活动单导学课程苏教版高中数学选择性必修第一册 1.5.1平面上两点间的距离（有答案）

1．5.1　平面上两点间的距离

1. 探索并掌握平面上两点间的距离公式．

2. 掌握平面上连接两点的线段的中点坐标公式．

3. 运用距离公式和中点坐标公式解决一些简单的问题．

1. 回忆初中数轴上两点间的距离公式：

问题1：在平面直角坐标系中，已知点P1(－1，3)，P2(3，－2)，则它们之间的距离是多少？如何转化为坐标轴上(或平行于坐标轴)的距离问题？

问题2：对于平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，它们之间的距离是多少？

思考1

当x1＝x2时，P1P2的值是多少？当y1＝y2时，P1P2的值是多少？原点O(0，0)与任意一点P(x，y)之间的距离OP的值是多少？

例1　(1) 求A(－1，3)，B(2，5)两点间的距离；

(2) 已知A(0，10)，B(a，－5)两点间的距离是17，求实数a的值．

问题3：在平面直角坐标系中，若两点P1(－5，－2)，P2(3，4)，则线段P1P2的中点坐标是什么？如何求得？

问题4：对于平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则点M的坐标是____________．

思考2

已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，M(x0，y0)，其中求证：M为P1P2的中点．

例2　已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(4，7)，求BC边上的中线AM的长和中线AM所在直线的方程.

例3　已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，试建立适当的平面直角坐标系，求证：AM＝BC.

求解这类问题的一般步骤：

(1) 建立平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；

(2) 根据距离公式进行有关代数运算；

(3) 把代数结果“翻译”成几何关系．

　已知点A(3，－1)，B(，)，C(3，4)，试判断△ABC的形状．

例4　已知直线l：y＝x－1.

(1) 求直线l关于点(2，3)对称的直线方程；

(2) 求点P(3，4)关于直线l对称的点Q.

　已知点M(－1，3)，N(6，2)，点P在x轴上，且使PM＋PN取最小值，求点P的坐标．

1. 已知点M(m，－1)，N(5，m)，且MN＝2，则实数m的值为(　　)

A. 1  B. 3  C. 1或3  D. －1或3

2. 光线从点A(－3，5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从点A到点B的路程为(　　)

A. 5  B. 2  C. 5  D. 10

3. (多选)已知一条平行于x轴的线段长是5个单位长度，若它的一个端点是A(2，1)，则它的另一个端点B的坐标可以是(　　)

A. (－3，1)  B. (7，1)  C. (5，1)  D. (2，5)

4. (1) 已知两点P(1，－4)，A(3，2)，则点A关于点P的对称点B的坐标为________；

(2) 点A(2，2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标为________．

5. 已知正方形ABCD的边长为4，若E是BC的中点，F是CD的中点，试建立平面直角坐标系，求证：BF⊥AE，BF＝AE.

参考答案与解析

【活动方案】

1. 略

问题1：过点P1向x轴作垂线，过点P2向y轴作垂线，两条垂线交于点Q，则点Q的坐标为(－1，－2)，且QP1＝|3－(－2)|＝5，QP2＝|3－(－1)|＝4.在Rt△P1QP2中，P1P＝QP＋QP＝52＋42＝41，故P1，P2两点之间的距离为.

问题2：P1P2＝

思考1：|y2－y1|　|x2－x1|　

例1　(1) AB＝＝.

(2) AB＝＝17，

解得 a＝±8.

问题3：(－1，1)

问题4：

思考2：略

例2　因为M是线段BC的中点，所以点M的坐标为(1，3)．由两点间的距离公式，得AM＝2.

由两点式方程得中线AM所在直线的方程为＝，即x＋y－4＝0.

例3　如图，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，

设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)．

因为M是BC的中点，

所以点M的坐标为.

由两点间的距离公式，得

AM＝＝，

BC＝，所以AM＝BC.

跟踪训练　由两点间的距离公式，得

AB＝＝，

AC＝＝5，

BC＝＝.

因为AB＝BC，且AC2＝AB2＋BC2＝25，

所以△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．

例4　(1) 设M(a，b)为所求直线上的任意一点，其关于点(2，3)的对称点N的坐标为(4－a，6－b)．因为点N在直线l上，所以6－b＝(4－a)－1，即a－2b＋10＝0，所以所求直线的方程为x－2y＋10＝0.

(2) 设点Q(x0，y0)，由题意，得PQ⊥l，且PQ的中点在直线l上，

所以解得

所以点Q.

跟踪训练　点M(－1，3)关于x轴的对称点为M′(－1，－3)，连接M′N，则直线M′N与x轴的交点即为所求的点P.

直线M′N的方程为＝.

令y＝0，解得x＝，

所以点P的坐标为.

【检测反馈】

1. C　解析：由题意，得＝2，解得m＝1或m＝3.

2. C　解析：点A(－3，5)关于x轴的对称点为A′(－3，－5)，则光线从点A到点B的路程即A′B的长，A′B＝＝5，即光线从点A到点B的路程为5.

3. AB　解析：因为AB∥x轴，所以设B(a，1)．又AB＝5，所以a＝－3或a＝7.故选AB.

4. (1) (－1，－10)　解析：设点B的坐标为(a，b)，则解得故点B的坐标为(－1，－10)．

(2) (1，4)　解析：设对称点为A′(m，n)，则解得故对称点的坐标为(1，4)．

5. 建立平面直角坐标系，如图所示．

则B(4，0)，E(4，2)，F(2，4)，A(0，0)．

所以kAE＝＝，kBF＝＝－2，

所以kAE·kBF＝×(－2)＝－1，即BF⊥AE.

又因为BF＝＝2，AE＝＝2，所以BF＝AE.