【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第42讲 随机事件的概率 讲义

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第42课 随机事件与概率

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课程目标
学科素养
1.理解随机试验的概念及特点
2.理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间
3.理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，并会判断某一事件的性质

1.数学建模：随机实验及样本空间的概念
2.逻辑推理：分析随机实验的样本空间
3.数学运算：计算随机实验的样本空间
4.数据分析：会求所给试验的样本点和样本空间；

知识精讲


知识点01 有限样本空间与随机事件
【即学即练1】　抛掷一枚骰子（touzi),观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.
解：用i表示朝上面的“点数为i”，
因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，
所以试验的样本空间可以表示为Ω ={1,2,3,4,5,6}.
构建样本空间，这是将实际问题数学化的关键步骤，其作用体现在：可以利用集合工具（语言）描述概率问题，能用数学语言严格刻画随机事件的概念，通过与集合关系与运算的类比，可以更好地理解随机事件的关系和运算意义.可以用符号语言准确而简练地表示求解概率问题的过程.

知识点02 事件的关系和运算


定义
表示法
图示
事件的运算
包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A (或A⊆B )

并事件
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B (或A+B)

交事件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B (或AB)

互斥关系
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
若A∩B＝∅，则A与B互斥

对立关系
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，可记为B＝或A＝
若A∩B＝∅，A∪B＝U，则A与B对立


事件的关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生
A⊆B
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A＋B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A∩B＝∅
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B＝∅，A∪B＝Ω


【即学即练2】盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
【答案】(1) D＝A∪B．(2)C∩A＝A．
【解析】(1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B．
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，所以A⊆C，故C∩A＝A．




知识点03 古典概型
【即学即练3】 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和II号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果，
（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
（2）求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”；B=“两个点数相等”；C=“I号骰子的点数大于II号骰子的点数”.
【答案】（1），是古典概型（2）;;
【解析】（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可与II号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m表示I号骰子出现的点数是m，数字n表示II号骰子出现的点数是n，则数组表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间，其中共有36个样本点.
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.
（2）因为，所以，
从而；
因为，所以，
从而；
因为C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),
(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}，
所以，从而；
解题技巧（求古典概型的一般步骤）
(1)明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）；
(2)根据实际问题情景判断样本点的等可能性；
(3)计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率.



知识点04 概率的基本性质
【即学即练4】一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两个球颜色相同”，“两个球颜色不同”.
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
（2）事件R与，R与G，M与N之间各有什么关系？
（3）事件R与事件G并事件与事件M有什么关系？事件与事件的交事件与事件R有什么关系？
解：（1）所有的试验结果如图10.1-10所示.用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间
，

事件“第一次摸到红球”，即或2，于是
；
事件“第二次摸到红球”，即或2，于是
.
同理，有
，
，
，
.
（2）因为，所以事件包含事件R；
因为，所以事件R与事件G互斥；
因为，，所以事件M与事件N互为对立事件.
（3）因为，所以事件Ｍ是事件R与事件G的并事件；
因为，所以事件R是事件与事件的交事件.


能力拓展


考法01 有限样本空间与随机事件

【典例1】《“健康中国2030”规划纲要》提出，健康是促进人的全面发展的必然要求，是经济社会发展的基础条件．实现国民健康长寿，是国家富强、民族振兴的重要标志，也是全国各族人民的共同愿望．为普及健康知识，某公益组织为某社区居民组织了一场健康知识公益讲座，讲座后居民要填写健康知识问卷（百分制），为了解讲座效果，随机抽取了10位居民的问卷，并统计得分情况如下表所示：
答题居民序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
72
83
65
76
88
90
65
90
95
76
测下列说法错误的是（    ）
A．该10位居民的问卷得分的极差为30
B．该10位居民的问卷得分的中位数为94
C．该10位居民的问卷得分的中位数小于平均数
D．该社区居民问卷得分不低于90分的概率估计值大于0.2
【答案】B
【分析】由极差、中位数和平均数的定义可判断A，B，C；求出该社区居民问卷得分不低于90分的概率可判断D.
【详解】将这10位居民的问卷得分按照从小到大的顺序排列为65，65，72，76，76，83，88，90，90，95，
所以极差为95-65=30，故A正确；
中位数为，故B错误；
平均数为，故C正确；
由题表及样本估计总体，知该社区居民问卷得分不低于90分的概率估计值为，故D正确．
故选：B．


考法02 事件的关系和运算
【典例2】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（    ）
A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件
【答案】B
【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.
【详解】由题可知，事件1可表示为：,事件2可表示为：,
事件3可表示为：,事件4可表示为：,
因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误；
因为为不可能事件，为必然事件，
所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；
因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误；
因为为不可能事件，不为必然事件，
所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；
故选：B.




