苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 2.1.3圆的方程(3)（含解析）

2．1.3　圆的方程(3)

1. 掌握圆的标准方程和一般方程的结构特征．

2. 能根据题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题．

3. 能灵活运用圆的几何性质简化运算．

例1　求以点A(1，2)为圆心，并与x轴相切的圆的方程．

　若将本题中的条件“与x轴相切”变为“与y轴相切”，则结果如何？

例2　求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程．

例3　已知线段AB，点B的坐标是(4，3)，点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB中点M的坐标(x，y)中x，y满足的关系，并说明该关系表示的曲线．

　本题能否从圆的定义入手探求点M的轨迹方程？

例4　某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m)．

1. 设点A(2，－1)，B(4，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　)

A. (x－3)2＋y2＝2  B. (x－3)2＋y2＝8

C. (x＋3)2＋y2＝2  D. (x＋3)2＋y2＝8

2. 过两点P(2，2)，Q(4，2)且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是(　　)

A. (x－3)2＋(y－3)2＝2  B. (x－3)2＋(y－3)2＝4

C. (x－1)2＋(y＋2)2＝2  D. (x＋3)2＋(y＋3)2＝2

3. (多选)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4，0)，B是圆C：(x－2)2＋y2＝4上的任一点，P为AB的中点．若点M满足MA2＋MO2＝58，则线段PM的长度可能为(　　)

A. 2  B. 4  C. 6  D. 8

4. 已知圆x2＋y2－2x－4y＋3＝0的圆心到直线x－ay＋1＝0的距离为2，则a＝________．

5. 如图，一座圆拱桥，当水面在直线l的位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽多少米？

参考答案与解析

【活动方案】

例1　因为圆与x轴相切，所以该圆的半径即为圆心A(1，2)到x轴的距离2，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.

跟踪训练　若圆与y轴相切，则圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.

例2　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

则解得

所以圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

例3　设点A的坐标是(x0，y0)．

因为点B的坐标是(4，3)，且M是AB的中点，

所以x＝，y＝，

所以x0＝2x－4，y0＝2y－3.①

因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，

所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，

即(x0＋1)2＋y＝4.②

将①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，

整理，得＋＝1，

所以x，y满足的关系为＋＝1，

故其表示的曲线是以点为圆心，1为半径的圆．

跟踪训练　由题意，可知圆(x＋1)2＋y2＝4的圆心为P(－1，0)，半径为2.

取PB的中点N，其坐标为N.

因为M，N分别为AB，PB的中点，

所以MN∥PA，且MN＝PA＝1，

所以动点M的轨迹为以点N为圆心，1为半径的圆，故所求轨迹方程为＋＝1.

例4　以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，线段OP所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点A，B，P的坐标分别为(－18，0)，(18，0)，(0，6)．

设圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

因为点A，B，P在所求的圆上，

所以解得

所以圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋48y－324＝0.

将点P2的横坐标x＝6代入圆的方程，

解得y＝－24＋12≈5.39(舍去负值)，

故支柱A2P2的高约为5.39m.

【检测反馈】

1. A　解析：根据题意，得该圆的圆心为(3，0)，半径为AB＝，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.

2. A　解析：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.

3. BC　解析：设点P(x，y)．因为P为AB的中点，所以点B(2x＋4，2y)．将点B代入圆C：(x－2)2＋y2＝4，得(2x＋4－2)2＋(2y)2＝4，整理，得点P的轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝1.设点M(a，b)，则(a＋4)2＋b2＋a2＋b2＝58，所以(a＋2)2＋b2＝25，则易知当两圆心和PM共线时取得最大值和最小值，所以3≤PM≤7.故选BC.

4. 0　解析：圆x2＋y2－2x－4y＋3＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2，则圆心为(1，2)，所以圆心(1，2)到直线x－ay＋1＝0的距离为d＝＝2，解得a＝0.

5. 以圆拱桥拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，

则由已知，得点A(6，－2)．

设圆的半径为r，则点C(0，－r)，

所以圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.①

将点A的坐标(6，－2)代入方程①，

得36＋(r－2)2＝r2，解得r＝10，

所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.②

当水面下降1m后，设水面所在的弦的端点为A′，点A的坐标为(x0，－3)，x0>0.

将点A′的坐标(x0，－3)代入方程②，

得x0＝，

所以当水面下降1m后，水面宽为2 m.