专题05 统计（重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）

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专题05 统计
一、考情分析

二、考点梳理
（一）、随机抽样
知识点1 简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.
知识点2 系统抽样
(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样.
(2)系统抽样的操作步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.
①先将总体的N个个体编号；
②确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k＝；
③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
④按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本.
知识点3 分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.
(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.
【知识拓展】
1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.
2.系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍.
3.分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.
（二）、用样本估计总体
知识点4 频率分布直方图
(1)频率分布表的画法：
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)

横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.
知识点5 茎叶图
统计中一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.
知识点6 样本的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数.
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝，s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].
【知识扩展】
1.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
2.平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
（三）、相关关系分析
知识点7 相关关系与回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.
(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.
(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.
(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系.
知识点8 线性回归方程
（1）最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
（2）回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：，其回归方程为，则注意：线性回归直线经过定点．
（3）相关系数：．
知识点9 回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心.
(3)相关系数
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关.
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.
r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.
(4)相关指数：R2＝1－.其中 (yi－i)2是残差平方和，其值越小，则R2越大(接近1)，模型的拟合效果越好.
【知识拓展】
1.求解回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用回归直线过样本中心点(，).
2.根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大.
3.根据回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.
三、题型突破
重难点题型突破1 三种随机抽样的方法
例1．（1）（2021·广西高三开学考试（理））为了解学生数学能力水平，某市A､B､C､D四所初中分别有200，180，100，120名初三学生参加此次数学调研考试，现制定以下两种卷面分析方案：方案①：C校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试卷进行分析；方案②：从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析.完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是（ ）
A．分层抽样法､系统抽样法 B．分层抽样法､简单随机抽样法
C．系统抽样法､分层抽样法 D．简单随机抽样法､分层抽样法
【答案】D
【分析】
根据不同类型的抽样的定义，即可判断选项.
【详解】
方案①中的学生都是培优生，差别不大，且人数不多，宜采用简单随机抽样，
方案②的学生比较多，且来自4所不同的学校，差别较大，宜采用分层抽样，
故选：D
（2）．（2021·浙江金华·）已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为、、．现采用分层抽样的方法从中抽取名同学去某敬老院参加慈善活动，其中高一年级被抽取的人数为，则______．
【答案】
【分析】
根据分层抽样的特点列等式可求得的值.
【详解】
由题意可得，解得.
故答案为：.
（3）．（2021·河北沧州市一中高一月考）某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，，599，600，从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第5行到第7行：

若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第8个样本编号为（ ）
A．324 B．345 C．577 D．578
【答案】B
【分析】
根据随机数表法抽取，第6行第6列开始抽取三位数，即开始，再逐个判断即可
【详解】
由题，第6行第6列开始抽取三位数，分别为不满足，满足，不满足，满足，满足，满足，不满足，不满足，满足，已有故不满足，满足，满足，已有故满足，不满足，满足且为第8个样本编号
故选：B
【点睛】
本题主要考查了随机数表法进行样本抽样，需要注意重复的编号不选，属于基础题
（4）．（2021·新蔡县第一高级中学高一月考）学校为了解900名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，3，…，900，从这些新生中用系统抽样方法抽取100名学生进行体质测验.若26号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 （ ）
A．18学生 B．269号学生 C．616号学生 D．815号学生
【答案】B
【分析】
根据抽样间隔可知若26号学生被抽到，则被抽到，对四个选项逐个判断可得答案.
【详解】
依题意抽样间隔为，若26号学生被抽到，则被抽到，
由可知不是整数，故A不正确；
由得符合题意，故B正确；
由可知不是整数，故C不正确；
由可知不是整数，故D不正确；
故选：B
【变式训练1-1】．（2019·贵阳市清镇养正学校（理））将参加军训的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，则第Ⅱ营区被抽中的人数为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【分析】
求得间隔为12，得出抽到的号码为，列出不等式即可求解.
【详解】
根据系统抽样的特征可得抽取的间隔为，
又随机抽得的号码为003，则抽到的号码为，
则第Ⅱ营区被抽中的号码满足，解得，则，
则可得第Ⅱ营区被抽中的人数为17人.
故选：B.
【变式训练1-2】．（2021·河南商丘·）某花卉种植园有红、黄、白三个品种的菊花，红色菊花有盆、黄色菊花有盆、白色菊花有盆，现要按照三种颜色菊花的数量比例用分层抽样的方法从中抽取盆参加花展，则需要抽取______盆黄色菊花.
【答案】16
【分析】
直接根据分层抽样公式计算即可.
【详解】
三个品种的菊花共有盆，需要抽取黄色菊花盆.
故答案为:
【变式训练1-3】．（2021·江西丰城九中高一月考）从编号依次为的人中选取人，现从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，由左向右依次选取两个数字，则第五个编号为（ ）
5308
3395
5502
6215
2702
4369
3218
1826
0994
7846
5887
3522
2468
3748
1685
9527
1413
8727
1495
5656

