【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：拓展二：离散型随机变量的分布列与数字特征11种常见考法归类 讲义

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拓展二：离散型随机变量的分布列与数字特征11种常见考法归类

考点一 求离散型随机变量的分布列
考点二 离散型随机变量分布列的性质及其应用
考点三 求离散型随机变量的均值
考点四 由离散型随机变量的均值求参数
考点五 求离散型随机变量的方差
考点六 由离散型随机变量的方差求参数
考点七 两个相关离散型随机变量
（一）两个相关离散型随机变量的分布列
（二）两个相关离散型随机变量的均值
（三）两个相关离散型随机变量的方差
考点八 离散型随机变量均值与方差在实际问题中的应用
考点九 离散型随机变量均值与方差在决策中的应用
考点十 离散型随机变量的综合应用

1、求离散型随机变量的分布列关键有三点
(1)随机变量的取值．
(2)每一个取值所对应的概率．
(3)用所有概率之和是否为1来检验．
2、写离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找：理解并确定的意义，找出随机变量X的所有可能的取值 ()
(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率()注意应用计数原理、古典概型等知识
(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.
注意：写出分布列时要注意将化为最简分式形式，但是在利用检验分布列是否正确时可利用化简前的分式结果.
3、分布列的性质及其应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
4、求随机变量X的均值的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．
(3)写出X的分布列．
(4)利用均值的定义求E(X)．
5、求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值方法
(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值．
(2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可．
6、求离散型随机变量方差的步骤
①理解随机变量X的意义，写出X的所有取值；
②求出X取每个值的概率；
③写出X的分布列；
④计算E(X)；
⑤计算D(X)．
7、离散型随机变量方差的性质
(1)设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
(2)D(c)＝0(其中c为常数)．
注：若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数；
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；
(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；
(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；
(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；



考点一 求离散型随机变量的分布列
1．（2023·全国·高二专题练习）一种新型节能灯使用寿命低于1000 h的概率为0.1，定义随机变量，试写出随机变量X的概率分布列．
【答案】分布列见解析
【分析】根据已知条件求得的概率分布列.
【详解】依题意可知，的概率分布列为：






2．（2023·全国·高二专题练习）某商店购进一批西瓜，预计晴天西瓜畅销，可获利1000元；阴天销路一般，可获利500元；下雨天西瓜滞销，会亏损500元，根据天气预报，未来数日晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.2，下雨的概率为0.4，试写出销售这批西瓜获利的分布列．
【答案】答案见解析．
【分析】根据已知数据列表格．
【详解】用表示获利，则的取值分别是1000，500，－500，分布列如下表：

1000
500
－500

0.4
0.2
0.4
3．（2023·全国·高二专题练习）甲､乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球此赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.每局比赛结果相互独立.
（1）求甲校以3：1获胜的概率；
（2）记比赛结束时女生比赛的局数为，求的概率分布.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析.
【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式计算出所求概率.
（2）根据相互独立事件概率乘法公式计算出所求分布列.
【详解】（1）甲校以3：1获胜，则甲校在第四局获胜，前三局胜两局，
.
（2）的所有可能取值为1，2，3，
，
，
，
故的概率分布为：

1
2
3




4．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）某校为校级元旦晚会选拔主持人，现有来自高一年级的参赛选手5名，其中男生2名：高二年级的参赛选手5名，其中男生3名.从这10名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.
(1)设事件A为“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件A发生的概率；
(2)设为选出的4人中男生的人数，求随机变量的分布列.
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求得答案；
（2）确定X的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列.
【详解】（1）由题意可知，从这10名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛共有种选法，
事件A的选法共有种，
故.
（2）由题意知X的取值可能为，
由于，
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P





5．（安徽省2023届高三A10联盟二模数学试卷）近年来，一种全新的营销模式开始兴起——短视频营销．短视频营销以短视频平台为载体，通过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、需求的心理旅程．企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的营销空间．某企业准备在三八妇女节当天通过“抖音”和“快手”两个短视频平台进行直播带货．
(1)已知小李3月7日选择平台“抖音”、“快手”购物的概率分别为0.6，0.4，且小李如果第一天选“抖音”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.6；如果第一天选择“快手”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.7．求3月8日小李选择“抖音”平台购物的概率；
(2)三八妇女节这天，“抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率分别为，，0.5，三人是否抢购成功互不影响．若X为三人下单成功的总人数，且，求p的值及X的分布列．
【答案】(1)0.64
(2)0.4；分布列见解析
【分析】（1）利用全概率公式即可求解；
（2）先求出X的可能取值，然后求出每一值对应的概率，根据均值求出概率，再列出分布列即可求解.
【详解】（1）设“第一天选择‘抖音’平台”， “第一天选择‘快手’平台”， “第二天选择‘抖音’平台”，
则，
则．
（2）由题意得，X的取值为0，1，2，3，
且，
，
，
，
所以，解得．                
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.06
0.34
0.44
0.16