考法03 古典概型与概率基本性质
【典例3】芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．．在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的．图1是一块形状为正方形的芯片原材料，上面有4个坏点，若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正万形，得到4块第3代芯片，其中只有一块无坏点，则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率为．若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形，得到16块第5代芯片，则由这块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意将原材料进行切割，得到有坏点的芯片数，即可判断.
【详解】依题意将这块原材料如下切割得到第代芯片，其中块无坏点，块有坏点，

故第代芯片的产品良率为.
故选：C



【变式训练】从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球．若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用三个事件为互斥事件，再根据互斥事件概率公式，即可求解.
【详解】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，
则，且．
因为A，B，C两两互斥，
所以．
故选：C．


分层提分


题组A 基础过关练

一、单选题
1．某人在打靶中连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是
A．至少有一次中靶 B．只有一次中靶
C．两次都中靶 D．两次都不中靶
【答案】C
【分析】至多有一次的反面是至少有两次.
【详解】射击两次中靶的次数可能是0，1，2.至多1次中靶，即中靶次数为0或1，故它的对立事件为中靶两次.选C.
【点睛】本题考查对立事件的概念，解题关键是掌握至少、至多等词语的否定.
2．在投掷骰子的试验中，可以定义许多事件，例如：
{出现1点}，{出现的点数小于1}，{出现的点数小于7}，
{出现的点数大于6}，{出现的点数是偶数}，以上5个事件中的随机事件个数为（  ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据随机事件的定义即可得解.
【详解】解：∵是不可能事件，是必然事件，
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，
所以在给出的5个事件中和是随机事件.
故选：B.
3．某人打靶时，连续射击两次，事件A＝“至少有一次中靶”，B＝“两次都不中靶”，则（    ）
A．A⊆B B．B⊆A
C．A∩B＝∅ D．∩B＝∅
【答案】C
【分析】列举射击2次的基本事件，分析A、B的关系.
【详解】连续射击两次，用，（ x、y取0,1，取0表示射中，取1表示未射中）表示基本事件，包括：
其中
故A∩B＝∅，其他都不对.
故选：C
【点睛】判断两个事件是否互斥（对立）：
①定义法；②直接法：利用生活常识直接判断；③集合法：把事件A、B对应的基本事件用集合表示，根据两个集合的交集为空集，可判断A、B互斥；若两个集合的交集为空集，同时二者的并集为全集，则A、B为对立事件.
4．分别独立的扔一枚骰子和硬币，并记下骰子向上的点数和硬币朝上的面，则结果中含有“点或正面向上”的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列出所有的基本事件，再结果中含有“点或正面向上”的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求得.
【详解】分别独立的扔一枚骰子和硬币,所以的基本事件是：正面向上，反面向上，正面向上，反面向上，正面向上，反面向上，正面向上，反面向上，正面向上，反面向上，正面向上，反面向上.共个基本事件.
含有“点或正面向上”有正面向上，反面向上，正面向上，正面向上， 正面向上， 正面向上，正面向上，共个基本事件，
结果中含有“点或正面向上”的概率为：.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是随机事件概率的求解，古典概型的概率求解，利用列举法求解是解题的关键，是基础题.
5．甲、乙两队举行足球比赛，甲队获胜的概率为，则乙队不输的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】乙队不输是甲队获胜的对立事件,进而求解即可
【详解】乙队不输的概率为,
故选：C
【点睛】本题考查对立事件的概率,属于基础题
6．从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
共有m=10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=
故答案为D．

二、多选题
7．下列事件是随机事件的是（    ）
A．连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上 B．异性电荷相互吸引
C．在标准大气压下，水在1℃结冰 D．买一注彩票中了特等奖
E．掷一次骰子，向上的一面的点数是6
【答案】ADE
【解析】根据随机事件的定义，进行判断，即可得答案.
【详解】根据题意得：A，D，E是随机事件，B为必然事件，C为不可能事件.
故选：ADE.
【点睛】本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的定义，考查对概念的理解，属于基础题.
8．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是（    ）

A．应从第3，4，5组中分别抽取3人、2人、1人
B．第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为
C．第5组志愿者被抽中的概率为
D．第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为
【答案】ABC
【分析】根据分层抽样得定义即可判断A；利用列举法结合古典概型计算即可判断ABC.
【详解】第3组的人数有人，
第4组的人数有人，
第5组的人数有人，故A正确；
设第3组的人分别为，第4组的人分别为，第5组的人分别为，
则6人中随机抽取2人有，
共15种抽法，
其中第4组志愿者恰有一人被抽中有8种，
则其概率为，故B正确；
第5组志愿者被抽中有5种，
其概率为，故C正确；
第3组志愿者至少有一人被抽中有12种，
其概率为，故D错误.
故选：ABC.