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，依次读取，舍去不在范围内和重复的数字，即可得到答案．
【详解】
解：从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，依次读取：
08，33（舍，95（舍，55（舍，02，62（舍，15，27（舍，02（舍，43（舍，69（舍，32（舍，18，18（舍，26（舍，09，则第五个编号为09．故选：C．
重难点题型突破2 用样本估计总体
例2．（1）（2021·南昌市新建区第一中学高二月考（文））长春市统计局对某公司职工月收入在1000～4000元内，根据统计所得数据画出样本的频率分布直方图（如图）(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示职工月收入在区间内，单位：元)，则该公司员工平均月收入__________元.

【答案】2400
【分析】
利用频率分布直方图平均数的估计公式，代入数据即得解
【详解】
由题意，该公司员工平均月收入可估计为：

故答案为：2400
（2）．（2021·河南高一期末）《河南省电信条例》于2021年1月1日起施行，规定任何单位和个人未经电信用户同意，不得向其发送商业性信息某调研小组对某社区居民持有的部手机在某特定时间段内接收的商业性信息进行统计，绘制了如下所示的茎叶图，现按照接收的商业性信息由少到多对被调查的手机进行编号为号，再用系统抽样方法从中依次抽取部手机，若被抽取的第一部手机接收商业性信息的条数是，则第部手机接收的商业性信息的条数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
结合系统抽样以及茎叶图确定正确选项.
【详解】
因为被抽取的第一部手机接收商业性信息的条数是，结合系统抽样可知，从被抽取的第二部手机开始，被抽取手机所接收的商业性信息的条数分别为､､､､､.
所以第部手机接收商业性信息的条数为.
故选：B.
（3）．（2021·云南昆明市·高三（文））联合国《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年10月11日至15日和2022年上半年分两阶段在中国昆明举行．为了让广大市民深入了解COP15，展现春城昆明的城市形象，2021年6月5日全国30个城市联动举行了“2021COP15春城之邀——一粒来自昆明的种子”活动，活动特别准备了2万份“神秘”花种盲盒，其中有一种花种的花卉，其植株高度的一个随机样本的频率分布直方图如图所示，根据这个样本的频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）

A．这种花卉的植株高度超过的估计占25%
B．这种花卉的植株高度低于的估计占5%
C．这种花卉的植株高度的平均数估计超过
D．这种花卉的植株高度的中位数估计不超过
【答案】D
【分析】
对于AB，利用频率分布直方图求解对应的频率判断即可，对于C，利用频率分布直方图求平均数判断，对于D，由频率分布直方图可得中位数在40-50之间，然后列方程求解即可
【详解】
对于A，由频率分布直方图可知，这种花卉的植株高度超过的频率为，所以这种花卉的植株高度超过的估计占25%，所以A正确，
对于B，由频率分布直方图可知，这种花卉的植株高度低于的频率为，所以这种花卉的植株高度低于的估计占5%，所以B正确，
对于C，这种花卉的植株高度的平均数约为，所以C正确，
对于D，因为，，所以中位数在40-50之间，设中位数为，则，解得，所以D错误，
故选：D
【变式训练2-1】．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））张先生去某城市参加学术会议，拟选择在会议中心附近的A、B两酒店中的一个人住．两酒店条件和价格相当，张先生在网上查看了最近入住两个酒店的客人对两酒店的综合评分，并将评分数据记录为如图的茎叶图．记A、B两酒店的宗合评分数据的均值为，，方差为，，若以此为依据，下述判断较合理的是（ ）

A．因为，，应选择A酒店 B．因为，，应选择A酒店
C．因为，，应选择B酒店 D．因为，，应选择B酒店
【答案】B
【分析】
先根据茎叶图得到A，B酒店的评分数值，再根据平均数和方差公式求解．
【详解】
由茎叶图可知A酒店的评分分别为：72，86，87，89，92，94，
B酒店的评分分别为：73，74，86，88，94，95，
所以，
即，
故选：B．
【变式训练2-2】．（2020·云南省楚雄天人中学高二月考）某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．估计这次测试中数学成绩的平均分为_________．