考点二 离散型随机变量分布列的性质及其应用

6．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考期中）随机变量的分布列如下表所示：

1
2
3
4

0.1

0.3

则_____
【答案】0.3/
【分析】根据给定的数表，利用分布列的性质求出m，再利用互斥事件的概率公式计算作答.
【详解】由分布列的性质得，，解得，
所以.
故答案为：0.3
7．（2023春·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考阶段练习）已知随机变量的分布列满足：，其中为常数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分布列的性质计算可得的值，再算即可
【详解】由分布列性质可知：，即
故
故选：B
8．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）已知随机变量的分布列，，，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据离散型随机变量及其分布列的性质，计算即可.
【详解】解：，，，，，
，
故选：A.
9．（2023春·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考阶段练习）随机变量X的概率分布为，其中a是常数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由分布列的性质求出，再由均值的公式即可求出答案.
【详解】，∵，
∴，解得，
则，
∴．
故选：B
10．（2023·上海杨浦·统考二模）已知一个随机变量的分布为：.
(1)已知，求、的值；
(2)记事件：为偶数；事件：.已知，求，，并判断、是否相互独立？
【答案】(1)，；
(2)，，事件与不相互独立.
【分析】（1）根据分布的性质及数学期望列方程直接求解即可；
（2）由及分布列的性质求出、，进一步求出，，利用两个事件相互独立的定义判断即可.
【详解】（1）由随机变量的分布的性质有，得，
又
，
解得，所以，即，；
（2）由题意，，又事件：为偶数，
所以，所以，
由随机变量的分布的性质有，得，
又事件为，
所以，
所以，
因为，所以与不相互独立.
11．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）已知等差数列的公差为，随机变量满足，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】根据随机变量分布列的性质可得，即可得出与公差的关系，再根据，即可求得的取值范围.
【详解】由题意可知，可得，
由可得，解得，
综合可得，的取值范围为.
故答案为：
12．（2023·上海·统考模拟预测）随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则__________.

1
2
3
4
5

0.1

0.2
0.3
0.1

【答案】0
【分析】根据离散型随机变量的分布列的数学期望公式求解即可.
【详解】根据概率的性质可得解得，
所以，
所以.
故答案为:0.
考点三 求离散型随机变量的均值
13．（2023·河南新乡·统考二模）已知随机变量X的分布列为
X
0
2
4
P

m

则（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据分布列的性质及期望公式即得.
【详解】由题可知，，解得，
则．
故选：D.
14．（2023春·辽宁锦州·高二校考阶段练习）随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列，且，

1
2
3




则（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据分布列的性质及，，成等差数列,列方程组求出,再求数学期望即可.
【详解】由，得，则．
故选:A.
15．（浙江省宁波三锋教研联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设为恰好取到自己祝福信的人数，则__________．
【答案】1
【分析】先求的概率分布列，再根据公式求期望.
【详解】有题意可知，的可能取值为0，1，2，3，5
对应概率依次为：，
，
，
，
，
则.
故答案为：1.
16．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）红旗中学某班级元旦节举行娱乐小游戏.游戏规则：将班级同学分为若干游戏小组，每一游戏小组都由3人组成，规定一局游戏，“每个人按编排好的顺序各掷一枚质量均匀的骰子一次，若骰子向上的面是1或6时，则得分（为3人的顺序编号，，2，3，若得分为负值时即为扣分），否则，得分，各人掷骰子的结果相互独立”.记游戏小组一局游戏所得分数之和为.
(1)求的分布列和数学期望；
(2)若游戏小组进行两局游戏，各局相互独立，求至少一局得分的概率.
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)
【分析】（1）分析骰子向上的面是1或6的各种情况，列出的可能取值及其对应概率即可作出分布列，再按照数学期望的方法计算即可.
（2）由（1）知游戏小组一局游戏得分的概率，继而可得符合情况的概率.
【详解】（1）由条件可知：
当一组中三人都掷出1或6面向上时的取值为
当一组中两人掷出1或6面向上时的取值为
当一组中一人掷出1或6面向上时的取值为
当一组中都没有掷出1或6面向上时的取值为
掷一次骰子，向上的面是1或6的概率为，向上的面不是1或6的概率为.
∴，，
，
.
∴的分布列为


