专题14 直线与抛物线位置关系（重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）

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专题14 直线与抛物线的位置关系
一、考情分析

二、考点梳理
考点一 与焦点弦有关的常用结论

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
考点二 与抛物线有关的经典结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
三、题型突破
重难点题型突破1 直线与抛物线位置关系
例1．（1）、（2020·北京八中高三期中）已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．


（2）．（2022·全国·高三专题练习（理））已知过点的抛物线的焦点为F，点P是其准线l上一点，连接PF并延长交抛物线C于点Q.若，则等于（ ）
A． B． C．6 D．9


【变式训练1-1】．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学二模（文））已知点，抛物线：的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点.若，则的值等于________.

【变式训练1-2】．（2020·陕西省西安中学高三二模）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A． B． C． D．

例2．已知动点在轴的右侧，且点到轴的距离比它到点的距离小1.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设斜率为且不过点的直线交于两点，直线的斜率分别为 ，求的值.









【变式训练2-1】．（2020·河南省开封市高三模拟（理））已知抛物线抛物线上的点
（1）求直线斜率的取值范围；
（2）延长与以为直径的圆交于点求的最大值.

重难点题型突破2 抛物线与其他圆锥曲线的综合问题
例3．（2021·安徽·高三开学考试（文））已知圆C与过点且垂直于x轴的直线仅有1个公共点，且与圆外切，则点C的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．


【变式训练3-1】．已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为___________．


例4、（2020届江西省九江市高三第二次模拟）过点的动直线l与y轴交于点，过点T且垂直于l的直线与直线相交于点M.
（1）求M的轨迹方程；
（2）设M位于第一象限，以AM为直径的圆与y轴相交于点N，且，求的值.

【变式训练4-1】．（2020届湖北省宜昌市高三调研）已知抛物线和直线，直线恒过圆P的圆心，且圆P上的点到直线的最大距离为2.
（1）求圆P的方程；
（2）直线与抛物线C和圆P都相交，且四个交点自左向右顺次记为A、B、C、D．如果，求直线的方程.

重难点题型突破3 其它综合问题
例5、（2022·全国·高三专题练习（理））在《西游记》中，凤仙郡太守生气时误推倒祭祀玉帝的贡桌，玉帝一怒之下下令凤仙郡三年不能下雨，于是孙悟空和猪八戒上天庭去找玉帝理论，玉帝要求鸡要吃完米，狗要舔完面，火烧断了锁才能下雨.孙悟空打量着形如圆锥的面山，让猪八戒从面山脚下H出发经过的中点到，大致观察一下该面山，如图所示，若猪八戒经过的路线为一条抛物线，，底面圆O的面积为16π，为底面圆的一条直径，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）

A． B． C． D．
例6．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（理））椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于两点，与交于两点﹒
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【变式训练6-1】．（2020届四川省泸州市高三二诊）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P在C上，若PF⊥x轴，且△POF（O为坐标原点）的面积为1.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若C上的两动点A，B（A，B在x轴异侧）满足，且|FA|+|FB|＝|AB|+2，求|AB|的值.

四、定时训练（30分钟）
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点，的重心为点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2021·内蒙古乌兰察布·一模（文））已知F是抛物线y2=4x的焦点，点M在此抛物线上，且它的纵坐标为6，以M为圆心，|MF|为半径作圆，过Q(﹣1，﹣4)引圆M切线QA､QB，则∠AQB=（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
3．（2021·天津市武清区杨村第一中学高三月考）如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________．

4．（2021·全国·高三专题练习（文））已知抛物线：的焦点为，圆，为抛物线上一点，且，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为___________.

5．（2021·河南·高三月考（文））已知抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，当，两点的纵坐标相同时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）若，为抛物线上两个动点，，为的中点，求点纵坐标的最小值.

6．（2021·陕西咸阳·高三开学考试（文））已知抛物线的焦点为是抛物线上一点且三角形MOF的面积为（其中O为坐标原点），不过点M的直线l与抛物线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M，过点M作交PQ于点N.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程.