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【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：拓展四：近五年随机变量及其分布列高考真题分类汇编 讲义
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拓展四：近五年随机变量及其分布列高考真题分类汇编
考点一 条件概率
考点二 求离散型随机变量的期望和方差
考点三 二项分布
考点四 超几何分布
考点五 正态分布
考点一 条件概率
1．（2022•天津）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到的概率为 ；已知第一次抽到的是，则第二次抽取的概率为 ．
【解析】由题意，设第一次抽到的事件为，第二次抽到的事件为，
则，（B），
，
故答案为：；．
考点二 求离散型随机变量的期望和方差
2．（2019•浙江）设．随机变量的分布列是
0
1
则当在内增大时，
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【解析】，
，先减小后增大
故选：．
3．（2018•浙江）设，随机变量的分布列是
0
1
2
则当在内增大时，
A．减小 B．增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
【解析】设，随机变量的分布列是
；
方差是
，
时，单调递增；
，时，单调递减；
先增大后减小．
故选：．
4．（2020•浙江）盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2 个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为，则 ， ．
【解析】【解法1】由题意知随机变量的可能取值分别为0，1，2；
表示取到红球后（停止取球）还没有取到黄球，有以下两种情况：
①第一次就取到红球，
②第一次取到绿球、第二次取到红球，
所以；
当时，有以下三种情况：①第一次取到1个黄球为，第二次红球为，停止取球；
②第一次取到1个黄球为，第二次取到绿球为，第三次取到红球为，停止取球；
③第一次取到绿球为，第二次取到黄球为，第三次取到红球为，停止取球；
所以；
；
所以的分布列为：
0
1
2
数学期望为．
【解法2】由题意知，随机变量的可能取值为0，1，2；
计算；
；
；
所以．
故答案为：，1．
5．（2022•全国）甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得3局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为．
（1）求甲获胜的概率；
（2）设为结束比赛所需要的局数，求随机变量的分布列及数学期望．
【解析】（1）由已知可得，比赛三局且甲获胜的概率为，
比赛四局且甲获胜的概率为，
比赛五局且甲获胜的概率为，
所以甲获胜的概率为．
（2）随机变量的取值为3，4，5，
则，
，
，
所以随机变量的分布列为：
3
4
5
则随机变量的数学期望为．
6．（2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【解析】（1）由已知可得，的所有可能取值为0，20，100，
则，
，
所以的分布列为：
0
20
100
0.2
0.32
0.48
（2）由（1）可知小明先回答类问题累计得分的期望为，
若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，
则的所有可能取值为0，80，100，
，
，
，
则的期望为，
因为，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答类问题．
7．（2022•甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望．
【解析】（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：
第一场比赛
第二场比赛
第三场比赛
甲学校获胜概率
0.5
0.4
0.8
乙学校获胜概率
0.5
0.6
0.2
甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，
①甲学校3场全胜，概率为：，
②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：，
所以甲学校获得冠军的概率为：；
（2）乙学校的总得分的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：
，
，
，
，
则的分布列为：
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
的期望．
8．（2018•北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“”表示第类电影得到人们喜欢．“”表示第类电影没有得到人们喜欢，2，3，4，5，．写出方差，，，，，的大小关系．
【解析】（Ⅰ）设事件表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，
总的电影部数为部，
第四类电影中获得好评的电影有：部，
从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：
（A）．
（Ⅱ）解法一：设事件表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，
第四类获得好评的有：部，
第五类获得好评的有：部，
则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：
（B）．
解法二：由表格可知：
设事件 “从第四类电影中随机选1部获得好评”，
（A），
事件 “从第五类电影中随机选1部获得好评”，
（B），
从第四类和第五类中各选1部，恰有1部获得好评，
（B）（A）
．
（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：
，
则服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：
第一类电影：
1
0
0.4
0.6
，
．
第二类电影：
1
0
0.2
0.8
，
．
第三类电影：
1
0
0.15
0.85
，
．
第四类电影：
1
0
0.25
0.75
，
．
第五类电影：
1
0
0.2
0.8
，
．
第六类电影：
1
0
0.1
0.9
，
．
方差，，，，，的大小关系为：
．
9．（2022•北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；
（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【解析】（Ⅰ）甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率．
（Ⅱ）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，
的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
．
（Ⅲ）由题中数据可知，乙与丙获得优秀奖的概率较大，均为，且丙投出过三人成绩中的最大值，
在三人中有一定优势，
故如果发挥较好的话丙获得的概率估计值最大．
10．（2019•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：
，
，
大于2000
仅使用
18人
9人
3人
仅使用
10人
14人
1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
【解析】（Ⅰ）由题意得：
从全校所有学生中随机抽取的100人中，
，两种支付方式都不使用的有5人，
仅使用的有30人，仅使用的有25人，
，两种支付方式都使用的人数有：，
从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率．
（Ⅱ）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，
则的可能取值为0，1，2，
样本仅使用的学生有30人，其中支付金额在，的有18人，超过1000元的有12人，
样本仅使用的学生有25人，其中支付金额在，的有10人，超过1000元的有15人，
，
，
，