0
30
60





的数学期望为.
（2）由（1）可知，游戏小组一局游戏
.
记“游戏小组两局游戏，至少一局游戏得分”为事件.则
.
故答案为：
17．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）为调查，两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物和只服用药物的患者的康复时间，经整理得到如下数据：
康复时间
只服用药物
只服用药物
7天内康复
360人
160人
8至14天康复
228人
200人
14天内未康复
12人
40人
假设用频率估计概率，且只服用药物和只服用药物的患者是否康复相互独立．
(1)若一名患者只服用药物治疗，估计此人能在14天内康复的概率；
(2)从样本中只服用药物和只服用药物的患者中各随机抽取1人，以表示这2人中能在7天内康复的人数，求的分布列和数学期望：
【答案】(1)
(2)分布列见解析，1
【分析】（1）利用古典概型的计算公式即可求解；
（2）利用古典概型的概率的计算公式，写出随机变量的可能取值，求出对应的概率，进而得出随机变量的分布列，结合期望公式即可求解.
【详解】（1）只服用药物A的人数为数为360+228+12=600人，且能在14天内康复的人数360+228=588人，故一名患者只服用药物A治疗，
估计此人能在14天内康复的概率为：；
（2）只服用药物A的患者7天内康复的概率为．
只服用药物B的患者7天内康复的概率为，
其中的可的取值为0，1，2，
，
，
，
所以的分布列为：

0
1
2




所以.
18．（浙江省衢温5 1联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）在2023年3月10日，十四届全国人大一次会议在北京召开.中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平在十四届全国人大一次会议闭幕会上发表重要讲话.出席全国两会的代表委员和全国各地干部群众纷纷表示，这一重要讲话坚定历史自信、饱含人民情怀、彰显使命担当、指引前进方向，必将激励我们在新征程上团结奋斗，开拓创新，坚定信心，勇毅前行，作出无负时代、无负历史、无负人民的业绩，为推进强国建设、民族复兴作出应有贡献.某社区为调查社区居民对这次会议的关注度，随机抽取了60名年龄在的社区居民，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求选取的社区居民平均年龄及选取的社区居民年龄的中位数；
(2)现若样本中和年龄段的所有居民都观看了会议讲话，社区计划从样本里这两个年龄段的居民中抽取3人分享此次观看会议的感受，设表示年龄段在的人数，求的分布列及期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为1
【分析】（1）根据频率分布直方图，结合平均数和中位数的公式，计算求值；
（2）利用超几何分布求概率，再根据分布列求期望.
【详解】（1）选取的社区居民平均年龄，
因为，，
所以中位数落于区间之间，中位数为；
（2）因为社区居民年龄在）内的人数为人，在内的人数为6人，所以的可能取值为0,1,2,3,
则，，
，，
故的分布列为

0
1
2
3





期望为.
19．（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）现在世界正处于百年未见之大变局，我国面临着新的考验，为增强学生的爱国意识和凝聚力，某学校高二年级组织举办了“中国国情和当今世界局势”的知识对抗竞赛，主要是加深对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得的成就和最新世界经济、政治时事的了解．组织者按班级将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等．比赛得分规则为：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方选手得5分；2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立．2道试题抢答后的各自得分作为两位选手的个人总得分．
(1)求乙总得分为10分的概率；
(2)记X为甲的总得分，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由互斥事件、独立事件的概率公式计算可得；
（2）分X可能取值为0，5，10，15，20，结合互斥事件、独立事件的概率公式求得概率得分布列，然后由期望公式计算出期望．
【详解】（1）由题意，乙得10分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误或没有回答}、{甲，乙各抢到一题都回答正确}、｛甲抢到两题都回答错误或没有回答｝
所以乙总得分为10分的概率．
（2）由题意得，甲的总得分X可能取值为0，5，10，15，20

；
；；
．
分布列如下：
X
0
5
10
15
20
P





所以．
20．（2023春·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：
TPI



不低于4
拥堵等级
畅通
缓行
拥堵
严重拥堵
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如图：

(1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；
(2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）由古典概率公式求解即可；
（2）求出X的可能取值即其对应的概率，即可求出X的分布列，再由数学期望公式求出.
【详解】（1）由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，
所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为．
（2）由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的天数只有1月3日和1月4日这2天，
所以，，，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P



数学期望．
考点四 由离散型随机变量的均值求参数
21．（2023·全国·高二专题练习）已知随机变量的分布列如表，若，则（    ）

3





A． B．4 C．6 D．12
【答案】C
【分析】结合分布列的性质，以及期望公式，即可求解.
【详解】由分布列的性质可得：，解得，
∵，解得.
故选：C.
22．（2023·高二课时练习）已知随机变量的分布为

0
1
2
3

0.1
a
b
0.1
若，则______．
【答案】0
【分析】由，可得，再由，可得，由此可解得，即可求得的值.
【详解】解：因为，
所以①，
又因为，
所以②，
由①②可得，
所以.
故答案为：0
23．（2023·上海奉贤·统考二模）已知随机变量的分布为，且，若，则实数_______．
【答案】
【分析】由期望性质可得答案.
【详解】因，则.
又，则.
故选：.
24．（2023·高二单元测试）某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全部进行单管检验．记10合一混管检验次数为，当时，10名人员均为阴性的概率为（    ）
A．0.01 B．0.02 C．0.1 D．0.2
【答案】C
【分析】依据题意写出随机变量的的分布列，利用期望的公式即可求解.
【详解】设10人全部为阴性的概率为，混有阳性的概率为，
若全部为阴性，需要检测1次，若混有阳性，需要检测11次，
则随机变量的分布列






