专题12 直线与双曲线位置关系（重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）

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专题12 直线与双曲线的位置关系
一、考情分析

二、 考点梳理
直线与双曲线的位置关系：
秒杀思路：直线与双曲线的位置关系:i.第一角度:;
ii.第二角度:(从交点个数);
如交到同一支上条件的限定:右支: ;左支:;
或者直接利用与渐近线的关系旋转得到。


三、题型突破
重难点题型突破1 求双曲线的离心率
例1．（1）、（2021·山西平城·大同一中高二月考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，分别是和的离心率，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意设焦距为，椭圆长轴长，双曲线实轴长为，取椭圆与双曲线在一象限的交点为，由已知条件结合椭圆双曲线的定义推出，可得，再利用基本不等式即可求出的最小值.
【详解】
由题意设焦距为，椭圆长轴长，双曲线实轴长为，
取椭圆与双曲线在一象限的交点为，
由椭圆和双曲线定义分别有
，，
因为，所以，③
因为，
所以，④
所以，即，
所以，即，
则
当且仅当即，时等号成立，
所以最小值为，
故选：B.
（2）．（2021·济南市历城第二中学高三开学考试）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是△的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是________．
【答案】
【分析】
设的内切圆半径为，由，用的边长和表示出不等式中的三角形面积，结合双曲线的定义得到与的不等式，可求出离心率取值范围.
【详解】
设的内切圆的半径为，

由双曲线的定义可得，
则，
因为，所以，
可得，
故，
故答案为：.
【变式训练1-1】、（2021·孟津县第一高级中学（文））设为坐标原点，双曲线的右焦点为，点是上在第一象限的点，点满足，且线段互相垂直平分，则的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由垂直平分得，由此列出的方程组，解得，由中点坐标公式求得点坐标，代入双曲线方程得关于的方程，整理后可求得离心率．
【详解】
因为线段互相垂直平分，所以，故，而，解得，
故的中点坐标为，从而，
代入中，，
故，即，
故选：B.
【变式训练1-2】、（2021·四川省内江市第六中学高三月考（文））双曲线：（）的左、右焦点分别为、，过的直线与圆相切于点，与的右支交于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知求出，即得解.
【详解】

如图，由题得.
因为,所以.
故选：C
重难点题型突破2 与双曲线有关的弦长问题
例3．（2021·全国高三月考（理））已知双曲线(，)的左､右焦点分别为，，点是双曲线渐近线上一点，且(其中为坐标原点)，交双曲线于点且，则双曲线的离心率为___________.
【答案】
【分析】
首先设出焦点，然后根据题意以及双曲线定义，利用、、表示出和的各个边长，并结合余弦定理即可求解.
【详解】
根据双曲线的对称性，不妨设点在第二象限，
设，因为，点到直线的距离，
所以，又因为，所以，
因为，所以，
由双曲线的定义可知，，
在中，由余弦定理可得，，
又由，整理得，所以，
故离心率.
故答案为：.
（2）．（2021·全国高二课时练习）设双曲线上有两点，，中点，则直线的方程为________________．
【答案】
【分析】
设，，则，，利用点差法可求出直线的斜率，再由点斜式可得直线的方程.
【详解】
设，，则，，
则 ，两式相减得，
，
所以直线的方程为即，
代入满足，所以直线的方程为.
故答案为：.
【变式训练2-1】、（2021·全国高二单元测试）过双曲线C：（）的一个焦点和C两支都相交的直线l与椭圆相交于点A，B，若C的离心率为，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】
利用双曲线离心率，先求出，进而求出，得到椭圆的方程，画出图像，不妨取双曲线的左焦点，设过的直线方程为，联立直线与椭圆的方程消，求判别式，利用韦达定理和弦长公式即可得出结果.
【详解】
双曲线C：的实半轴长为2，虚半轴长为b（），
由C的离心率为，
得，
即.
∴.
椭圆方程为，如图：