三、填空题
9．从字母a，b，c，d中任意取出三个不同的字母的试验中，基本事件分别是___________.
【答案】，，，
【分析】直接列举，即可得出结论.
【详解】解：从字母a，b，c，d中任意取出三个不同的字母的试验中，基本事件分别是：，，，，共4个基本事件，
故答案为：，，，.
10．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为，第二次向上的点数记为，在直角坐标系中，以为坐标的点落在直线上的概率为__________.
【答案】
【详解】试题分析：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有种结果，满足条件的事件是为坐标的点落在直线上，当，，，；，，共有种结果，∴根据古典概型的概率公式得到以为坐标的点落在直线上的概率：．故答案为.
考点：古典概型及其概率计算公式.
11．一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3．现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．
【答案】
【分析】根据题意列出基本事件，然后根据古典概型的概率公式即可求出结果.
【详解】记编号为1的球为，编号为2的球为，编号为3的球为，则基本事件：，，，
，，
共36种，编号之和为4的有：共10种，所求概率为＝．
故答案为：.
12．某学校志愿者协会周末组织活动，需要从甲乙两小组各安排一名志愿者去春风养老院，若甲乙两小组各有6名志愿者且都是3名男生3名女生，则派去服务的两名志愿者都是女生的概率是____________．
【答案】
【分析】分析出基本事件以及满足条件的基本事件数，利用古典概型概率公式求得结果.
【详解】记派去服务的两名志愿者都是女生为事件A，
则，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关概率的求解问题，正确解题的关键是弄清楚实验对应的基本事件，以及满足条件的基本事件，从而求得基本事件数以及满足条件的基本事假数，最后利用公式求得结果.

四、解答题
13．判断下列现象是否是随机现象，如果是，写出该试验的样本空间．
(1)抛一个苹果，下落；
(2)种下一粒种子，观察是否发芽；
(3)甲、乙两队进行一场足球比赛，观察甲队的比赛结果（可以是平局）．
【答案】(1)是确定性现象，不是随机现象
(2)是随机现象，答案见解析
(3)是随机现象，答案见解析

【分析】直接根据生活经验进行分析，即可判断是否是随机现象，并写出对应的样本空间.
【详解】（1）是确定性现象，不是随机现象；
（2）是随机现象．
该试验的所有可能的结果是“种子发芽”“种子不发芽”，所以样本空间Ω＝{种子发芽，种子不发芽}；
（3）是随机现象．
该试验的所有可能的结果是“甲胜”“甲输”“平局”，所以样本空间Ω＝{甲胜，甲输，平局}．
14．中华人民共和国第十四届全国运动会､全国第十一届残运会暨第八届特奥会将于2021年在中国陕西举行.为宣传全运会，特奥会，让更多的人了解体育运动项目和体育精神，某大学举办了全运会､特奥会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)试根据频率分布直方图求出这100人中成绩低于60分的人数，并估计这100人的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
(2)若先采用分层抽样的方法从成绩在的学生中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人去社区开展全运会､特奥会宣传活动，求做宣传的这2名学生成绩都在的概率.
【答案】(1)18人，73
(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图中数据计算频率，从而求出人数，再代入平均数公式求解平均分；
（2）先通过分层抽样确定各组人数，然后列举基本事件，利用古典概型概率公式求概率.
【详解】（1）由频率分布直方图中数据知，成绩低于60分的人数为（人）.
平均成绩.
（2）因为成绩在的学生人数所占比例为，
所以从成绩在的学生中应分别抽取4人，2人.
记抽取成绩在的4人为，抽取成绩在的2人为：.
从这6人中随机抽取2人的所有可能为：，，共15种，
抽取的2人成绩都在的是，只有1种，
所以做宣传的这2名学生成绩都在的概率为.
15．分别抛掷两颗骰子各一次，观察向上的点数，求：
(1)两数之和为的概率；
(2)以第一次向上的点数为横坐标，第二次向上的点数为纵坐标的点在圆内部的概率.
【答案】(1)
(2)

【分析】根据总体基本事件个数为个，分别列举出符合题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】（1）分别抛掷两颗骰子各一次，共有个等可能的基本事件；
其中“两数之和为”的基本事件有：，，，，共个基本事件；
两数之和为的概率.
（2）分别抛掷两颗骰子各一次，共有个等可能的基本事件；
满足在圆内部的基本事件有：，，，，，，，，共个基本事件；
在圆内部的概率.
16．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立，求红队至少两名队员获胜的概率．
【答案】0.55.
【分析】由题意按照红队两名队员获胜及红队三名队员获胜两种情况，结合对立事件、相互独立事件的概率公式运算即可得解.
【详解】记甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件D，E，F，则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件，，，根据各盘比赛结果相互独立，可得红队至少两名队员获胜的概率为



.
【点睛】本题考查了事件发生概率的求解，考查了对立事件、相互独立事件概率公式的应用及分类讨论思想的应用，属于中档题.