，解得，
故选：C.
25．（2023春·高二课时练习）某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先得到X的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到X的数学期望，得到不等式后求解即可.
【详解】X的所有可能取值为1,2,3，
，，，
由，
解得或，
又因为，所以.
故选：A.
考点五 求离散型随机变量的方差
26．【多选】（2023秋·辽宁·高二校联考期末）已知离散型随机变量X的分布列如下，则（    ）
X
1
2
3
4
P





A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据分布列中概率的性质、数学期望、方差等知识确定正确答案.
【详解】由题意可知，，解得或．
当时，，故，A不正确，B正确.
，C正确．
，
则．D正确．
故选：BCD
27．（2021·北京·高三校考强基计划）已知随机变量X的分布列如下表所示，
X
0
1
2
P
a
b
c
若成等比数列，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据分布列的性质和方差的公式结合基本不等式可求方差的最大值.
【详解】根据题意，有故，
而，
而，
等号当时取得，即的最大值为．
故选：C.
28．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知某离散型随机变量X的分布列如下：
x

0
1
2
P
a
b
c

若，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用离散型随机变量的分布列、期望与方差计算即可.
【详解】由题意，得，所以①．
因为，所以②．
由，得，代入①②解得：，．
所以．
故选:C.
29．（2023·全国·高二专题练习）随机变量的分布为，若，则___________.
【答案】
【分析】根据数学期望的性质可求得，并结合概率和为构造方程组求得，利用方差计算公式可求得结果.
【详解】，，
即，又，，，
.
故答案为：.
30．（2022春·山西忻州·高二统考期末）随机变量X的分布列如下所示．
X
1
2
3
P
a
2b
a
则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分布列得出，即可代入计算出，即可根据方差的运算率得出，令，求导得出，即可得出答案.
【详解】由题可知，即，
，
，
则，
令，
则，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，
则的最大值为.
故选：D.
31．（2023·全国·高二专题练习）设，随机变量的分布如下：，当在上增大时，以下说法中正确的是（    ）．
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【分析】根据随机变量的分布列求得数学期望，从而可求得，结合二次函数的单调性即可判断的增减性.
【详解】解：随机变量的分布如下：，则，
所以，
当在上增大时，先减小后增大.
故选：D.
32．【多选】（2022春·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）随机变量的分布列为：

0
1
2
P
a


其中，下列说法正确的是（    ）
A． B．C．随b的增大而减小 D．有最大值
【答案】ABD
【分析】利用分布列的性质及期望与方差的公式，列出表达式，逐项判定，即可得出答案．
【详解】根据分布列的性质得，即，故A正确；
根据期望公式得，故B正确；
根据方差公式得，
因为，
当时，随b的增大而增大；当时，随b的增大而减小，故C错误；
当时，取得最大值，故D正确，
故选：ABD．
33．（2023春·高二课时练习）为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从本市某学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．
(1)求选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；
(2)设表示选出的3人中语文教师的人数，求的均值和方差．
【答案】(1)
(2)，．
【分析】（1）设事件表示“选出的语文教师人数多于数学教师人数”，表示“恰好选出1名语文教师和2名英语老师”， 表示“恰好选出2名语文教师”， 则，彼此互斥，且，由此能求出选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率．
（2）由于从6名教师中任选3人的结果为，从6名教师中任取3人，其中恰有名语文教师的结果为，由此能求出选出的3人中，语文教师人数的分布列和数学期望与方差．
【详解】（1）解：某学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，基本事件总数，
这6名教师中，语文教师2人，数学教师2人，英语教师2人，
设事件表示“选出的语文教师人数多于数学教师人数”，
表示“恰好选出1名语文教师和2名英语教师”， 表示“恰好选出2名语文教师”，
则，彼此互斥，且，
，
选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率．
（2）解：由于从6名教师中任选3人的结果为，
从6名教师中任取3人，其中恰有名语文教师的结果为，，1，2，
那么从6名教师中任选3人，恰有名语文教师的概率
所以，
于是，．
34．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第四十一中学校考期中）某花店每天以每枝5元的价格从农场进购若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
(1)若花店一天购进18枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，）的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n
16
17
18
19
20
21
22
频数
10
20
16
16
15
13
10
①若花店一天购进18枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进18枝或19枝玫瑰花，你认为应购进18枝还是19枝？请说明理由．
【答案】(1)
(2)①数学期望86；方差；②花店一天应购进19枝玫瑰花
【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝赔本5元，即可建立分段函数；
（2）①分别求出，，时，的取值，对应表中频率得出对应的概率，得出分布列代入期望与方差公式即可求解；②同理求出一天购进19枝玫瑰花的利润的期望，两者比较即可.
【详解】（1）当天需求量时，利润，
当天需求量时，利润，
所以当天的利润y关于当天需求量n（单位：枝，）的函数解析式为：
.
（2）①时，，；
时，，；
时，，；
所以X的分布列为：