不妨取双曲线的左焦点，
由图可知，直线l截椭圆所得弦长的最大值为4；
设过的直线方程为，
联立，
可得.①
由，
解得.
可知当时，直线与椭圆相切；
要使直线与双曲线C两支都相交，
则；
而当时，
①化为；
设，，
则，.
∴，
∴的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的性质以及求椭圆的标准方程，利用直线与椭圆的位置关系求弦长的问题.属于中档题.
【变式训练2-2】、（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的左，在焦点分别为，，A为双曲线右支上一点，直线与双曲线C的左支相交于B，如果，且的周长为，则双曲线C的离心率为________.
【答案】
【分析】
由双曲线的定义结合的周长，得出，，由直角三角形的边角关系得出，最后由余弦定理得出离心率.
【详解】
设，，由双曲线定义可知：，
的周长为
从而，
故
又，即

故答案为：
【点睛】
本题主要考查了求双曲线的离心率，属于中档题.
重难点题型突破3 双曲线的几何性质
例3．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线：的左焦点为，过的直线交双曲线的左、右两支分别于点，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，根据，求得，将点的坐标代入双曲线的方程，求得，结合，即可求解.
【详解】
由题意，双曲线：的左焦点为，
设，可得，
因为，即，可得，
所以，
又由点都在双曲线上，可得，整理得，
又由，可得，
因为，解得，即实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】
方法点拨：根据，求得，将点的坐标代入双曲线的方程，求得，结合求解是解答的关键.
【变式训练3-1】、（2021·全国）设为坐标原点，直线与双曲线：的两条渐近线分别交于､两点，若的面积为，则的焦距的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
由题意知：双曲线的渐近线方程为，
因为D，E分别为直线与双曲线C的渐近线的交点，
所以不妨设，，故，
又由，即，，
当且仅当等号成立，所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
例4．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线的右支上一点．
（1）求，的最小值；
（2）若右支上存在点P，满足，求双曲线的离心率的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）结合图象以及双曲线的定义求得，的最小值.
（2）结合余弦定理来求得双曲线离心率的取值范围.
【详解】
（1）设双曲线的左右顶点为，
由图可知：当在右顶点时，最小，即.
而，所以当最小时，取得最小值，即.
（2）设，
依题意，
由余弦定理得，
即.

【变式训练4-1】、．（2021·全国高二课时练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，且，一条渐近线的倾斜角为60°．
（1）求双曲线C的标准方程和离心率；
（2）求分别以，为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程．
【答案】（1），2 （2）
【分析】
（1）结合，联立即得解；
（2）由题意，即得解.
【详解】
（1）由题意，
又
解得：
故双曲线C的标准方程为：，离心率为
（2）由题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为
故
即椭圆方程为：
重难点题型突破4 直线与双曲线的位置关系
例5．（山西省晋中一中2019届模拟）已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(1,2) B.(2，＋∞)
C．(1，) D．(，＋∞)
【答案】A
【解析】如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，－c)，则过点F1与渐近线y＝x平行的直线为y＝x＋c，联立，得解得即M.因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2内，故2＋2＜c2，化简得b2＜3a2，即c2－a2＜3a2，解得＜2，又双曲线的离心率e＝＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A.

例6．（江苏省徐州一中2019届模拟）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
【解析】(1)因为e＝，所以双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x2－y2＝λ.因为双曲线过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为－＝1.
(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．所以·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以 ·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4.由(2)知m＝±.所以△F1MF2的高h＝|m|＝，所以S△F1MF2＝×4×＝6.
【变式训练1】、（福建省南平一中2019届质检）已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.
【解析】(1)因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，所以解得c＝3，b＝，所以双曲线的方程为－＝1.
(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3,0)，
所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)．联立得5x2＋6x－27＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－.所以|AB|＝×＝.
【变式训练2】、设和是双曲线上的两点，线段的中点为，直线不经过坐标原点．
（1）若直线和直线的斜率都存在且分别为和，求证：；
（2）若双曲线的焦点分别为、，点的坐标为，直线的斜率为，求由四点、、、所围成四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：法1：设不经过点的直线方程为，代入双曲线方程得：．
设坐标为，坐标为，中点坐标为，则，，
，，所以，，．
法2：设、，中点，则，且，
（1）﹣（2）得：．
因为，直线和直线的斜率都存在，所以，
等式两边同除以，得：，即．
（2）由已知得，求得双曲线方程为，直线斜率为，
直线方程为，代入双曲线方程可解得，中点坐标为．
面积．
另解：线段中点在直线上．所以由中点，可得点的坐标为，代入双曲线方程可得，即，解得（），所以．面积．