【答案】72
【分析】
根据频率分布直方图的平均数计算公式即可求解．
【详解】
数学成绩的平均分为

故答案为：72
【变式训练2-3】．（2021·四川乐山·高二期末（理））甲、乙两名篮球运动员在几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和为__________．

【答案】52
【分析】
根据茎叶图的数据以及中位数的定义，求出两组数据的中位数，求和，即得解.
【详解】
解：由茎叶图知：甲组数据为：12，15，23，24，31，44， 49，
乙组数据为：13，22， 23， 28，35，44，47，
甲组数据的中位数为：24，乙组数据的中位数为：28，
故甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和是.
故答案为：.
例3．（2021·河北张家口·高一期末）某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图.

（1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；
（2）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求这组抽取的人数.
【答案】（1）众数为75，中位数为；（2）7人.
【分析】
（1）根据中位数和众数的定义结合频率分布直方图即可得出答案；
（2）根据频率分布直方图分别求出，，的人数，任何根据分层抽样即可求出从抽取的人数.
【详解】
解：（1）由题意得众数为75，
的频率为，
的频率为，
设中位数为a，，.
（2）的人数：，的人数：，的人数：，抽样比例为，
从抽取的人数：.
例4．（2020·贵州遵义·蟠龙高中高二月考（文））某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．

（1）求直方图中的值；
（2）求理科综合分数的平均数和中位数；
【答案】（1）；（2），
【分析】
（1）根据各矩形的面积和为1可求的值.
（2）利用频率分布直方图的平均数和中位数估计公式，可得解.
【详解】
（1）由频率分布直方图可得
，
解得：.
（2）理科综合分数的平均数为：

.
由于
因此理科综合分数的中位数在内，
设中位数为，由，可得，
∴月平均用电量的中位数为224

重难点题型突破3 相关关系
例5．（1）（2021·全国高二课时练习）已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如表所示，则下列结论错误的是（ ）

6
8
10
12

6

3
2

A．变量，之间具有负相关关系
B．
C．可以预测，当时，
D．由表格数据知，该回归直线必过点
【答案】B
【分析】
由于线性回归直线过样本中心点，从而可出的值，利用回归方程判断ACD
【详解】
对于A，由回归方程为，可知变量，之间具有负相关关系，所以A正确；
对于B，∵，∴．
∴，解得，所以B错误；
对于C，当时，，所以C正确；
对于D，当时，，所以回归直线过点（9，4），所以D正确.
故选：B．
（2）．（2021·全国高二课时练习）某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用（万元）与销售利润（万元）的统计数据如下表，由表中数据，得线性回归直线，则下列结论错误的是（ ）
广告费用（万元）
2
3
5
6
销售利润（万元）
5
7
9
11

A． B．
C．直线过点 D．直线过点
【答案】D
【分析】
通过散点图确定AB选项的正确性，通过样本中心点确定CD选项的正确性.
【详解】
作出散点图如图所示.

通过散点图可知线性回归直线是递增型，所以，
也可以观测到在轴的截距是大于零的，所以，
又，，
所以线性回归直线过这一点.
故选：D.
（3）．（2021·全国高二课时练习）对某高三学生在连续九次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下散点图.下面关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（ ）

①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步升高；
②该同学在这连续九次测试中的最高分与最低分的差超过40分；
③该同学的数学成绩与考试次数可用直线拟合．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】
根据散点图上的点的变化趋势可判断①③，由最高点和最低点的成绩差判断②.
【详解】
根据散点图可知该同学的成绩与考试次数变化趋势相同，所以①③均正确；第一次的成绩在90分以下，第九次的成绩在130分以上，所以②正确，
故选：D．
【变式训练5-1】．（2021·奉新县第一中学高二月考（文））具有线性相关关系的变量，，满足一组数据如表所示，与的回归直线方程为，则的值为











A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将数据的中心点计算出来，代入回归方程，计算得到答案.
【详解】

中心点为：代入回归方程

故答案选A
【点睛】
本题考查了回归方程过中心点的知识，意在考查学生的计算能力.
【变式训练5-2】．（2021·湖北高三开学考试）海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度（‰）对亩产量（吨）的影响，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如下表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量与海水浓度之间的相关关系，最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为，则___________
海水浓度（‰）
3
4
5
6
7
亩产量（吨）
0.52
0.48
0.39
0.3
0.21

