数学必修 第二册10.2 事件的相互独立性精品复习练习题

第43课   事件的相互独立性  

知识点01   事件相互独立的定义

【即学即练1】　16．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.

(1)求一辆车从甲地到乙地没有遇到红灯和遇到一个红灯的概率；

(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

反思感悟两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.

知识点02  事件相互独立的应用

【即学即练2】16．为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛.比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军.已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.

（1）求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率；

（2）请通过计算说明，哪两个人进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大？

考法01  相互独立事件的判断

【典例1】 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A＝“抽到K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？

(1)A与B；(2)C与A.

【变式训练】一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？

解题技巧（独立事件的判断）

对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，则称A，B互斥，一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，则称A，B对立，显然A∪A为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．

考法02  相互独立事件同时发生的概率

【典例2】  甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，

乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：

（1）两人都中靶；

（2）恰好有一人中靶；

（3）两人都脱靶；

（4）至少有一人中靶.

解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)

解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A，B相互独立，则A与B，A与B，A与B也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．

【变式训练】 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．

(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．

题组A  基础过关练

一、单选题

1．袋子中有六个大小质地相同的小球，分别标号1，2，3，4，5，6，从中随机摸出一个球，设事件A为摸出的小球编号为奇数，事件B为摸出小球的编号为2，则（    ）

A． B． C． D．

2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则互为对立事件是（    ）．

A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球

C．至少有一个黑球与至少有1个红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球

3．厦门地铁1号线从镇海路站到文灶站有4个站点.甲、乙同时从镇海路站上车，假设每一个人自第二站开始在每个站点下车是等可能的，则甲乙在不同站点下车的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核结果互不影响.已知甲同学通过第一项考核的概率是，通过第二项考核的概率是；乙同学拿到该技能证书的概率是， 那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是（    ）

A． B． C． D．

6．某校高三年级在迎新春趣味运动会上设置了一个三分线外定点投篮比赛项目，规则是：每人投球5次，投中一次得1分，没投中得0分，且连续投中2次额外加1分，连续投中3次额外加2分，连续投中4次额外加3分，全部投中额外加5分．某同学投篮命中概率为，则该同学投篮比赛得3分的概率为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，事件为“甲、乙中至少有一人中奖”，则（    ）

A．与为互斥事件 B．与为对立事件

C．与为互斥事件 D．与为对立事件

8．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3．从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（    ）

A．事件发生的概率为 B．事件发生的概率为

C．事件是互斥事件 D．事件相互独立

三、填空题

9．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，则第1次取出的2个球1个是白球，1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率为______________.

10．从中随机取两个元素（可相同），则这两个元素的积不是6的倍数的概率为______.

11．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为 _______．

12．已知、、相互独立，如果，，，_________.

四、解答题

13．某学校在教师外出家访了解家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：

（1）求有4人或5人外出家访的概率；

（2）求至少有3人外出家访的概率.

14．乒乓球比赛规则规定，一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．

（I） 求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

（II） 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．

15．如图,电路由电池并联组成.电池损坏的概率分别是0.3,0.2,0.2，求电路断电的概率.

16．为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛.比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军.已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.

（1）求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率；

（2）请通过计算说明，哪两个人进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大？

题组B  能力提升练

一、单选题

1．一个魔方的六个面分别是红、橙、蓝、绿、白、黄六种颜色，且红色面和橙色面相对、蓝色面和绿色面相对，白色面和黄色面相对，将这个魔方随意扔到桌面上，则事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”（    ）

A．是对立事件 B．不是互斥事件

C．既不是互斥事件也不是对立事件 D．是互斥事件但不是对立事件

2．下列结论中不正确的个数是（    ）

①一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件；

②“”是“”的充分不必要条件；

③若事件与事件满足条件：，则事件与事件是对立事件；

④把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件.

A．1 B．2 C．3 D．4

3．甲､乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5.则密码被破译的概率为（    ）

A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.2

4．一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于的是    

A．P(0<X≤2) B．P(X≤1) C．P(X=1) D．P(X=2)

5．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是（    ）

A． B． C． D．

6．现有4人去参加甲、乙两个游戏，约定：每人掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是3的倍数的人去参加甲游戏，掷出的点数不是3的倍数的人去参加乙游戏．用X，Y分别表示这4人中去参加甲、乙游戏的人数，记，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C．事件与互斥 D．事件与相互独立

8．甲袋中有5个红球15个白球，乙袋中有5个红球5个白球，从两袋中各摸出一个球.下列结论正确的是（    ）

A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为

C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为

三、填空题

9．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.04，出现丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________.

