苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第5章导数及其应用5.2.1　基本初等函数的导数-导学案（含答案）

5.2.1　基本初等函数的导数

1. 能根据定义求常见函数的导数，加深对导数概念的理解，并熟悉具体的求解步骤．

2. 进一步体会由特殊到一般的数学方法，培养归纳和探究一般规律的能力．

3. 体会建立数学理论的过程，感受学习数学和研究数学的一般方法，进一步发展思维能力.

1. 回忆导数的定义及利用定义求导数的过程．

2. 探求函数y＝xn的求导公式．

问题1：常数函数的导数是什么？

问题2：运用导数定义，求下列几个函数的导数：

①f(x)＝kx＋b(k，b为常数); ②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝；⑤f(x)＝.

问题3：通过以上几个函数的求导过程，你有什么发现？

(C)′＝________(C为常数)，

(xn)′＝________(n为常数).

例1　求下列函数的导数：

(1) y＝x12；(2) y＝；(3) y＝.

例2　若f(x)＝x2，求f′(2) 和(f(2))′.

　　3. 求导公式：

(1) (xα)′＝________(α为常数)；

(2) (ax)′＝________(a>0，且a≠1)；

(3) (logax)′＝________＝________(a>0，且a≠1)；

(4) (ex)′＝________；

(5) (lnx)′＝________；

(6) (sinx)′＝________；

(7) (cosx)′＝________.

例3　求下列函数的导函数：

(log2x)′＝________，(3x)′＝________，

(cosx)′＝________，()′＝________，

′＝________，(log3x)′＝________．　

例4　若直线y1＝－x＋b是函数y2＝图象的切线，求常数b及切点的坐标．

求切线问题的一般步骤：

(1) 找切点；(2) 求导数；(3) 求斜率；(4) 写方程．

　求曲线y＝x2在点(1，1)处的切线方程．

　求曲线y＝x3过点(1，1)的切线方程．

　已知直线y＝x－1，P为函数y＝x2图象上的任意一点，求点P到直线距离最短时的坐标．

1. 已知f(x)＝lnx，则f′(e)的值为(　　)

A. 0  B.   C. 1  D. e

2. 下列求导运算中，正确的是(　　)

A. (cosx)′＝sinx  B. (3x)′＝3xlog3e

C. (lgx)′＝  D. (x－2)′＝－2x－1

3. (多选)下列求导运算中，正确的是(　　)

A. ′＝  B. ()′＝

C. (xa)′＝axa－1(a为常数)  D. (logax)′＝′＝

4. 曲线y＝ex(其中e＝2.718 28…)在x＝1处的切线方程为__________．

5. 若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求实数a的值．

参考答案与解析

【活动方案】

1. 略

2. 问题1：常数函数的导数是0.

问题2：①因为＝＝k，

所以 ＝k，故f′(x)＝k.

②因为＝＝2x＋Δx，

所以 ＝2x，故f′(x)＝2x.

③因为＝＝3x2＋3x(Δx)＋(Δx)2，

所以 ＝3x2，故f′(x)＝3x2.

④因为＝＝－，

所以 ＝－，故f′(x)＝－.

⑤因为＝＝，

所以 ＝，故f′(x)＝.

问题3：0　nxn－1

例1　(1) y′＝(x12)′＝12x11.

(2) y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.

(3) y′＝()′＝(x)′＝x－.

例2　由题意，得f′(x)＝2x，则f′(2)＝4.

因为f(2)＝4，所以(f(2))′＝0.

3. (1) αxα－1　(2) axlna　(3) logae　　(4) ex

(5) 　(6)  cosx　(7) －sinx

例3　　3xln3　－sinx　　－3x－4　

例4　由题意，得y′2＝－，切线的斜率k＝－1，

则－＝－1，解得x＝1或x＝－1.

当x＝1时，切点坐标为(1，1)，

所以1＝－1＋b，解得b＝2；

当x＝－1时，切点坐标为(－1，－1)，

所以－1＝1＋b，解得b＝－2.

跟踪训练1　由题意，得y′＝2x，且点(1，1)在曲线上，

则切线斜率k＝2，

故切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.

跟踪训练2　由题意，得y′＝3x2.

若(1，1)是切点，则切线的斜率k＝3，

故切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.

若(1，1)不是切点，设切点为(m，m3)(m≠1)，

则切线的斜率k＝3m2＝，

解得m＝－或m＝1(舍去)，

故切点为，

则切线方程为3x－4y＋1＝0.

综上，曲线过点(1，1)的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.

跟踪训练3　设与直线y＝x－1平行且与函数y＝x2图象相切的直线方程为y＝x＋m，

则切点即为到直线距离最短的点P.

由题意，得y′＝2x，

当2x＝1时，解得x＝，

故点P的坐标为.

【检测反馈】

1. B　解析：由题意，得f′(x)＝，则f′(e)＝.

2. C　解析：(cosx)′＝－sinx，故A错误；(3x)′＝3xln3，故B错误；(lgx)′＝，故C正确；(x－2)′＝－2x－3，故D错误．

3. BCD　解析：′＝－，故A错误；()′＝(x)′＝×x－＝，故B正确；(xa)′＝axa－1(a为常数)，故C正确；(logax)′＝′＝，故D正确．故选BCD.

4. ex－y＝0　解析：当x＝1时，y＝e.又y′＝ex，故切线的斜率为e，所以所求的切线方程为ex－y＝0.

5. 因为y＝x－，所以y′＝－x－，

所以曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，

所以切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．

令x＝0，得y＝a－；令y＝0，得x＝3a.

因为该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，且由题意，得a>0，

所以S＝·3a·a－＝a＝18，

解得a＝64.