的分布列为：
0
1
2
数学期望．
（Ⅲ）记事件为“从样本仅使用的学生中随机抽查3人，
他们本月的支付金额都大于2000元”，
假设样本仅使用的学生中，本月支付金额额大于2000元的人数没有变化，
则由上个月的样本数据得（E），
答案示例1：可以认为有变化，理由如下：
（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，
一旦发生，就有理由认为本月的支付金额发生了变化，
可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：
事件是随机事件，（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，
无法确定有没有变化．
11．（2021•北京）在核酸检测中，“合1”混采核酸检测是指：先将个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束．
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确．
（Ⅰ）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测．
（ⅰ）如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数：
（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为．设是检测的总次数，求的分布列与数学期望．
（Ⅱ）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测．设是检测的总次数，试判断数学期望与（Ⅰ）中的大小．（结论不要求证明）
【解析】（Ⅰ）（ⅰ）若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；
又两名患者在同一组，需要再检查10次，
因此一共需要检查20次．
（ⅱ）由题意可得：，30．
，．
可得分布列：
20
30
．
（Ⅱ）由题意可得：，30．
，．
可得分布列：
25
30
．
．
另解：设“10合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为，“5合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为，则，
此时有；
而，
．
12．（2021•新高考Ⅱ）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，，1，2，．
（Ⅰ）已知，，，，求；
（Ⅱ）设表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，是关于的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【解答】（Ⅰ）解：由题意，，，，，
故；
（Ⅱ）证明：由题意可知，，则，
所以，变形为，
所以，
即，
即，
令，
若时，则的对称轴为，
注意到，（1），
若时，（1），
当时，（1），的正实根，原方程的最小正实根，
当时，（1），的正实根，原方程的最小正实根，
（Ⅲ）解：当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；
当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．
13．（2020•江苏）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为．
（1）求，和，；
（2）求与的递推关系式和的数学期望（用表示）．
【解析】（1）由题意可知：，，则；
．
（2）由题意可知：，
，
两式相加可得，
则：，
所以，，
因为，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即，
所以．
考点三 二项分布
14．（2018•新课标Ⅲ）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立．设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
【解析】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，看作是独立重复事件，满足，
，可得，可得．即．
因为，可得，解得或（舍去）．
故选：．
15．（2019•天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．
【解析】甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天之前到校的概率均为，
故，
从而，，1，2，3．
所以，随机变量的分布列为：
0
1
2
3
随机变量的期望．
设乙同学上学期间的三天中到校的天数为，则，
且，，，由题意知，与，互斥，且与，与相互独立，
由知，，，，，
16．（2018•新课标Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【解析】（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，
则，
，
令，得，
当时，，
当时，，
的最大值点．
（2）由（1）知，
令表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知，
，即，
．
如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，
，
应该对余下的产品进行检验．
17．（2022•浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ，．
【解析】根据题意可得：的取值可为1，2，3，4，
又，
，
，
，
，
故答案为：；．
18．（2021•浙江）袋中有4个红球，个黄球，个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则 ， ．
【解析】由题意，，
又一红一黄的概率为，
所以，
解得，，故；
由题意，的可能取值为0，1，2，
所以，
，
，
所以．
故答案为：1；．
19．（2018•天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望；
设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率．
【解析】（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：，
从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，
随机变量的取值为：0，1，2，3，，，1，2，3．
所以随机变量的分布列为：
0
1
2
3
随机变量的数学期望；
设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，
设事件为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件为抽取的3人中，
睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，
则：，且（B），（C），
故（A）．
所以事件发生的概率：．
考点五 正态分布
20．（2021•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是
A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等
【解析】因为某物理量的测量结果服从正态分布，
所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差越小，则分布越集中，
对于，越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在内的概率越大，故选项正确；
对于，测量结果大于10的概率为0.5，故选项正确；
对于，由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项正确；
对于，由于概率分布是集中在10附近的，分布在10附近的区域大于分布在10附近的区域，
故测量结果落在内的概率大于落在内的概率，故选项错误．
故选：．
21．（2022•新高考Ⅱ）已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