70
80
90

0.1
0.2
0.7
所以期望，
所以方差；
②由①知当一天购进18枝玫瑰花时，当天的利润的数学期望为，
设当一天购进19枝玫瑰花时，表示当天的利润，
时，，；
时，，；
时，，；
时，，；
所以.
所以，
所以花店一天应购进19枝玫瑰花.
【点睛】关键点点睛：离散型随机变量的分布列，数学期望与方差的求法，古典概型等基础知识点，需要考生有较强的分析转化与运算的求解能力.
35．（2023春·高二课时练习）本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统计，得到如下的频率分布直方图．

(1)若数据分布均匀，记随机变量X为各区间中点所代表的身高，写出X的分布列及期望；
(2)已知本市身高在区间的市民人数约占全市总人数的10%，且全市高中生约占全市总人数的1.2%．现在要以该区本次统计数据估算全市高中生身高情况，从本市市民中任取1人，若此人的身高位于区间，试估计此人是高中生的概率；
(3)现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本．若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这80人的方差．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为171.7；
(2)0.0312；
(3)27.25
【分析】（1）依据分布列和期望的定义即可求得X的分布列及期望；
（2）利用条件概率去求此人是高中生的概率；
（3）依据方差的定义去求这80人的方差．
【详解】（1）由，解得．
所以的分布列为
X
155
165
175
185
195
205
P
0.22
0.27
0.25
0.15
0.1
0.01

（2）设事件A为任取一名本市市民的身高位于区间，
事件为任取一名本市市民为高中生，则，
．
所以．
于是，此人是高中生的概率为0.0312．
（3）由于身高在区间，的人数之比为5：3，
所以分层抽样抽取80人，区间，内抽取的
人数分别为50人与30人．
在区间中抽取的50个样本记为，，…，其均值为176，
方差为10，即，．
在区间中抽取的30个样本记为，，…，．其均值为184，
方差为16，即，；
所以这80人身高的均值为．
从而这80人身高的方差为






因此，这80人身高的方差为27.25．
考点六 方差的期望表示
36．（2021·高二课时练习）随机变量X的概率分布为．
试求，．
【答案】，．
【分析】由期望方差的计算公式与性质求解即可
【详解】因为随机变量X的概率分布为，
由公式有；
又，
故．
所以，．
37．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X，Y的分布列如下：
X
1
0

Y
2

P
0.5
0.5
P
0.5
0.5
则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算出，然后可得答案.
【详解】，，，，，.
故选：D.
38．（2022秋·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）设，随机变量X的分布列是：
X
-1
1
2
P



则当最大时的a的值是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得，，得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】根据随机变量的分布列和数学期望与方差的计算公式，
可得，
又由
可得，
因为，所以当最大时的的值为.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差的计算及应用，其中解答中熟记离散型随机变量的分布列的期望与方差的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于中档试题.
39．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）设X，Y为随机变量，且，则（    ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】B
【分析】根据方差的公式求得，再根据方差的性质求解即可
【详解】由题意，，故
故选：B
考点七 由离散型随机变量的方差求参数
40．（2022·高二单元测试）若离散型随机变量X的分布列如下，若，则=（    ）
X
-1
0
1
2
P
a
b
c


A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分布列所有概率之和为1，且可得的值，再根据和事件概率的加法公式即可得出结果.
【详解】由题意知，；
由 ，即，
得；
由，即
整理得
联立①②③解得；
又因为
所以.
故选：D.
41．（2022秋·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）若随机变量的分布列为：

0
1

0.2

已知随机变量，且，，则与的值分别为(    )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根据分布列概率的性质可计算出m，根据平均数和方差的计算即可计算a、b.
【详解】由随机变量的分布列可知，．
∴，．
∴，，
∴，，又，解得，﹒
故选：C．
42．（2022春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）已知随机变量的分布列如下表，若，，则（    ）

0

2





A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据期望和方差运算公式得到方程组，求出的值.
【详解】由题意得，，
∴，①
由方差的性质知，，又，
∴，∴，
即，所以．将代入①式，得．
故选：B．
考点八 两个相关离散型随机变量
（一）两个相关离散型随机变量的分布列
43．（2023春·高二课时练习）设随机变量的概率分布列为：
X
1
2
3
4
P

m


则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对立事件的概率公式求解即可.
【详解】依题意，，即事件的对立事件是的事件，
所以.
故选：C
44．（2023·全国·高二专题练习）设离散型随机变量的分布列为