题组B 能力提升练

一、单选题
1．有4张卡片，上面分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列举法利用古典概型求解
【详解】由题意知，从这4张卡片中随机抽取2张卡片共有，，，，，6个样本点，取出的2张卡片上的数字之和为偶数有，2个样本点，故取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为．
故选：B
2．甲、乙、丙三名同学到足球场馆和篮球场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，且每个场馆至少去一名同学，则甲、乙两人安排在同一个场馆的概率为（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得符合条件的所有情况，然后根据古典概型求得结果.
【详解】甲、乙、丙三名同学到足球场馆和篮球场馆做志愿者，若甲独自一人去某场馆，乙、丙同去另一个场馆，则共2种情况，故总共有6种情况，其中甲、乙两人安排在同一个场馆有2种情况，故所求概率为．
故选：B.
3．写乘，是一种格子乘法，也是笔算乘法的一种，是从天元式的乘法演变而来，例如计算，将乘数65计入右行，乘数89计入上行，然后以89的每位数字乘65的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后从右下方开始按斜行加起来，满十向上斜行进一，即得5785，如图，类比此法画出的表格，若从表内（表周边数据不算在内）任取一数，则恰好取到奇数的概率是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意画出的表格，再根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】解：根据题意，结合范例画出的表格，从表格中可以看出，共有18个数，其中奇数有5个，所以从表内任取一数，恰好取到奇数的概率.
故选：A.

4．古代《冰糖葫芦》算法题：一个小摊上摆满了五彩缤纷的“冰糖葫芦”，“冰糖葫芦”制作有两种，一种是5个山楂；另一种是2个山楂、3个小桔子．若小摊上山楂共640个，小桔子共360个，现从小摊上随机选取一个“冰糖葫芦”，则这个“冰糖葫芦”是5个山楂的概率为（    ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】B
【分析】设5个山楂的“冰糖葫芦”有个，2个山楂、3个小桔子的“冰糖葫芦”有个，列出方程组求出，，基本事件总数，这个“冰糖葫芦”是5个山楂包含的基本事件个数，由此能求出这个“冰糖葫芦”是5个山楂的概率．
【详解】设5个山楂的“冰糖葫芦”有个，2个山楂、3个小桔子的“冰糖葫芦”有个，
则，解得，，
基本事件总数，
这个“冰糖葫芦”是5个山楂包含的基本事件个数，
则这个“冰糖葫芦”是5个山楂的概率为．
故选：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．已知函数，，则的概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由对数的运算法则化简，再分类讨论函数的单调性进行解不等式，再利用古典概型的概率公式进行求解.
【详解】因为，
当 时，在上单调递减， 且，
由，得 ，
解得 ；
当 时，在上单调递增， 且，
由，得 ，
解得，即；
综上所述，；
因为概率空间中的7个数中，大于4的3个数满足题意，
所以满足题意的概率为 .
故选：B.
6．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成成等差数列的概率为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】分析：将一个骰子连续抛掷三次，每次都有种情况，由分步计数原理可得共有种情况，、分两种情况讨论骰子落地时向上的点数能组成等差数列的情况，可得符合条件的情况数目，由古典概型概率公式可得结果.
详解：根据题意，将一个骰子连续抛掷三次，每次都有种情况，
则共有种情况，
它落地时向上的点数能组成等差数列，分两种情况讨论：
①若落地时向上的点数若不同，
则为或或或或或，共有种可能，
每种可能的点数顺序可以颠倒，即有种情况，
共有种情况；
②若落地时向上的点数全相同，有种情况，
共有种情况，
落地时向上的点数能组成等差数列的概率为，故选A.
点睛：本题考查古典概型概率公式，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.

