D.【详解】对于A, 若不选择政治，选法总数为种,正确；对于B，若物理和化学选一门，选法总数为，若物理和化学都选，则选法数有种，故物理和化学至少选一门，选法总数为种，而，B错误；对于C, 若物理和历史不能同时选，即六门课程中任意选3门有种选法，减去物理和历史同时选的选法数，故选法总数为种，C正确；对于D,当物理和化学中只选物理时，有种选法；当物理和化学中只选化学时，有种选法；当物理和化学中都选时，有种选法，故物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种，而，D错误，故选：12．（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（    ）A．共有种不同的排法 B．男生不在两端共有种排法C．男生甲、乙相邻共有种排法 D．三位女生不相邻共有种排法【答案】AC【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A；利用有位置条件的排列判断B；利用相邻、不相邻问题的排列判断C，D作答.【详解】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有种不同的排法，A正确；男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有种排法，B不正确；男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有种排法，C正确；三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有种排法，D不正确.故选：AC第Ⅱ卷(非选择题  共90分)三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2023秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）的展开式中含项的系数为___________.【答案】【分析】利用乘法分配律得到，则来自于的展开式，根据二项式定理即可求解.【详解】，的展开式中项为：，的展开式中没有项，故的展开式中含项的系数为，故答案为：.14．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）若展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答）【答案】40【分析】根据二项式系数和为，求出，即可求出二项式展开式中常数项.【详解】因为二项式系数和，因此，又，令，常数项为.故答案为：40.15．（2023秋·福建宁德·高二统考期末）某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晩会.晩会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则有__________种不同排法.（用数字作答）【答案】42【分析】分两种情况讨论：2个教师节目相邻与不相邻，分别算出相加即可.【详解】①当2个教师节目相邻时利用插空法则有：种情况，②当2个教师节目不相邻时有：种情况，所以共有种情况，故答案为：42.16．（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才双语学校校考期末）在的方格中放入1个白球和完全相同的2个黑球，每一行、每一列各只有一个球，每球占一格，则不同的放法种数为__________．（结果用数字作答）【答案】【分析】先放白球，然后放黑球，结合分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】先在个格选一个放白球，方法数有种，再放个黑球，方法数有种，所以不同的放法数有种.故答案为：四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（2022秋·宁夏银川·高二校考阶段练习）0、1、2、3、4、5这六个数.(1)可组成没有重复数字的数多少个？(2)可组成没有重复数字的5位数中的偶数多少个？(3)可组成没有重复数字的5位数中比24305大的数有多少个？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）注意到没有限定是几位数，则利用排列公式分别求出可以组成1、2、3、4、5、6位数的个数，由加法原理计算可得答案.（2）根据题意，第一种：5位数中无0;第二种：5位数中有0且0在个位;第三种：5位数中有0且0不在个位.利用排列公式分别求出每种情况下5位数的个数，由加法原理计算可得答案.（3）根据题意，分4种情况讨论： 第一种：首位以是3，4，5的5位数;第二种：前2位是25的数;第三种：前3位是245的数;第四种：前3位是243的数.利用排列公式分别求出每种情况下符合条件的5位数的个数，由加法原理计算可得答案.【详解】（1）由0、1、2、3、4、5这六个数，可以组成1位数个，可以组成2位数个，可以组成3位数个，可以组成4位数个，可以组成5位数个，可以组成6位数个，则共可以组成 个.（2）根据题意，要求是五位数且首位不能是0，则个位必须是偶数，分3种情况讨论：第一种：5位数中无0，个位有种取法，其余有种取法，则共有个，第二种：5位数中有0且0在个位，共有个，第三种：5位数中有0且0不在个位，有个，则共有个.（3）根据题意，分4种情况讨论：第一种：首位以是3，4，5的5位数都符合要求，共计个，第二种：其次前2位是25的数有个，第三种：前3位是245的数有个，第四种：前3位是243的数的有4个数比24305大，则共有个.18．（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）已知在二项式的展开式中，含的项为.(1)求实数a的值；(2)求展开式中系数为有理数的项.【答案】(1)(2)，，1【分析】（1）求出二项式展开式的通项公式，再利用指定项列式计算作答.（2）利用（1）的结论及通项公式，分析的指数即可作答.【详解】（1）的展开式的通项公式为：，当时，展开式中含的项为，即，解得，所以实数a的值为1.（2）由（1）知，的展开式的通项公式为：，依题意，为整数，因此，3，5，当时，，当时，，当时，，所以展开式中系数为有理数的项为，，1.19．（2022春·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）若，.(1)求；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)1(2)0(3)【分析】(1)令 可计算出  的值;(2)令 结合 的结果可计算出 的值;(3)分别令, 然后根据展开式的通项公式判断取值的正负即可计算出 的值;（1）令 , 所以 ;（2）令 , 所以 , ，因为，所以 ,（3）令 , 所以 , 又 ,所以 ,又因为 的展开式通项为 , 所以当 为奇数时, 项的系数为负数,所以 .20．（2022秋·江西上饶·高二江西省余干中学阶段练习）学校组织甲、乙、丙、丁4名同学去A，B，C，3个工厂进行社会实践活动，每名同学只能去1个工厂.(1)问有多少种不同的分配方案？(2)若每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？(3)若同学甲、乙不能去工厂A，且每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？（结果全部用数字作答）【答案】(1)81(2)36(3)14【分析】（1）由分步乘法原理，可得答案；（2）由分组分配的计数方法，可得答案；（3）由分类加法原理结合分组分配，可得答案.【详解】（1）每名同学都有3种分配方法，则不同的分配方案有（种）.（2）先把4个同学分3组，有种方法；再把这3组同学分到A，B，C，3个工厂，有种方法，则不同的分配方案有（种）.（3）同学甲、乙不能去工厂A，分配方案分两类：①另外2名同学都去工厂A，甲、乙去工厂B，C，有（种）情况；②另外2名同学中有一名去工厂A，有（种）情况.所以不同的分配方案共有2＋12＝14（种）.21．（2022春·黑龙江佳木斯·高二校联考期末）电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？(2)女生互不相邻的坐法有多少种？(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)采用捆绑法即可求解；(2)采用插空法即可求解；(3)先排甲、乙、丙以外的其他4人，再把甲、乙排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中即可；（1）先将3个女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有(种)排法；（2）先将4个男生排好，有种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有种方法，故符合条件的排法共有(种)；（3）先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有(种)；22．（2022春·甘肃白银·高二甘肃省会宁县第一中学校考期中）2022年4月，新型冠状病毒疫情牵动着全国人民的心，某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理外科、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴上海参加救助工作，该医院现有3名护理专家，，，5名外科专家，，，，，2名心理治疗专家，.(1)求4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的选法有多少种?(2)求至少含有2位外科专家，且外科专家和护理专家不能同时被选的选法有多少种?【答案】(1)30(2)133【分析】（1）根据组合的定义及组合数公式，结合分步乘法计数原理即可求解；（2）根据组合的定义及组合数公式，再利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可求解.(1)设选出的4个人参加救助工作中有1位外科专家，1位心理治疗师为事件，则满足事件的情况共有种；(2)设选出的4人参加救助工作中至少含有2位外科专家，且外科专家和护理专家不能同时被选为事件，则满足事件的情况为：①当选择时，当有2位外科专家时，共有种情况；当有3位外科专家时，共有种情况；当有4位外科专家时，共有种情况；②当不选择时，当有2位外科专家时，共有种情况；当有3位外科专家时，共有种情况；当有4位外科专家时，共有种情况；综上：满足事件的情况共有种情况；