0
1
2
3
4

0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
（1）求的分布列；
（2）求的分布列．
【答案】（1）答案见解析 ；（2） 答案见解析．
【分析】（1）由题设的取值写出的可能取值，根据的分布列写出的分布列；
（2）由题设的取值写出的可能取值，根据的分布列写出的分布列；
【详解】【解】（1）由题意，知的可能取值为2，5，8，11，14，
∴的分布列为

2
5
8
11
14

0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
（2）由题意，知的可能取值为0，1，2，3，
∴的分布列为

0
1
2
3

0.1
0.3
0.3
0.3

（二）两个相关离散型随机变量的均值
45．（2022春·北京·高二人大附中校考阶段练习）已知随机变量的分布列是，则（    ）

1
2
3





A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分布列的性质求出，即可求出，再根据期望的性质计算可得；
【详解】解：依题意可得，解得，
所以，
所以；
故选：C
46．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）已知随机变量的分布列如下表，则（    ）

0
2
4

0.3

0.5

A．16 B．11 C．2.2 D．2.3
【答案】A
【分析】根据所有概率之和为1求得，再根据均值的计算公式可求得，进而根据
可求解.
【详解】因为，所以.
所以，
故.
故选：A
47．（2022春·上海虹口·高二校考期末）已知随机变量X、Y满足，X的分布为，则等于（    ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分布的概率和为0求得，结合数学期望的公式可得，再根据与的关系求解即可
【详解】由题意，，解得.故，故
故选：A
48．（2023春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期中）已知，则______.
【答案】
【分析】直接根据均值公式结合已知条件，解方程即可得出所求的答案.
【详解】由，可得.
故答案为：
（三）两个相关离散型随机变量的方差
49．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
0.2
0.3

0.1
则______．
【答案】
【分析】利用分布列的性质求出，然后求解期望与方差即可．
【详解】解：由题意可得，解得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
50．（2023·江苏·高二专题练习）随机变量X的分布列如表所示，若，则_________.
X
－1
0
1
P

a
b

【答案】5
【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得．
【详解】依题意可得，解得，
所以，
所以.
故答案为：5.
51．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知随机变量的分布为，随机变量的分布为，则__________．
【答案】
【分析】分别求得和，结合，即可求解.
【详解】由题意，可得，所以，
则，
，
所以.
故答案为：.
52．（2023春·河南焦作·高二统考期中）已知随机变量X的数学期望，方差，若随机变量Y满足，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据期望和方差的两个公式，计算即可.
【详解】因为随机变量X的数学期望，方差，
所以.
故选：B
53．【多选】（2023春·高二课时练习）设离散型随机变量的分布列为：

0
1
2
3
4


0.4
0.1
0.2
0.2
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据分布列的性质求得参数，结合分布列求得，再结合期望和方差的性质，即可判断和选择.
【详解】对A：由，解得，故A正确；
对B：，
，故B正确；
对C：，故C正确；
对D：，故D错误.
故选：ABC.
54．（2023·全国·高二专题练习）已知随机变量X的分布列如表所示，且．
X
0
1
x
P


p
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)5
【分析】（1）利用离散型随机变量的分布列的性质以及期望和方差的计算公式即可求解；
（2）利用方差的性质求解即可；
（3）利用方差的性质求解即可.
【详解】（1）由题意可知，解得，
又∵，解得．
∴．
（2）∵，
∴．
（3）∵，
∴．
55．【多选】（2023·浙江台州·统考二模）已知,随机变量的分布列为:








则(    )
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据期望方差的相关公式，以及判断,再举特例判断D即可.
【详解】因为,所以错，
因为,所以对，
因为
，
所以,所以,所以对，
举特例来说明错,取，
则，
，
，

,所以错.
故选:BC
考点九 离散型随机变量均值与方差在实际问题中的应用
56．（2023春·山东烟台·高二山东省招远第一中学校考期中）甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.7，乙赢机器人的概率为0.6.求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分ξ的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分的期望和方差.
【答案】(1)分布列见解析
(2)，.
【分析】（1）根据已知条件可得的可能取值为，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可求得分布列.
（2）根据已知条件可得的可能取值为，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率，即可求得分布列及数学期望和方差.
【详解】（1）由题意可知，的可能取值为，
，
，
，
所以分的分布列为：

-1
0
1

0.18
0.54
0.28
（2）由题意可知，的可能取值为，
，
，
，
，
，
所以的分布列为

-2
-1
0
1
2

0.0324
0.1944
0.3924
0.3024
0.0784
所以，
.
57．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；
(2)设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；
(3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，数学期望为，方差为；
(3)甲公司竞标成功的可能性更大.
【分析】（1）将甲乙共答对2道题的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用相互独立事件的概率，结合古典概率求解作答.
（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列，求出期望和方差作答.
（3）求出乙公司答对题数的期望和方差，与甲公司的比对作答.
【详解】（1）记“甲、乙两家公司共答对2道题” 的事件为，它是甲乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥，
则有，
所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是.
（2）设甲公司答对题数为，则的取值分别为，
，
则的分布列为：

1
2
3




期望，方差.
（3）设乙公司答对题数为，则的取值分别为，
，
，
则的分布列为：

0
1
2
3





期望，
方差，
显然，
所以甲公司竞标成功的可能性更大.
58．（2023·全国·高三专题练习）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.将上述调查所得到的频率视为概率.