10．已知A、B是独立事件，，，则______.

11．某校甲、乙、丙三名教师每天使用1号录播教室上课的概率分别是0.6，0.6，0.8，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则某天这三名教师中至少有一人使用1号录播教室上课的概率是______．

12．如图，A,B,C表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率是分别是0.9,0.8,0.7,如果系统中至少有1个开关能正常工作,则该系统就能正常工作，那么该系统正常工作的概率是____________

四、解答题

13．已知样本空间的事件A，B，C两两互斥，表示事件A，B，C中至少有一个发生．求证：．

14．某地区的婚姻以离婚而告终.问下面两种情况的概率各是多少：

(1)某对新婚夫妇白头偕老，永不离异；

(2)两对在集体婚礼上结婚的夫妻最终都离婚了.

15．本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次),设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为;两人租车时间都不会超过四小时.

(1)求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率;

(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元时的概率.

16．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.

(1)求一辆车从甲地到乙地没有遇到红灯和遇到一个红灯的概率；

(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

题组C  培优拔尖练

一、单选题

1．三个人独立地破译一份密码，他们能单独译出密码的概率分别为，，，假设他们能否破译出密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为（    ）

A． B． C． D．

2．假设，，且与相互独立，则（    ）

A．0.7 B．0.9 C．0.2 D．0.5

3．甲、乙两人比赛，每局甲获胜的概率为，各局的胜负之间是独立的，某天两人要进行一场三局两胜的比赛，先赢得两局者为胜，无平局．若第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．如果事件A、B是互斥事件，记它们的对立事件分别为、，那么（    ）

A．与一定互斥 B．与一定不互斥

C．是必然事件 D．A∪B是必然事件

5．高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为、、，该同学可以进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则（    ）

A． B． C． D．

6．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（    ）

A．A与B不互斥 B．A与D互斥但不对立

C．C与D互斥 D．A与C相互独立

二、多选题

7．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷n次，以表示没有出现连续2次6点向上的概率，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

8．已知事件，，且，，则下列结论正确的是（    ）

A．如果，那么，

B．如果与互斥，那么，

C．如果与相互独立，那么，

D．如果与相互独立，那么，

三、填空题

9．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.04，出现丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________.

10．从中随机取两个元素（可相同），则这两个元素的积不是6的倍数的概率为______.

11．设事件A在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少发生一次的概率为  ,则事件A恰好发生一次的概率为_____.

12．甲乙丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．则n次传球后球在甲手中的概率______．

四、解答题

13．在某次数学考试中，小江的成绩在90分以上的概率是0.25，在的概率是0.48，在的概率是0.11，在的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.计算：

（1）小江在此次数学考试中取得80分及以上的概率；

（2）小江考试及格（成绩不低于60分）的概率.

14．甲、乙、丙3人射箭，射一次箭能射中目标的概率分别是、、.现3人各射一次箭，求：

(1)3人都射中目标的概率；

(2)3人中恰有2人射中目标的概率.

15．某市小型机动车驾照“科二”考试中共有项考查项目，分别记作①、②、③、④、⑤.

(1)某教练将所带名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有项成绩不合格的学员中任意抽出人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过项的概率.

(2)“科二”考试中，学员需缴纳元的报名费，并进行轮测试（按①、②、③、④、⑤的顺序进行）；如果某项目不合格，可免费再进行轮补测；若第轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳元补考费，并获得最多轮补测机会，否则考试结束；每轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行，学员在任何轮测试或补测中个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考次，某学员每轮测试或补考通过①、②、③、④、⑤各项测试的概率依次为、、、、，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考.求该学员能通过“科二”考试的概率.

16．某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有A，B，C，D四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有A，B，C，D四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生接种A种疫苗后，再为居民们接种，记第n位居民（不包含张医生）接种A，B，C，D四种疫苗的概率分别为.

(1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；

(2)证明：；

(3)张医生认为，一段时间后接种A，B，C，D四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种A，B，C，D四种的概率，解释张医生观点的合理性.

参考数据：