2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 第4讲　直线与抛物线

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 第4讲　直线与抛物线，共6页。试卷主要包含了若抛物线C，若双曲线C1，已知抛物线C，已知点P在抛物线C等内容，欢迎下载使用。

A．y2＝4xB．y2＝8x
C．y2＝12xD．y2＝16x
【解析】 因为抛物线C：y2＝2px上一点(1，y0)到其焦点的距离为3，则p＞0，抛物线准线方程为x＝－eq \f(p,2)，由抛物线定义得1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)))＝3，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x．
2．若双曲线C1：y2－3x2＝λ(λ≠0)的右焦点与抛物线C2：y2＝8x的焦点重合，则实数λ＝( D )
A．±3B．－eq \r(3)
C．3D．－3
【解析】 因为双曲线C1的右焦点与抛物线C2的焦点(2,0)重合，将双曲线C1的方程化为eq \f(x2,－\f(λ,3))－eq \f(y2,－λ)＝1(λ＜0)，所以a2＝－eq \f(λ,3)，b2＝－λ，所以c2＝a2＋b2＝－eq \f(4,3)λ＝4，解得λ＝－3．
3．(2023·福建部分地市一模)过抛物线C：y2＝4x的焦点作直线l交C于M，N两点，若线段MN中点的纵坐标为2，则|MN|＝( C )
A．10B．9
C．8D．7
【解析】 由题知焦点为(1,0)，设直线l：x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,y2＝4x，))得y2－4my－4＝0，Δ＞0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．又eq \f(y1＋y2,2)＝2m＝2，所以m＝1，y1＋y2＝4，故|MN|＝x1＋x2＋2＝m(y1＋y2)＋4＝8．
4．(2024·南昌期初摸底)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P是抛物线C在第一象限的一点，过P作C的准线的垂线，垂足为M，FM的中点为N，若直线PN经过点(0，－3)，则直线PN的斜率为( C )
A．1B．2
C．eq \r(3)D．3
【解析】 如图，由题意知F(0,1)，设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(x\\al(2,0),4)))，则M(x0，－1)，又FM的中点为N，故Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0,2)，0))．由抛物线定义可得|PF|＝|PM|, 故PN⊥FM，则kPN×kFM＝－1．因为直线PN经过点(0，－3)，即eq \f(0－－3,\f(x0,2))×eq \f(1－－1,0－x0)＝－1，故eq \f(6,x0)×eq \f(2,－x0)＝－1，又P是抛物线C在第一象限的一点，故x0＞0，解得x0＝2eq \r(3)，故N(eq \r(3)，0)，直线PN的斜率为eq \f(0－－3,\r(3))＝eq \r(3)．
(第4题)
5．(2023·青海模拟)图中是抛物线形拱桥，当水面在m时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为( D )
(第5题)
A．eq \f(25,2)米B．eq \f(25,4)米
C．eq \f(25,6)米D．eq \f(25,8)米
【解析】 以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，可设拱桥所在抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，又抛物线过点(4，－2)，则16＝4p，解得p＝4，则抛物线的方程为x2＝－8y，当x＝5时，y＝－eq \f(25,8)，故当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为eq \f(25,8)米．
(第5题)
6．(2023·聊城一模)(多选)已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，点P(9,6)在C上，直线PF交C于另一点Q，则( BD )
A．C的准线方程为x＝1
B．直线PQ的斜率为eq \f(3,4)
C．|FQ|＝2
D．线段PQ的中点的横坐标为eq \f(41,9)
【解析】 对于A，因为点P(9,6)在抛物线C上，则18p＝36，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x，焦点F(1,0)，准线x＝－1，A错误；对于B，直线PQ的斜率k＝eq \f(6－0,9－1)＝eq \f(3,4)，B正确；对于C，由题知直线PQ的方程为y＝eq \f(3,4)(x－1)，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,4)x－1，,y2＝4x，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝9，,y＝6))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,9)，,y＝－\f(2,3)，))即Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，－\f(2,3)))，故|FQ|＝eq \f(1,9)＋eq \f(p,2)＝eq \f(1,9)＋1＝eq \f(10,9)，C错误；对于D，线段PQ的中点的横坐标为eq \f(9＋\f(1,9),2)＝eq \f(41,9)，D正确．