二、多选题
7．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏公平的有（    ）
A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜
D．小明､小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜
【答案】ACD
【分析】在四个选项中分别列出小明与小华获胜的情况，由此判断两人获胜是否为等可能事件．
【详解】解：对于A，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的，所以游戏公平
对于B，恰有一枚正面向上包括正，反反，正两种情况，而两枚都正面向上仅有正，正一种情况，
所以游戏不公平
对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色和扑克牌是黑色是等可能的，所以游戏公平
对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，一共四种情况：（6,6），（6,8），（8,6），（8,8）；两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的，所以游戏公平．
故选：ACD．
【点睛】本题考查等可能事件的判断，考查运算求解能力，是基础题．
8．甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A：抽取的两个小球标号之和大于5，事件：抽取的两个小球标号之积大于8，则（    ）
A．事件A与事件是对立事件 B．事件与事件是互斥事件
C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为
【答案】BC
【分析】求得从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含个基本事件；再写出事件A,B包含的基本事件，即可判断A,B；写出事件以及包含的事件，即可以求得其概率，判断C,D.
【详解】由题意知：从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含个基本事件；
事件包含的基本事件有：
，，，，，，，，，，，共11个基本事件；
事件包含的基本事件有：
，，，，，，，，共8个基本事件，
可以看出，事件是事件的子事件，故错；
事件包括：，，，，，，，，共9个事件，
每个事件中两小球标号之积都小于8，故与事件是互斥事件，故正确；
事件包含的基本事件为：
，，，，，，，，，，，共11个，
所以事件发生的概率为，故正确；
事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共12个，
所以事件包含的基本事件为：， ，，共3个基本事件，
所以事件发生的概率为，故不正确，
故选：．

三、填空题
9．掷一颗骰子，若事件A：出现奇数点，则A的对立事件为______．
【答案】出现偶数点
【分析】利用对立事件的意义直接写出结论作答.
【详解】掷一颗骰子，事件A：出现奇数点，则A的对立事件为出现偶数点.
故答案为：出现偶数点
10．抛掷2枚骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P（X≤4）=_____________.
【答案】
【分析】算出掷两个骰子的结果，共有36种，由古典概型即可得出结果.
【详解】掷一个骰子的结果有6种，掷两个骰子的结果，共有36种
其中点数和为
当，
当，
当，
所以
故答案为：
11．已知函数的定义域为，值域为，则函数是偶函数的概率为__．
【答案】
【分析】列举出的所有解析式，再找出其中的偶函数，即可得答案.
【详解】解：因为的定义域为，关于原点对称，值域为，
所以有，或，或
或，或，或，
共6种情况；
而当和时，满足是偶函数，有2种情况，
所以是偶函数的概率．
故答案为：
12．已知某运动队有男运动员名，女运动员名，若现在选派人外出参加比赛，则选出的人中男运动员比女运动员人数多的概率是_________.
【答案】.
【分析】将所求事件分为两种情况：男女，男，这两个事件互斥，然后利用古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式可求出所求事件的概率.
【详解】事件“选出的人中男运动员比女运动员人数多”包含事件“男女”和事件“男”，
由古典概型概率公式和互斥事件的概率加法公式可知，
事件“选出的人中男运动员比女运动员人数多”的概率为，
故答案为.
【点睛】本题考查古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式的应用，解题时要将所求事件进行分类讨论，结合相关公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.

四、解答题
13．某射击队的队员为了在比赛上取得优异成绩在加紧备战，在近期训练中，某队员射击一次，命中的环数k可表示为事件，试用事件表示下列事件：
（1）命中9环或10环；
（2）至少命中8环；
（3）命中不足8环.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）“命中9环或10环”是和两个事件相加；
（2）“至少命中8环”是、和三个事件相加；
（3）“不足8环”与（2）中事件“至少命中8环”是对立事件．
【详解】（1）设“射击一次，命中9环或10环”为事件A，那么.
（2）设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么.
（3）设“射击一次，命中不足8环”为事件C，由于事件C与事件B互为对立事件，因此.
【点睛】本题考查随机事件的概念，考查事件的运算．属于基础题．
14．从1，2，3，…，15中，甲、乙两人各任取一个数（不重复），已知甲取到的数是5的倍数，求甲取到的数大于乙取到的数的概率．
【答案】
【分析】根据题意求得基本事件总数，利用列举法求得甲数大于乙数所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】从1，2，3，…，15中，甲、乙两人各任取一个数（不重复），
甲取到的数时5个倍数，基本事件总数，
则甲数大于乙数包含的基本事件有：
，
，
，共有27个，
所以甲数大于乙数的概率为.
15．经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100个黄桃进行测重，其质量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：