(1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布及期望.
(2)用分层抽样的方法从这100名观众中抽取8名作为样本A，则样本A中“体育迷”和非“体育迷”分别有几人?从样本A的这8名观众中随机抽取3名，记Y表示抽取的是“体育迷”的人数，求Y的分布及方差.
【答案】(1)分布列见解析；数学期望
(2)“体育迷”有2人，非“体育迷”体育迷有6人；分布列见解析；方差
【分析】由频率分布直方图可知从该地区大量电视观众中，随机抽取1名观众，该观众是“体育迷”的概率为.
（1）由题可得所有可能的取值为0，1，2，3，从而可得分布列及对应期望；
（2）由题可得8人中，体育迷有2人，则所有可能的取值为0，1，2，后可得分布列及对应方差.
【详解】（1）“体育迷”对应的频率为：，
用频率估计概率，可知从该地区大量电视观众中，随机抽取1名观众，该观众是“体育迷”的概率为，则所有可能的取值为0，1，2，3
∴；；
；；
∴的分布列为：

0
1
2
3





则数学期望.
（2）根据分层抽样原则知：抽取的8人中，有“体育迷”人，非“体育迷”体育迷人，则所有可能的取值为0，1，2.
，，.
故的分布列为：

0
1
2




则，，
故.
59．（2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）已知某商业银行甲、乙两个风险理财项目的年利润率分别为和，利润率为负表示亏损，根据往年的统计数据得到和的分布列：

5
10
-2
P
0.6
0.15
0.25

4
6
12
-2.5
P
0.2
0.5
0.1
0.2
现有200万元资金准备投资到甲、乙两个风险理财项目一年．
(1)在甲、乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资项目甲和乙所获得的年利润，求和；
(2)项目甲投资x万元，项目乙投资万元，其中，，用表示投资甲项目的年利润方差与投资乙项目的年利润方差之和，问该如何分配这200万元资金，能使的数值最小？
【答案】(1)，
(2)投资甲项目105万元，投资乙项目95万元时有最小值
【分析】（1）根据和的分布列可列出利润和的分布列，并分别计算出其期望值，再利用方差计算公式即可得和；
（2）由方差性质可得可得，再结合（1）中数据利用二次函数单调性即可求得结果.
【详解】（1）由题意可知（万元）和（万元）的分布列分别为

5
10
-2
P
0.6
0.15
0.25

4
6
12
-2.5
P
0.2
0.5
0.1
0.2
所以．
．
于是．

（2）由题意可知，根据方差性质可得


．
由二次函数性质可得，当，即时，取得最小值．
因此投资甲项目105万元，投资乙项目95万元时有最小值．
考点十 离散型随机变量均值与方差在决策中的应用

60．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）某校举行知识竞赛，最后一个名额要在、两名同学中产生，测试方案如下：、两名学生各自从给定的个问题中随机抽取个问题作答，在这个问题中，已知能正确作答其中的个，能正确作答每个问题的概率是，、两名同学作答问题相互独立．
(1)设答对的题数为，求的分布列；
(2)设答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)选择同学，理由见解析
【分析】（1）根据超几何分布的概率公式计算概率并列出分布列；
（2）由已知可得满足二项分布，再分别计算期望与方差即可判断.
【详解】（1）设答对的题数，则的可能取值有，，且，，
则的分布列为：






（2）设答对的题数，则，
，，，，
由（1）知：，
，
而，
，
所以，，故选择为参赛选手．
61．（2023·广西南宁·统考一模）在某次现场招聘会上，某公司计划从甲和乙两位应聘人员中录用一位，规定从6个问题中随机抽取3个问题作答.假设甲能答对的题目有4道，乙每道题目能答对的概率为，
(1)求甲在第一次答错的情况下，第二次和第三次均答对的概率；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲､乙谁被录用的可能性更大？
【答案】(1)
(2)甲自媒体平台公司竞标成功的可能性更大
【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式以及条件概率公式运算求解；
（2）根据题意结合超几何分布、二项分布求期望和方差，并对比分析说明.
【详解】（1）记“该甲自媒体平台公司第一次答错”为事件A，“该甲自媒体平台公司第二次和第三次均答对”为事件，则，
故甲自媒体平台公司在第一次答错的的条件下，第二次和第三次均答对的概率为
.
（2）设甲自媒体平台公司答对的问题数为，则的所有可能取值为.
，
则的分布列为