7．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，则( BCD )
A．抛物线C的准线方程为x＝1
B．线段AB的中点在直线y＝2上
C．若|AB|＝8，则△OAB的面积为2eq \r(2)
D．以线段AF为直径的圆一定与y轴相切
【解析】 对于A，抛物线C的准线方程为x＝－1，A错误；对于B，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设线段AB的中点为M(x0，y0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2，))两式作差得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，可得eq \f(4,y1＋y2)＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝1，所以y1＋y2＝4，故y0＝eq \f(y1＋y2,2)＝2，B正确；对于C，设直线AB的方程为y＝x＋b，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋b，,y2＝4x，))可得x2＋(2b－4)x＋b2＝0，Δ＝4(b－2)2－4b2＞0，解得b＜1，由韦达定理可得x1＋x2＝4－2b，x1x2＝b2，|AB|＝eq \r(2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(2)×4eq \r(1－b)＝8，解得b＝－1，点O到直线l的距离为d＝eq \f(|b|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，故S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×8×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，C正确；对于D，设线段AF的中点为N(x3，y3)，则x3＝eq \f(x1＋1,2)，由抛物线的定义可得|AF|＝x1＋1＝2×eq \f(x1＋1,2)，即|AF|等于点N到y轴距离的两倍，所以以线段AF为直径的圆一定与y轴相切，D正确．
8．(2023·苏北苏中二模)已知点P在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，过点P作C的准线的垂线，垂足为H，点F为C的焦点．若∠HPF＝60°，点P的横坐标为1，则p＝__eq \f(2,3)__．
【解析】 由题易知△PHF为等边三角形，则|PF|＝|PH|＝1＋eq \f(p,2)，因为|PF|cs 60°＝1－eq \f(p,2)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(p,2)))cs 60°＝1－eq \f(p,2)，解得p＝eq \f(2,3)．
9．(2023·常德一模)已知抛物线的方程为x2＝4y，过其焦点F的直线与抛物线交于M，N两点，且|MF|＝5，O为坐标原点，则△NOF的面积与△MOF的面积之比为__eq \f(1,4)__．
【解析】 由题知焦点F(0,1)，准线方程为y＝－1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，lMN：y＝kx＋1，|MF|＝y1＋1＝5，所以y1＝4，x1＝±4，由抛物线的对称性，不妨设点M在第一象限，则M(4,4)．联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,4y＝x2，))所以x2－4kx－4＝0，Δ＞0，x1·x2＝－4，即x2＝－1，所以eq \f(S△NOF,S△MOF)＝eq \f(|OF|·|x2|,|OF|·|x1|)＝eq \f(1,4)．
10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则焦点到准线的距离为__2__；直线y＝eq \r(3)x－eq \r(3)与抛物线分别交于P，Q两点(点P在x轴上方)，过点P作直线PQ的垂线交准线l于点H，则eq \f(|PF|,|PH|)＝__eq \f(\r(3),2)__．
【解析】 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线l为x＝－1，所以焦点到准线的距离为2．如图，作PP′⊥l交准线l于点P′，因为直线y＝eq \r(3)x－eq \r(3)过焦点F，则|PF|＝|PP′|，因为PP′⊥l，所以PP′∥x轴，又直线y＝eq \r(3)x－eq \r(3)的倾斜角为60°，所以∠FPP′＝60°，所以∠HPP′＝30°，则eq \f(|PF|,|PH|)＝eq \f(|PP′|,|PH|)＝cs30°＝eq \f(\r(3),2)．
