活动单导学课程苏教版高中数学选择性必修第一册 1.1.1直线的斜率与倾斜角（有答案）

1．1　直线的斜率与倾斜角

1．1.1　直线的斜率与倾斜角(1)

1. 理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式．

2. 使学生初步感受直线的方向与斜率之间的关系，体会研究直线的方向的变化规律，就是研究直线斜率的变化规律．

　　1. 在日常生活中，我们经常要爬楼梯，那么楼梯的倾斜程度是如何刻画的？

2. 如何用数学语言刻画直线的倾斜程度？

　　对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2(如图1)，那么k＝(x1≠x2)是一个定值，我们称其为直线l的斜率．如果x1＝x2(如图2)，那么直线l的斜率不存在．

图1                              图2

思考1

(1) 当直线确定后，k值与直线上两点的顺序是否有关？ 它的斜率是否确定？

(2) 当直线与x轴平行或重合时，其斜率为多少？

(3) 当直线与x轴垂直时，直线的斜率是否存在？

4. 直线的斜率还可以从什么角度认识？

我们称y2－y1为纵坐标的增量(用Δy表示)，x2－x1为横坐标的增量(用Δx表示)．

图1中，对于与x轴不垂直的直线PQ，它的斜率也可看作k＝.

　　例1　如图，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2)，计算直线l1，l2，l3的斜率．

思考2

由例1可归纳得出：

当直线的斜率为正时，直线有怎样的变化趋势？

当直线的斜率为负时，直线有怎样的变化趋势？

当直线的斜率为0时，直线有怎样的变化趋势？

当直线满足什么条件时，直线的斜率不存在？

例2已知直线l经过点A(m，2)，B(1，m2＋2)，求直线l的斜率．

运用斜率公式求直线斜率时，一定要注意公式中x1≠x2的条件.

例3 经过点(3，2)画直线，使直线的斜率分别为：

(1) ；　　　　　(2) －.

思考3

已知一点和直线的斜率，如何作直线？

思考4

还有其他作法吗？

例4　已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在一条直线上，求实数a的值．

三点共线时，可以利用斜率相等求点的坐标.

1. 经过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率等于1，则实数m的值为(　　)

A. 1  B. 2  C. 3  D. －1

2. 将直线l上的点P沿x轴方向向右平移4个单位长度，再沿y轴方向向上平移3个单位长度，得到的点仍在直线l上，则直线l的斜率为(　　)

A.   B. 2  C.   D. －

3. (多选)若三点A(0，2)，B(2，5)，C(3，b)能作为三角形的三个顶点，则实数b的值可能是(　　)

A. 2  B.    C.  3  D.  5

4. 已知点P(x，－2)在过A(－1，1)，B(1，7)两点的直线上，则x＝________．

5. 已知△OBC三个顶点的坐标分别是O(0，0)，B(4，0)，C(0，3)，求△OBC各边所在直线的斜率．

参考答案与解析

【活动方案】

1. 楼梯的倾斜程度是用坡度刻画的，其中坡度＝，如果楼梯台阶的宽度(级宽)不变，那么每一级台阶的高度(级高)越大，坡度就越大，楼梯就越陡．

2. 类似于楼梯倾斜程度的刻画，倾斜程度＝.　

思考1：(1) k值与直线上两点的顺序无关，斜率是定值．(2) 当直线与x轴平行或重合时，斜率为0.(3) 当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在．(4) 斜率是直线倾斜程度的数量化，是一比值．

例1　设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0.

思考2：当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜；

当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜；

当直线的斜率为0时，直线与x轴平行或重合；

当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在．

例2　当m＝1时，直线l的斜率不存在；

当m≠1时，直线l的斜率k＝＝.

例3　(1) 如图1，根据斜率＝，斜率为表示直线上的任一点沿x轴方向向右平移4个单位长度，再沿y轴方向向上平移3个单位长度后仍在此直线上．将点(3，2)沿x轴方向向右平移4个单位长度，再沿y轴方向向上平移3个单位长度后得到点(7，5)，即可确定直线．

(2) 如图2，因为－＝，所以将点(3，2)沿x轴方向向右平移4个单位长度，再沿y轴方向向下平移3个单位长度后得到点(7，－1)，即可确定直线．

图1                          图2

思考3：略

思考4：略

例4　kAB＝＝，kBC＝＝.

因为A，B，C三点在一条直线上，所以kAB＝kBC，即＝，解得a＝2或a＝.

【检测反馈】

1. A　解析：由题意，得kPQ＝＝1，解得m＝1.

2. C　解析：k＝＝.

3. ACD　解析：由题意，得kAB≠kAC，则≠，整理，得b≠.故选ACD.

4. －2　解析：因为点P(x，－2)在过A(－1，1)，B(1，7)两点的直线上，所以kPA＝kAB，即＝，解得x＝－2.

5. OB边所在直线斜率为kOB＝＝0，OC边所在直线的斜率不存在，BC边所在直线的斜率为kBC＝＝－.