湘教版（2019）必修 第二册1.1 向量优质教案及反思

《1.3向量的数乘——（1）》教学设计

一、课程标准

通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规律，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义.并且掌握判断两个向量共线的判断定理。

二、教学目标

1.掌握数乘向量的运算及运算律，理解其几何意义；

2.理解并掌握共线向量定义及其判定方法，会根据共线向量定义判断两个向量是否共线；

三、教学重点：了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义，理解共线向量的概念掌握两向量共线的判断定理。

四、教学难点：理解并掌握两向量共线的含义及判断方法。

五、教学过程

（一）创设情境，引入新课

在物理当中位移等于速度乘以时间，大家知道：速度是一个向量，时间是一个数量，这两者可以相乘，还有力与加速度的关系等等都用到了一个向量与一个数量的乘法。思考：一把尺子可以度量所有的线段的长度，能否把某个向量看作一把尺子用这把尺子去度量平面上的所有向量？若不能，那么它可以度量平面内哪些向量？

（二）自主学习，熟悉概念

1.要求：学生阅读P14——16

2.思考：

（1）什么是向量的数乘？具体是怎么规定的？几何意义是什么？

（2）什么是向量的线性运算？其结果是什么？

（3）什么叫共线向量？怎么表示？

（4）两向量共线有什么等价形式？

（5）什么角两向量的夹角？它的范围是什么？

（三）检验自学，强化概念

1.向量的实数倍：一般地，实数λ与向量a的乘积是个向量，记作λa.称为a的λ倍，它的长度|λa|=|λ||a|.

当λ≠0且a≠0时，λa的方向 当λ>0时，与a同向，

                                          当λ<0时，与a反向;

当λ=0或a=0时，λa=0a=0或λa=λ0=0.

2.向量的数乘及几何意义

求向量的实数倍的运算称为向量的数乘。

向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小。

3.向量的线性运算：我们把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算。向量线性运算的结果仍是一个向量。

4.共线向量：当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a, b共线，也称a，b平行，并且用符号“//”来表示它们共线(或平行)，记作a//b.由于零向量的方向是任意的，可以看成与任何一个向量方向相同，因此我们规定:零向量与所有的向量平行。

5.共线向量定理：两个向量平行其中一个向量是另一个向量的实数倍，即存在实数，使得或.

6.向量的夹角： 如图，设a,b是两个非零向量，任选一点O,作OA=a,OB=b,则射线OA, OB所夹的最小非负角∠AOB=θ称为向量a,b的夹角，记作<a,b>，取格范围规定为[0,π]。在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了， 并有<a,b>=<b,a>.

当θ=0时，a, b方向相同；当θ=π时，a, b方向相反.这两种情形下a, b所在直线重合，即a, b共线.

当0<0<π时,a, b所在直线相交于点O,即a,b不共线。

可以规定零向量0与a的夹角为0，零向量与任一向量平行，也可以规定0与a的夹角为，零向量与任一向量垂直。

7.例题讲解

例1 如图3，在中，M，N分别是OA，OB的中点.

设，，试用，表示，，并

比较与的长度和方向。

图3

例2 设A，B，C三点不共线，将下列几何语言用向量语言来描述：（图4）

（1）四边形ABCD是梯形，其中AB，DC是梯形的两底；

（2）M是BC的中点；

（3）N在线段AM上，且|AN|:|NM|=2:1；

（4）P在线段MA的延长线上.

例3.判断下列各题中的向量是否共线：

（1），；

（2），，且，共线．

(三)课堂练习及检测

P16  1,2,3

(四)归纳小结

1.向量的数乘

2.共线向量

3.共线向量定理

4.向量的夹角

（五）作业

1.习题1.3 1,2；

2.预习 《向量的数乘》后半部分

六、教学反思（酌情写一些）

七、板书设计