(第10题)
11．(2023·重庆三模)已知抛物线E：x2＝2py(p＞0)上一点M(t,3)到焦点F的距离为4，直线l：y＝kx＋1与E交于A，B两点．
(1) 求抛物线E的方程；
【解答】 因为抛物线E：x2＝2py(p＞0)上一点M(t，3)到焦点F的距离为4，所以3＋eq \f(p,2)＝4，所以p＝2，所以抛物线E：x2＝4y．
(2) 以AB为直径的圆与x轴交于C，D两点，若|CD|≥4，求k的取值范围．
【解答】 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,y＝kx＋1))消去y可得x2－4kx－4＝0，因为直线y＝kx＋1与E交于A，B两点，且Δ＝16k2＋16＞0，故k∈R，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，则y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，故线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))＝(2k，2k2＋1)，|AB|＝eq \r(,1＋k2)·eq \r(,x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(,1＋k2)·eq \r(,16k2＋16)＝4(1＋k2)，所以以AB为直径的圆的圆心为(2k，2k2＋1)，半径为eq \f(|AB|,2)＝2(1＋k2)．因为以AB为直径的圆与x轴交于C，D两点，|CD|≥4，所以由垂径定理得2eq \r(,[21＋k2]2－2k2＋12)≥4，所以eq \r(,3＋4k2)≥2，故k2≥eq \f(1,4)，所以k≥eq \f(1,2)或k≤－eq \f(1,2)，所以k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))．
12．(2023·南通三模)已知抛物线C1：y2＝2px(p＞0)与C2：x2＝2qy(q＞0)都经过点A(4,8)．
(1) 若直线l与C1，C2都相切，求l的方程；
【解答】 将点A(4,8)代入y2＝2px(p＞0)中，得64＝8p，解得p＝8，将点A(4,8)代入x2＝2qy(q＞0)中，得16＝16q，解得q＝1，所以C1的方程为y2＝16x，C2的方程为x2＝2y．由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m．联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,y2＝16x，))消去x，得ky2－16y＋16m＝0，因为直线l与C1相切，所以Δ＝(－16)2－4×16km＝0，整理得km＝4①．联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,x2＝2y，))消去y，得x2－2kx－2m＝0，因为直线l与C2相切，所以Δ′＝4k2＋8m＝0②．由①②解得k＝m＝－2．所以直线l的方程为y＝－2x－2，即2x＋y＋2＝0．
(2) 若点M，N分别在C1，C2上，且eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(NA,\s\up6(→))＝eq \f(9,4)eq \(OA,\s\up6(→))，求△AMN的面积．
【解答】 因为点M，N分别在C1，C2上，可设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,16)，a))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b，\f(b2,2)))，由eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(NA,\s\up6(→))＝eq \f(9,4)eq \(OA,\s\up6(→))，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8－b－\f(a2,16)，16－a－\f(b2,2)))＝(9,18)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(8－b－\f(a2,16)＝9，,16－a－\f(b2,2)＝18，))化简得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＋\f(a2,16)＝－1①，,a＋\f(b2,2)＝－2②，))由2×①－②，可得2b－a＋eq \f(a2,8)－eq \f(b2,2)＝0，整理得(2b－a)(2b＋a－8)＝0．
①若2b－a＝0，由②知b2＋4b＋4＝0，所以b＝－2，a＝－4，所以M(1，－4)，N(－2,2)；
②若2b＋a－8＝0，由②知b2－4b＋20＝0，方程无解．所以直线MN的方程为y－2＝eq \f(－4－2,1－－2)(x＋2)，即2x＋y＋2＝0，|MN|＝eq \r(,[1－－2]2＋[－4－2]2)＝3eq \r(,5)，点A到直线MN的距离为eq \f(|2×4＋8＋2|,\r(,22＋12))＝eq \f(18,5)eq \r(,5)，所以△AMN的面积S△AMN＝eq \f(1,2)×3eq \r(,5)×eq \f(18,5)eq \r(,5)＝27，所以△AMN的面积为27．