【答案】
【分析】
根据平均数的计算公式求得样本中点，把样本中心代入回归方程，即可求解.
【详解】
由表格中的数据，可得，，
把点代入回归方程，可得，解得.
故答案为：.
【变式训练5-3】．（2021·镇江江河艺术高级中学有限公司高二期中）某小吃店的日盈利y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间有如下数据：
x/℃


0
1
2
y/百元
5
a
2
2
1
若y与x线性相关，由上表数据求得线性回归方程为，则_____________．
【答案】4
【分析】
由于样本中心点满足线性回归方程，所以求出中心点的坐标代入线性回归方程中可求得结果
【详解】
解：，
因为线性回归方程为，
所以，解得，
故答案为：4
例6．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））某公司2014年至2020年的年利润关于年份代号的统计数据如表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
年利润（单位：亿元）
29
33
36
44
48
52
59
（1）求关于的线性回归方程；
（2）预测该公司年的年利润．
参考公式：．
【答案】（1）；（2）63亿元．
【分析】
（1）根据已知条件，求出，，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．
（2）将代入上式的线性回归方程中，即可求解．
【详解】
（1）根据表中的数据可得，
，，
，
，
故，
所以，
所以关于的线性回归方程为．
（2）由题意可知，2021年对应，
故当时，，
预测该公司年的年利润为亿元．
例7．（2021·全国高二课时练习）某个服装店经营某种服装，在某周内每天获得的纯利润（元）与该周每天销售这种服装数量（件）之间的一组数据关系如下表：

3
4
5
6
7
8
9

66
69
73
81
89
90
91
已知：，，.
参考公式：线性回归方程是，其中，.
（1）求，；
（2）画出散点图；
（3）求每天的纯利润与每天销售数量之间的线性回归方程.
【答案】（1），；（2）图象见解析；（3）.
【分析】
（1）根据公式可求，；
（2）根据题设中的数据表可绘制散点图；
（3）利用公式可求线性回归方程.
【详解】
（1），；
（2）散点图如图所示

（3）由散点图知，与具有线性相关关系，设线性回归方程为
∵，，，.
∴，，
∴线性回归方程为.
四、定时训练（30分钟）
1．（2021·南昌市新建区第一中学高二月考（理））如图是根据x，y的观测数据得到的散点图，可以判断变量x，y具有线性相关关系的图是（ ）

A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【答案】B
【分析】
根据变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左上到右下或从左下到右上，再依次判断即可.
【详解】
若变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左上到右下或从左下到右上，
所以③④图的变量具有线性相关关系.
故选：B
2．（2021·黑龙江（文））为了了解山高（km）与气温（℃）的关系，登山人员随机抽测了5次山高与相应气温，如下表：
气温（℃）
22
14
8


山高（km）
22
33
38
47
52
由表中数据，得到线性回归方程，由此估计山高处气温大约为（ ）
A．℃ B．℃ C．℃ D．℃
【答案】B
【分析】
计算出，代入，求得，进而得解.
【详解】
由题得，，
代入，解得
当时，，.
故选：B
3．（2021·全国高二课时练习）某大型汽车销售店销售某品牌型汽车，已知该型汽车的价格与月销售量之间有如下关系：
价格/（万元/辆）
25
23.5
22
20.5
月销售量/辆
30
33
36
39
若型汽车的月销售量与价格之间的关系满足经验回归方程，则型汽车价格降到19万元/辆时，月销售量大约是（ ）
A．39辆 B．42辆 C．45辆 D．50辆
【答案】B
【分析】
由题可求样本中心，再利用回归直线即求.
【详解】
由表中数据可求得，，
代入经验回归方程，得，所以，
将代入经验回归方程，得，
即月销售量大约为42辆.
故选：B.
4．（2021·南昌市第三中学（理））总体由编号为01，02，03，…，29，30的30个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第4列开始由左向右读取，读取完毕后转下一行继续读取，则读出来的第4个个体的编号为________．
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01

【答案】02
【分析】
根据规则，依次读取5个数，即得答案.
【详解】
第1行的第4列开始，读取的数是20,26,24,02，03，
所以读出来的第4个个体的编号是02.
故答案为：02
5．（2021·长宁区·上海市延安中学高二期末）某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取__________名学生.
【答案】40
【分析】
首先算出高三的学生人数，然后可得答案.
【详解】
高三的学生有名
所以在该学校的高三应抽取名学生
故答案为：40
6．（2021·江西省修水县英才高级中学高一月考）某汽车研究院现有300名研究员，他们的学历情况如图所示该研究院今年计划招聘一批新研究员，并决定不再招聘本科生，且使得招聘后本科学历的研究员比例下降到15%，硕士学历的研究员比例不变，则该研究院今年计划招聘的硕士学历的研究员人数为______.