【解析】随机变量服从正态分布，
，
，
故答案为：0.14．
拓展四：近五年随机变量及其分布列高考真题分类汇编
考点一 条件概率
考点二 求离散型随机变量的期望和方差
考点三 二项分布
考点四 超几何分布
考点五 正态分布
考点一 条件概率
1．（2022•天津）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到的概率为 ；已知第一次抽到的是，则第二次抽取的概率为 ．
【解析】由题意，设第一次抽到的事件为，第二次抽到的事件为，
则，（B），
，
故答案为：；．
考点二 求离散型随机变量的期望和方差
2．（2019•浙江）设．随机变量的分布列是
0
1
则当在内增大时，
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【解析】，
，先减小后增大
故选：．
3．（2018•浙江）设，随机变量的分布列是
0
1
2
则当在内增大时，
A．减小 B．增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
【解析】设，随机变量的分布列是
；
方差是
，
时，单调递增；
，时，单调递减；
先增大后减小．
故选：．
4．（2020•浙江）盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2 个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为，则 ， ．
【解析】【解法1】由题意知随机变量的可能取值分别为0，1，2；
表示取到红球后（停止取球）还没有取到黄球，有以下两种情况：
①第一次就取到红球，
②第一次取到绿球、第二次取到红球，
所以；
当时，有以下三种情况：①第一次取到1个黄球为，第二次红球为，停止取球；
②第一次取到1个黄球为，第二次取到绿球为，第三次取到红球为，停止取球；
③第一次取到绿球为，第二次取到黄球为，第三次取到红球为，停止取球；
所以；
；
所以的分布列为：
0
1
2
数学期望为．
【解法2】由题意知，随机变量的可能取值为0，1，2；
计算；
；
；
所以．
故答案为：，1．
5．（2022•全国）甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得3局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为．
（1）求甲获胜的概率；
（2）设为结束比赛所需要的局数，求随机变量的分布列及数学期望．
【解析】（1）由已知可得，比赛三局且甲获胜的概率为，
比赛四局且甲获胜的概率为，
比赛五局且甲获胜的概率为，
所以甲获胜的概率为．
（2）随机变量的取值为3，4，5，
则，
，
，
所以随机变量的分布列为：
3
4
5
则随机变量的数学期望为．
6．（2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【解析】（1）由已知可得，的所有可能取值为0，20，100，
则，
，
所以的分布列为：
0
20
100
0.2
0.32
0.48
（2）由（1）可知小明先回答类问题累计得分的期望为，
若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，
则的所有可能取值为0，80，100，
，
，
，
则的期望为，
因为，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答类问题．
7．（2022•甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望．
【解析】（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：
第一场比赛
第二场比赛
第三场比赛
甲学校获胜概率
0.5
0.4
0.8
乙学校获胜概率
0.5
0.6
0.2
甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，
①甲学校3场全胜，概率为：，
②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：，
所以甲学校获得冠军的概率为：；
（2）乙学校的总得分的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：
，
，
，
，
则的分布列为：
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
的期望．
8．（2018•北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“”表示第类电影得到人们喜欢．“”表示第类电影没有得到人们喜欢，2，3，4，5，．写出方差，，，，，的大小关系．
【解析】（Ⅰ）设事件表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，
总的电影部数为部，
第四类电影中获得好评的电影有：部，
从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：
（A）．
（Ⅱ）解法一：设事件表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，
第四类获得好评的有：部，
第五类获得好评的有：部，
则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：
（B）．
解法二：由表格可知：
设事件 “从第四类电影中随机选1部获得好评”，
（A），
事件 “从第五类电影中随机选1部获得好评”，
（B），
从第四类和第五类中各选1部，恰有1部获得好评，
（B）（A）
．
（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：
，
则服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：
第一类电影：
1
0
0.4
0.6
，
．
第二类电影：
1
0
0.2
0.8
，
．
第三类电影：
1
0
0.15
0.85
，
．
第四类电影：
1
0
0.25
0.75
，
．
第五类电影：
1
0
0.2
0.8
，
．
第六类电影：
1
0
0.1
0.9
，
．
方差，，，，，的大小关系为：
．
9．（2022•北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；
（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【解析】（Ⅰ）甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率．
（Ⅱ）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，
的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
．
（Ⅲ）由题中数据可知，乙与丙获得优秀奖的概率较大，均为，且丙投出过三人成绩中的最大值，
在三人中有一定优势，
故如果发挥较好的话丙获得的概率估计值最大．
10．（2019•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：
，
，
大于2000
仅使用
18人
9人
3人
仅使用
10人
14人
1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
【解析】（Ⅰ）由题意得：
从全校所有学生中随机抽取的100人中，
，两种支付方式都不使用的有5人，
仅使用的有30人，仅使用的有25人，
，两种支付方式都使用的人数有：，
从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月，两种支付方式都使用的概率．
（Ⅱ）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取1人，以表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，
则的可能取值为0，1，2，
样本仅使用的学生有30人，其中支付金额在，的有18人，超过1000元的有12人，
样本仅使用的学生有25人，其中支付金额在，的有10人，超过1000元的有15人，
，
，
，
的分布列为：
0
1
2
数学期望．
（Ⅲ）记事件为“从样本仅使用的学生中随机抽查3人，
他们本月的支付金额都大于2000元”，
假设样本仅使用的学生中，本月支付金额额大于2000元的人数没有变化，