（1）按分层抽样的方法从质量落在，的黄桃中随机抽取5个，再从这5个黄桃中随机抽2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400克的概率；
（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有100000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：
A．所有黄桃均以20元/千克收购；
B．低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
（参考数据：）
【答案】（1）（2）B
【分析】（1）由题得黄桃质量在和的比例为，记抽取质量在的黄桃为，，，质量在的黄桃为，，列出取出2个的所有可能，找出其中质量至少有一个不小于400克的事件个数，根据古典概型即可求解（2）分别计算两种方案的收益，比较收益大小即可确定需选择的方案.
【详解】（1）由题得黄桃质量在和的比例为，
∴应分别在质量为和的黄桃中各抽取3个和2个.
记抽取质量在的黄桃为，，，质量在的黄桃为，，
则从这5个黄桃中随机抽取2个的情况共有以下10种：
，，，，，，，，，
其中质量至少有一个不小于400克的7种情况，故所求概率为.
（2）方案好，理由如下：
由频率分布直方图可知，黄桃质量在的频率为
同理，黄桃质量在，，，，的频率依次为0.16，0.24，0.3，0.2，0.05
若按方案收购：
∵黄桃质量低于350克的个数为个
黄桃质量不低于350克的个数为55000个
∴收益为元
若按方案收购：
根据题意各段黄桃个数依次为5000，16000，24000，30000，20000，5000，于是总收益为 （元）
∴方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，古典概型，分层抽样，属于中档题.
16．地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为＂世界海洋日”.2020年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机柚取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩（单位：分）分组如下，第一组[65,70)，第二组[70,75)，第三组[75,80)，第四组[80,85)，第五组[85,90],得到频率分布直方图如下图：

(1)求实数a的值；
(2)若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副队长，求“抽取的2人为不同组”的概率.
【答案】(1)0.04
(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形面积之和为1，即可求得a的值；
（2）求出第四组和第五组中人数之比，即可求得简单随机抽样方法6人中各组的人数，列举出从6人中抽取2人作为正、副队长的所有的基本事件和“抽取的2人为不同组”的基本事件，根据古典概型的概率公式可求得答案.
（1）
由题意可得，可得；
（2）
由题意，100名大学生中第三组有20人，第五组有10人，
故从第四组、第五组的学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成中国海洋实地考察小队，第四组有 人，第五组有2人，
设第四组的4人分别为a,b,c,d,第五组的2人为A,B,
则从中抽取2人的所有基本事件有：
共15种，
其中“抽取的2人为不同组”的基本事件有共8种，
故“抽取的2人为不同组”的概率为 .



题组C 培优拔尖练

一、单选题
1．如图，这是甲、乙两位同学在4次数学测试中得分的茎叶图，若从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则甲同学抽选的得分高于乙同学抽选的得分的概率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据古典概型的概率公式即可求解.
【详解】从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，
则共有16种情况，其中甲的得分高于乙的得分的情况有7种，
故所求的概率为．
故选：B.
2．柜子里有3双不同的鞋子，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用列举法列出所有可能情况，再找出符合题意的基本事件数，最后利用古典概型的概率公式计算可得.
【详解】解：分别用，，，，，表示6只鞋，则可能发生的情况有种，
如下所示：，，，，，，，，
，，，，，，
取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的事件有6种，即，，，，，，

故选：C
3．有一个正方体的玩具，六个面标注了数字1，2，3，4，5，6，甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字，再由乙抛掷一次，记下正方体朝上数字，若就称甲、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率为（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据古典概型公式列举求解即可.
【详解】解：甲、乙两人抛掷玩具所有可能的结果有36种，
其中“甲、乙两人‘默契配合’”所包含的基本事件有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5， 6），（6，5），（6，6），共16种，
所以，甲乙两人“默契配合”的概率为.
故选：D.
4．我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清代郑板桥的《题画竹》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠，”现从1，2，3，4，5，6中随机选币2个不同的数字组成，则恰好能使得的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】列举基本事件，由古典概率公式直接求概率即可.
【详解】因为，随机选取2个不同的数字组成有：
a=2，b=1，3，4，5，6；
a=3，b=1，2，4，5，6；
a=4，b=1，2，3，5，6；
a=5，b=1，2，3，4，6；
a=6，b=1，2，3，4，5.共25种情况.
其中满足的有a=6，b=1，2，3，4，5；
a=5，b=1，2，3，4；a=4，b=1，2，3；
a=3，b=1，2；
a=2，b=1.共15种情况.
所求概率为.
故选：A.
5．我国古代为了进行复杂的计算，曾经使用“算筹”表示数，后渐渐发展为算盘.算筹有纵式和横式两种排列方式，各个数字及其算筹表示的对应关系如下表：排列数字时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式……纵式和横式依次交替出现.如“”表示21，“”表示609，在“”、“”、“”、“”、“”按照一定顺序排列成的无重复数字的三位数中任取一个，取到奇数的概率是（    ）

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纵式










横式










A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】所有情况列举如下：
百位
十位
个位
备注
百位
十位
个位
备注
1
3
4
偶数
4
3
1
奇数
1
3
0
偶数
4
3
0
偶数
1
8
4
偶数
4
8
1
奇数
1
8
0
偶数
4
8
0
偶数
1
0
4
偶数
4
0
1
奇数
所以取到奇数的概率是.
故选：B.
6．将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球分别放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断奇偶性不同则只能是2,2,1，再计算概率
【详解】由题知，要求每个盒子都不空，则3个盒子中放入小球的个数可分别为3,1,1或2,2,1,
若要求每个盒子中小球编号的奇偶性不同则只能是2,2,1，
且放入同一盒子中的两个小球必须是编号为一奇一偶，
故所求概率为
故答案选C
【点睛】本题考查了概率的计算，判断奇偶性不同则只能是2,2,1是解题的关键，意在考查学生的计算能力.

