苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第5章导数及其应用5.1.1　平均变化率-导学案（有答案）

5.1.1　平均变化率

1. 了解平均变化率的定义， 通过平均变化率体会如何用数学模型刻画变量的变化快慢．

2. 了解函数y＝f(x)在区间[a，b]上的平均变化率．

3. 会从运动的观点理解实际问题，进一步体会建立数学模型刻画客观世界“数学化”的过程．

情境1：我们先来观察如图所示的气温曲线图(以3月18日作为第一天)．

思考1

从曲线图中，你能发现什么？A→B，B→C，哪一段的气温变化快？

思考2

“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？(从形与数两个方面给予解释情境1)

情境2：同学们基本都爬过山，那么平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？这是什么原因？

情境3：在跑步的时候，在相同的时间内，跑得快累，还是跑得慢累？这是什么原因呢？

思考3

(1) 上述三个情境问题有什么共同点？

(2) 数学上用什么量来刻画变化的快慢？

1. 平均变化率．

思考4

结合上述问题总结平均变化率的概念．

思考5

试再举例说明平均变化率．

思考6

如果把上述三个情境问题都看成一个量为x，一个量为y，两者之间都有一个函数关系y＝f(x)，请用代数式子来表示平均变化率．

2. 函数的平均变化率．

思考7

试给出函数的平均变化率的概念．

解决函数平均变化率问题的关键是：

(1) 函数的解析式；

(2) 自变量的变化区间.

例1　某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．

例2　水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s后容器甲中水的体积V(t)＝5e－0.1t(单位：cm3)，试计算第一个10 s内V的平均变化率．

例3　已知函数f(x)＝x2，分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率：

(1) [1，3]；　　　　

(2) [1，2]；

(3) [1，1.1]; 

(4) [1，1.001]．

例4　已知函数f(x)＝－4x＋1，g(x)＝－2x分别计算在区间[－3，－1]和[0，5]上函数f(x)及g(x)平均变化率．

思考8

(1) 若将区间改为[1，1＋Δx]，结果如何？

(2) 一次函数在不同区间上的平均变化率有何特征？

例5　已知曲线f(x)＝x3上的两点P(1，1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)，求直线PQ的斜率，并求当Δx＝0.1 时直线PQ的斜率．

1. 函数f(x)＝x2＋c(c∈R)区间上的平均变化率为(　　)

A. 2  B. 4  C. c  D. 2c

2. 汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为(　　)

A. v2＝v3<v1 

B. v1<v2＝v3

C. v1<v2<v3 

D. v2<v3<v1

3. (多选)甲工厂八年来某种产品的年产量y与时间x(单位：年)的函数关系如图所示，则下列说法中正确的是(　　)

A. 前四年该产品产量的增长速度越来越快

B. 前四年该产品产量的增长速度越来越慢

C. 第四年后该产品停止生产

D. 第四年后该产品的年产量保持不变

4. 函数y＝2x2－4在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率为________．

5. 巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉．登泰山在当地有用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受．下面是一段登山路线图，同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．试用数学语言给出解释．

参考答案与解析

【活动方案】

思考1：容易看出点B，C之间的曲线比点A，B之间的曲线更加“陡峭”．B→C段的气温变化快．

思考2：从形的角度：B→C段的曲线较A→B段更陡峭；从数的角度：气温在区间[1，32]上的平均变化率约为0.5；气温在区间[32，34]上的平均变化率为7.4.

情境2：平缓的山好攀登．因为山越陡峭，当爬山移动的水平距离变化量一定时，垂直距离的变化量越大，从而在陡峭的山攀登平均变化量就越大．

情境3：跑得快累．因为当时间变化量一定时，跑得快的位移变化量就大，从而在这时间内的平均变化量就大．

思考3：(1) 都和平均变化率有关．

(2) 平均变化率．

思考4：量化两点间陡峭程度，并称该比值为平均变化率．

思考5：略

思考6：y＝f(x)＝.

思考7：函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.

例1　从出生到第3个月，该婴儿体重的平均变化率为＝1(kg/月)，

 从第6个月到第12个月，该婴儿体重的平均变化率为＝＝0.4(kg/月)．

例2　 在区间[0，10]上，体积V的平均变化率为≈＝－0.316 1(cm3/s)，

即第一个10 s内容器甲中水的体积的平均变化率为－0.316 1 cm3/s(负号表示容器甲中的水在减少)．

例3　(1) 函数f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为＝4.

(2) 函数f(x)在区间[1，2]上的平均变化率为＝3.

(3) 函数f(x)在区间[1，1.1]上的平均变化率为＝2.1.

(4) 函数f(x)在区间[1，1.001]上的平均变化率为＝2.001.

例4　函数f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为＝－4，

函数f(x)在区间[0，5]上的平均变化率为＝－4；

函数g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为＝－2；

函数g(x)在区间[0，5]上的平均变化率为＝－2.

思考8：(1) 函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率为＝－4，

函数g(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率为＝－2.

综上可知，结果保持不变．

(2) 一次函数在不同区间上的平均变化率等于斜率．

例5　因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，

所以直线PQ的斜率k＝＝(Δx)2＋3Δx＋3.

设当Δx＝0.1时，直线PQ的斜率为k1，则k1＝0.12＋3×0.1＋3＝3.31.

【检测反馈】

1. B　解析：＝＝＝4.

2. C　解析：由题意，得v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC，由题图易知kOA<kAB<kBC，所以v1<v2<v3.

3. BD　解析：设y＝f(x)，由题图可知前四年该产品产量的增长速度越来越慢，故A错误，B正确；由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且f(4)≠0，故C错误，D正确．故选BD.

4. 4＋2Δx　解析：＝＝＝4＋2Δx.

5.  从A处到B处高度的平均变化率为＝＝，从B处到C处高度的平均变化率为＝＝.

由>，知山路从B处到C处比从A处到B处陡峭，

故从A处到B处会感觉比较轻松，从B处到C处会感觉比较吃力．