1
2
3




可得，
；
设乙自媒体平台公司答对的问题数为，则的所有可能取值为.
解法一：，，
，，
则的分布列为：

0
1
2
3





可得，
，
由可得，甲自媒体平台公司竞标成功的可能性更大.
解法二：∵，则，；
由可得，甲自媒体平台公司竞标成功的可能性更大.
62．（2023秋·山东德州·高二统考期末）新冠疫情不断反弹，各大商超多措并举确保市民生活货品不断档，超市员工加班加点工作.某大型超市为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，拟在年会后，通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有5种面值奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．
(1)若箱子中所装的5种面值的奖券中有2张面值为100元，其余3张均为50元，试比较员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率的大小；
(2)公司对奖励总额的预算是7万元，预定箱子中所装的5种面值的奖券有两种方案：第一方案是3张面值30元和2张面值130元；第二方案是3张面值50元和2张面值100元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．
【答案】(1)员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率
(2)应选择第二种方案，理由见解析
【分析】（1）根据超几何分布求出员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率，比较大小即可得出答案；
（2）分别求出选择方案一和方案二的分布列，进而求出对应的数学期望和方差，比较方差和期望的大小即可得出答案.
【详解】（1）用表示员工所获得的奖励额．
因为，，
所以，
故员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率．
（2）第一种方案：设员工所获得的奖励额为，则的分布列为

60
160
260




所以的数学期望为，
的方差为；
第二种方案：设员工所获得的奖励额为，则的分布列为

100
150
200




所以的数学期望为，
的方差为，
又因为（元），
所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，
故应选择第二种方案．
考点十一 离散型随机变量的综合应用
63．【多选】（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）设随机变量的分布列如下：

1
2
3
…
2022
2023




…


则下列说法正确的是（    ）
A．当为等差数列时，
B．数列的通项公式可能为
C．当数列满足时，
D．当数列满足时，
【答案】AC
【分析】根据题意可得.对A：结合等数数列的性质分析运算；对B：利用裂项相消法分析运算；对C：根据等比数列求和分析运算；对D：取，分析运算即可.
【详解】由题意可得：，且，
对A：当为等差数列时，则，
可得，故，A正确；
对B：若，满足，
则，
故数列的通项公式不可能为，B错误；
对C：当数列满足时，满足，
则，
可得，C正确；
对D：当数列满足时，则，
可得，D错误；
故选：AC.
64．（2023·陕西商洛·统考二模）2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查学生对两会相关知识的了解情况，某高中学校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们的得分（满分100分）的频率分布折线图如下.

(1)若此次知识问答的得分，用样本来估计总体，设，分别为被抽取的320名学生得分的平均数和标准差，求的值；
(2)学校对这些被抽取的320名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于55的学生获得1次抽奖机会，得分高于55的学生获得2次抽奖机会.假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为.从这320名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为元，求的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额.
参考数据：，，，，.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，，元
【分析】（1）先根据频率分布折线图求平均值及方差，再根据正态分布公式计算概率即可；
（2）先分析获奖金额的情况，再列出相关分布列计算即可.
【详解】（1）由折线图可知：，

，
所以，，
所以.
（2）由题意可知的可能取值为10，20，30，40，
则，，
，
，
，
，
所以的分布列为

10
20
30
40
P




，
故此次抽奖要准备的学习用品的价值总额约为元.
65．（2022春·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京开幕．吉祥物“冰墩墩”以其可爱的外形迅速火爆出圈，其周边产品更是销售火热，甚至达到“一墩难求”的现象某购物网站为了解人们购买“冰墩墩”的意愿，随机对90个用户（其中男30人，女60人）进行问卷调查，得到如下列联表：

有购买意愿
没有购买意愿
合计
男
16


女

16

合计

30

(1)完成上述列联表，并回答是否有的把握认为“购买意愿”与性别有关？
(2)若以这90个用户的样本的概率估计总体的概率，现再从该购物网站所有用户中，采用随机抽样的方法每次抽取1名用户，抽取4次，记被抽取的4名用户对“冰墩墩”有购买意愿的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，写出的分布列，并求期望和方差．
参考公式：，其中．
临界值表：

0.10
0.05
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

【答案】(1)列联表见解析，没有的把握认为“购买意愿”与性别有关.
(2)分布列见解析，，.
【分析】（1）根据列联表和独立性检验的定义以及方法直接求解即可.（2）根据二项分布的概念，求出概率列出分布列，即可求解数学期望和方差.
【详解】（1）由图表可知，没有购买意愿的男性有人，
有购买意愿的女性有人，
所以列联表如下：

有购买意愿
没有购买意愿
合计
男
16
14
30
女
44
16
60
合计
60
30
90
，
所以没有的把握认为“购买意愿”与性别有关.
（2）由题意，有购买意愿的比例为，
可能的取值有，且，
,,
,,
,
所以分布列如下：

0
1
2
3
4






所以,