二、多选题
7．如果知道事件已发生，则该事件所给出的信息量称为“自信息”．设随机变量的所有可能取值为，，…，，且，，定义的“自信息”为．一次掷两个不同的骰子，若事件为“仅出现一个2”，事件为“至少出现一个5”，事件为“出现的两个数之和是偶数”，则（      ）
A．当时，“自信息”
B．当时，
C．事件的“自信息”
D．事件的“自信息”大于事件的“自信息”
【答案】ACD
【分析】根据题中条件，由对数运算可得A正确；根据对数函数的单调性，可得B错；根据古典概型的概率计算公式，求出，得到，即可判断C正确；根据古典概型的概率计算公式，分别求出事件与事件发生的概率，得出与，即可判断D正确.
【详解】A选项，当时，，即A正确；
B选项，因为对数函数是增函数，所以是减函数；因此，当时，，即，故B错；
C选项，一次掷两个骰子，所包含的基本事件的个数为个；“出现的两个数之和是偶数”所包含的情况有：，，，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；
则，所以，故C正确；
D选项，事件“仅出现一个2”，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，共个基本事件；
事件“至少出现一个5”，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共个基本事件；
所以，，则；因此，即D正确；
故选：ACD.
8．某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（    ）
A．甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是
B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是
C．丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是
D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
【答案】ABC
【分析】对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率后可得正确的选项.
【详解】甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为，
随机事件“若能得2分”中有基本事件，故“能得2分”的概率为，故A正确；
乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件，
分别为：，
随机事件“能得5分”中有基本事件，故“能得5分”的概率为，故B正确；
丙同学随机选择选项（丙至少选择一项），
由A、B中的分析可知共有基本事件种，分别为：
选择一项：；
选择两项：；
选择三项或全选：，，
随机事件“能得分”中有基本事件，
故“能得分”的概率为，故C正确；
丁同学随机至少选择两个选项，由C的分析可知：共有基本事件11个，
随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，故D错；
故选：ABC.

三、填空题
9．抛掷3枚硬币，试验的样本点用(x，y，z)表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，则M＝________________________________________________________________________．
【答案】（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）.
【分析】根据试验结果，直接写出事件包含的基本事件即可求解.
【详解】抛掷3枚硬币，试验的样本点用(x，y，z)表示,其中分别表示正反，
则（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）.
故答案为：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）.
10．从集合中随机抽取一个数，从集合中随机抽取一个数，则向量与向量垂直的概率为______.
【答案】
【解析】求出两向量垂直满足的条件，根据这个条件得出垂直的的个数，从而可计算概率．
【详解】由题意可知有：
.共个.
即所以即，有，共个满足条件.
∴所求概率为.
故答案为：．
【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数，方法是列举法．
11．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程有实根的概率为______.
【答案】
【解析】列出所有情况，计算满足的情况，得到答案.
【详解】一枚骰子抛掷两次,其基本事件总数为36,方程有实根的条件为.
b
1
2
3
4
5
6
使的基本事件个数
0
1
2
4
6
6
由此可见,使方程有实根的基本事件个数为，
于是方根有实根的概率为.
故答案为：
【点睛】本题考查了古典概率，意在考查学生的计算能力.
12．将给定的15个互不相同的实数，排成五行，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，第四行4个数，第五行5个数，则每一行中的最大的数都小于后一行中最大的数的概率是________.
【答案】
【分析】通过分析最大数在第行的概率，得到规律，从而可求得结果
【详解】解：设是从上往下数第行的最大数，设的概率为，最大数在第行的概率为，
在任意排好第行后余下的个数排在前行符合要求的排列的概率为，
所以，以此类推，
，
所以当时，，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查古典概型的概率的求法，考查推理能力和计算能力，解题的关键是求出最大数要第行的概率为，通过分析得到，以此类推，，从而可求得结果，属于较难题