四、定时训练（30分钟）
1．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，离心率e＝2，直线l：x＝与E的一条渐近线交于Q，与x轴交于P，且|FQ|＝．
（1）求E的方程；
（2）过F的直线交E的右支于A，B两点，求证：PF平分∠APB．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先将直线的方程与渐近线方程联立求出点Q的坐标，求出PF的长，从而可求出|FQ|，再由|FQ|＝，可求出的值，再结合离心率可求出的值，从而可求出E的方程；
（2）设过点F得直线方程为：x＝my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与双曲线方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系，然后表示出kPA，kPB，相加化简，若等于零，可得PF平分∠APB
【详解】
解：（1）不妨设直线l：x＝与E的一条渐近线交于Q，则
由得yQ＝，
又PF＝c﹣＝，
∴|FQ|2＝（）2+（）2＝b2＝3，
∴，
又离心率e＝2，∴，∴a＝1．
∴E的方程为：．
（2）设过点F得直线方程为：x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，可得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，
则，，
∵过F的直线交E的右支于A，B两点，∴y1y2＜0，
可得﹣＜m＜，
又P（，0），
∴kPA+kPB＝＝，
∴＝2my1y2+
＝
∴kPA+kPB＝0，
∴PF平分∠APB．
2．（2021·全国高二课时练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的左、右准线与其一条渐近线的交点分别为，，四边形的面积为4.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知为圆的切线，且与相交于，两点，求.
【答案】（1）；（2）0.
【分析】
（1）设，由得点坐标，由双曲线的对称性，得，结合四边形的面积得可得答案.
（2）①当直线的斜率存在时，由圆与的方程联立求出坐标可得答案；
②当直线的斜率不存在时，设，得直线与圆相切，可得，再由直线与双曲线方程联立，结合韦达定理可得答案.
【详解】
（1）设，
由直线是双曲线的一条渐近线，得①，
因为双曲线的准线方程为，
由得，所以，
由双曲线的对称性，得，
由四边形的面积为4，可得，即，
结合①得，，所以双曲线的方程为.
（2）①当直线的斜率存在时，对于圆，
不妨考虑，
则由得，
所以，，
所以.
②当直线的斜率不存在时，设，
因为直线与相交于，两点，所以.
因为直线与圆相切，
所以，即（*），
设，，
由消得，
结合（*），有，
所以，，
所以，


.
结合（*），得.
综上，.
3．（2021·江苏高二专题练习）设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；定值为．
【分析】
（1）根据题意得到，解方程组即可求出结果；
（2）设点点坐标为，然后分别表示出两条与渐近线平行的直线，然后分别与相交的渐近线联立求出两点的坐标，以及的正弦值，借助于的面积，进而表示出平行四边形的面积，化简整理即可确认是否为定值.
【详解】
（1）
则，，．
所以双曲线的标准方程为：．
（2）设点坐标为，过与渐近线平行的直线分别为，，
方程分别为，，
联立方程：，得，
同理可得：，得，
又渐近线方程为，则，
，
又点在双曲线上，则，
所以，即平行四边形的面积为定值，且此定值为．
【点睛】
双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.
5．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线：()的焦点与双曲线：右顶点重合.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设过点的直线与抛物线交于不同的两点，，是抛物线的焦点，且，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）由双曲线和抛物线的几何性质，即可求解；
（2）设，及直线的方程，与抛物线的方程联立，由判别式､韦达定理得出，，结合已知条件求出的值，即可求得直线的方程.
【详解】
（1）由题设知，双曲线的右顶点为，
∴，解得，
∴抛物线的标准方程为.
（2）设，，
显然直线的斜率存在，故设直线的方程为，
联立，消去得，
由得，即，
∴，.
又∵，，
∴，
∴，
即，
解得或，
∴直线的方程为或.
6．（2021·河北唐山·高三开学考试）已知双曲线E：的离心率为2，点在E上.
（1）求E的方程：
（2）过点的直线1交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用，再代入，联立即得解；
（2）设l的方程为：，，，用坐标表示斜率，将直线与双曲线联立,化简代入韦达定理，即得解
【详解】
（1）由已知可得，
∴，解得①
又∵点在E上，
∴②
由① ②可得，.