【答案】40
【分析】
根据题意，设今年招聘的硕士生人，博士生人，由扇形图分析可得现有本科生和硕士生的人数，进而可得方程组，变形解可得的值，即可得答案．
【详解】
解：根据题意，设今年招聘的硕士生人，博士生人，
又由现有研究员300人，其中本科生人，硕士生人，
则有，解得；
故答案为：40．
7．（2021·天津西青·）对两个变量x，y进行回归分析．
①残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；
②相关系数的绝对值接近于0，两个随机变量的线性相关性越强；
③在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应变量平均增加个单位；
④某人研究儿子身高与父亲身高的关系，得到经验回归方程，当时，，即：如果一个父亲的身高为，则儿子的升高一定为．
则以上结论中正确的序号为__________．
【答案】①③
【分析】
根据残差和相关系数的意义判定①②；根据线性回归方程的意义判定③④.
【详解】
根据残差的定义，可知①正确；相关系数绝对值越接近于1，线性相关性越强，故②错误；
由回归方程的意义，根据回归方程的解释变量的系数为0.3, 变量平均增加个单位，
故③正确；
回归方程是表示一种统计规律，具有随机的不确定性，不能说一定是，故④错误；
故答案为：①③.



8．（2021·安徽高二期中（文））已知，的取值如下表：

2
3
4
5

3.2
4.8
7.3

若与线性相关，且回归直线方程为，则实数的值为__________．
【答案】8.7
【分析】
利用线性回归直线过样本中心点求解.
【详解】
因为，，
所以，解得．
故答案为：.
9．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展“中国汉字听写大会”的活动为响应学校号召高二9班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩所得数据分别为
甲:68，69，71，72，74，78，83，85;
乙:65，70，70，73，75，80，82，85.
（1）求甲、乙两人成绩的平均数和中位数;
（2）现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度你认为派哪位学生参加比较合适?
【答案】（1）甲、乙的平均数、中位数分别为{75，73}、{75，74}；（2）甲成绩稳定.
【分析】
（1）应用平均值、中位数的求法，求几个数的平均数、中位数；
（2）应用方差的求法求甲、乙的方差，根据方差的大小确定选派人选.
【详解】
（1）甲的平均数为= (68+69+71+72+74+78+83+85)÷8=75，中位数为(72+74)÷2=73，
乙的平均数为=(65+70+70+73+75+80+82+85)÷8=75，中位数为(73+75)÷2=74.
（2）甲的方差为s12=[(68-75)2+(69-75)2+(71-75)2+ (72-75)2+(74-75)2+(78-75)2+(83-75)2+
(85-75)2]÷8=35.5，
乙的方差为s22=[(65-75)2+(70-75)2+(70-75)2+(73-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(82-75)2+(85-75)2] ÷8=41，
∵s12 ∴甲成绩稳定.
10．（2020·安徽立人中学高二期末（文））某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐.为了解员工手机流量使用情况，通过抽样得到100位员工每人手机月平均使用流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如图所示.

（1）求图中a的值；
（2）估计该企业的100位员工手机月平均使用流量的中位数；
（3）据了解，某网络运营商推出A､B两款流量套餐，详情如下：

月套餐费（单位：元）
月套餐流量（单位：M）
A
10
700
B
15
1000
流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费.如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含的流量）需要5元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零.该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费及购买流量叠加包所需月费用.若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？
【答案】（1）；（2）；（3）该企业订购A套餐更经济.
【分析】
（1）根据概率之和等于1，结合频率分布直方图即可得出答案；
（2）根据频率分布直方图即可求得中位数；
（3）分别求出两种套餐的平均数，然后比较大小即可得出结论.
【详解】
解：（1）由图可得，解得.
（2）设中位数为x，则由图可得，解得.
（3）若该企业选择A套餐，则100位员工每人所需费用可能为10元，15元，20元，每人每月使用流量的平均费用为，
若该企业选择B套餐，则100位员工每人所需费用可能为15元，20元，每人每月使用流量的平均费用为，
所以该企业订购A套餐更经济.