四、解答题
13．抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.
【答案】详见解析
【解析】根据抛一枚硬币，落地时有正面朝上和反面朝上两种可能情况，可得样本空间。
【详解】解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为｛正面朝上，反面朝上｝.如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间
【点睛】本题考查样本空间，随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，属于基础题。
14．某大学有国防生名，学校在关注国防生文化素养的同时也非常注重他们的身体素质，要求每月至少参加一次野营拉练活动(下面简称“活动”)并记录成绩.月份某次活动中同学们的成绩统计如图所示：

（1）根据图表，估算学生在活动中取得成绩的中位数(精确到)；
（2）根据成绩从两组学员中任意选出两人为一组，若选出成绩分差大于，则称该组为“帮扶组”，试求选出两人为“帮扶组”的概率.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据由频率分布直方图求中位数的方法，求得中位数.
（2）求得两组学员的人数，利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】（1）成绩在区间的频率为，
成绩在区间的频率为，
，
设中位数为，则.
（2）成绩在区间与的人数分别为，.
设成绩在区间的学员为，成绩在区间的学员为，
从中任选两人，有共种，
其中选出成绩分差大于的有共种，
故选出两人为“帮扶组”的概率为.
15．2020年某地爆发了新冠疫情，检疫人员为某高风险小区居民进行检测.
(1)假设A，B，C，D，E，F，G，H，I，J这10人的检测标本中有1份呈阳性，且这10人中恰有1人感染，请设计一种最多只需做4次检测，就能确定哪一位居民被感染的方案，并写出设计步骤；
(2)已知A，B，C，D，E这5人是密切接触者，要将这5人分成两组，一组2人，另一组3人，分派到两个酒店隔离，求A，B两人在同一组的概率.
【答案】(1)答案见解析；
(2).

【分析】(1)先把10份样本平均分成两组，检测一次可确定有阳性的一组，再将这组分成2份和3份的两组即可.
(2)根据给定条件列出所有可能结果，确定A，B两人在同一组的结果数计算作答.
（1）
第一步，将10人的样本随机5份作为一组，剩余5份作为另一组，任取一组，若呈阳性，
则该组记为Ⅰ组；若呈阴性，则另一组记为Ⅰ组，
第二步，将Ⅰ组的样本随机分为2组，2人一组记为Ⅱ组，3人一组记为Ⅲ组，
第三步，将Ⅱ组样本进行检验，若呈阳性，再任取这两人中的一人进行检验即可得知患病人员，因此，
共检测3次；若呈阴性，则阳性样本必在Ⅲ组内，再逐一检验，最多2次即可得知患病人员，因此，最多检测4次，
或者先将Ⅲ组样本进行检验，若呈阳性，再逐一检验，最多2次即可得知患病人员，因此最多检测4次；
若呈阴性，则将Ⅱ组样本任取一人检验，即可得知患病人员，因此，共检测3次，
综上所述，最多只需做4次检测.
（2）
将A，B，C，D，E按要求分成两组，(AB，CDE)，(AC，BDE)，(AD，BCE)，(AE，BCD)，
(BC，ADE)，(BD，ACE)，(BE，ACD)，(CD，ABE)，(CE，ABD)，(DE，ABC)，共有10种情况，
其中A，B两人在同一组的共有4种，
所以A，B两人在同一组的概率为.
16．一个口袋里有分别标上数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张卡片，其中标上数字1，2的卡片是红色的，标上数字3，4，5的卡片是黄色的，标上数字6，7，8，9的卡片是蓝色的．从口袋里任抽三张卡片，组成数字不重复的三位数，由这些三位数构成集合．
(1)求从集合中随机抽取一个数，其各位数字的颜色只有两种的概率；
(2)求从集合中随机抽取一个数，其各位数字的颜色互不相同且是偶数的概率．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)从九张卡片任抽三张共有种，颜色只有两种有：两红一黄或两红一蓝，两黄一红或两黄一蓝，两蓝一红或两蓝一黄，求出对应种数，再按古典概型概率公式得概率.
(2)从九张卡片任抽三张共有种，各位数字的颜色互不相同且是偶数先按偶数个数分类：仅有一个偶数，两个偶数，三个偶数，再排列，最后根据古典概型概率公式得概率.
（1）
记“三位数字的颜色是两红一黄或两红一蓝”的事件为A，
则.
记“三位数字的颜色是两黄一红或两黄一蓝”的事件为B，
则.
记“三位数字的颜色是两蓝一红或两蓝一黄”的事件为C，
则.
而事件是互斥事件，
则其各位数字的颜色只有两种的概率为.
（2）
记“三位数字的颜色互不相同且是偶数”的事件为D，
记“含有个偶数数字，且三位数字的颜色各异的偶数”的事件为，
则，且互斥．
因为，
，
.
所以.
故从集合M中随机抽取一个数，其三位数字的颜色各异且是偶数的概率为.