则由上个月的样本数据得（E），
答案示例1：可以认为有变化，理由如下：
（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，
一旦发生，就有理由认为本月的支付金额发生了变化，
可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：
事件是随机事件，（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，
无法确定有没有变化．
11．（2021•北京）在核酸检测中，“合1”混采核酸检测是指：先将个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束．
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确．
（Ⅰ）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测．
（ⅰ）如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数：
（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为．设是检测的总次数，求的分布列与数学期望．
（Ⅱ）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测．设是检测的总次数，试判断数学期望与（Ⅰ）中的大小．（结论不要求证明）
【解析】（Ⅰ）（ⅰ）若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；
又两名患者在同一组，需要再检查10次，
因此一共需要检查20次．
（ⅱ）由题意可得：，30．
，．
可得分布列：
20
30
．
（Ⅱ）由题意可得：，30．
，．
可得分布列：
25
30
．
．
另解：设“10合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为，“5合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为，则，
此时有；
而，
．
12．（2021•新高考Ⅱ）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，，1，2，．
（Ⅰ）已知，，，，求；
（Ⅱ）设表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，是关于的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【解答】（Ⅰ）解：由题意，，，，，
故；
（Ⅱ）证明：由题意可知，，则，
所以，变形为，
所以，
即，
即，
令，
若时，则的对称轴为，
注意到，（1），
若时，（1），
当时，（1），的正实根，原方程的最小正实根，
当时，（1），的正实根，原方程的最小正实根，
（Ⅲ）解：当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；
当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．
13．（2020•江苏）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为．
（1）求，和，；
（2）求与的递推关系式和的数学期望（用表示）．
【解析】（1）由题意可知：，，则；
．
（2）由题意可知：，
，
两式相加可得，
则：，
所以，，
因为，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即，
所以．
考点三 二项分布
14．（2018•新课标Ⅲ）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立．设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
【解析】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，看作是独立重复事件，满足，
，可得，可得．即．
因为，可得，解得或（舍去）．
故选：．
15．（2019•天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．
【解析】甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天之前到校的概率均为，
故，
从而，，1，2，3．
所以，随机变量的分布列为：
0
1
2
3
随机变量的期望．
设乙同学上学期间的三天中到校的天数为，则，
且，，，由题意知，与，互斥，且与，与相互独立，
由知，，，，，
16．（2018•新课标Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【解析】（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，
则，
，
令，得，
当时，，
当时，，
的最大值点．
（2）由（1）知，
令表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知，
，即，
．
如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，
，
应该对余下的产品进行检验．
17．（2022•浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ，．
【解析】根据题意可得：的取值可为1，2，3，4，
又，
，
，
，
，
故答案为：；．
18．（2021•浙江）袋中有4个红球，个黄球，个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则 ， ．
【解析】由题意，，
又一红一黄的概率为，
所以，
解得，，故；
由题意，的可能取值为0，1，2，
所以，
，
，
所以．
故答案为：1；．
19．（2018•天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望；
设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率．
【解析】（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：，
从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，
随机变量的取值为：0，1，2，3，，，1，2，3．
所以随机变量的分布列为：
0
1
2
3
随机变量的数学期望；
设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，
设事件为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件为抽取的3人中，
睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，
则：，且（B），（C），
故（A）．
所以事件发生的概率：．
考点五 正态分布
20．（2021•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是
A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等
【解析】因为某物理量的测量结果服从正态分布，
所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差越小，则分布越集中，
对于，越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在内的概率越大，故选项正确；
对于，测量结果大于10的概率为0.5，故选项正确；
对于，由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项正确；
对于，由于概率分布是集中在10附近的，分布在10附近的区域大于分布在10附近的区域，
故测量结果落在内的概率大于落在内的概率，故选项错误．
故选：．
21．（2022•新高考Ⅱ）已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
【解析】随机变量服从正态分布，
，
，
故答案为：0.14．
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