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6.4 线段的和差(解析版) 试卷
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这是一份6.4 线段的和差(解析版),共26页。
6.4线段的和差
一、单选题
1.如图,线段在线段上,且,若线段的长度是一个正整数,则图中以A,B,C,D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是( )
A. B. C. D.不能确定
【答案】C
【分析】
写出所有线段之和为AC+AD+AB+CD+CB+BD=AC+AC+3+AC+3+BD+3+3+BD+BD=12+3(AB-CD)=3(AB+1),从而确定这个结果是3的倍数,即可求解.
【详解】
解:所有线段之和=AC+AD+AB+CD+CB+BD,
∵CD=3,
∴所有线段之和=AC+AC+3+AC+3+BD+3+3+BD+BD=12+3(AC+BD)=12+3(AB-CD)=12+3(AB-3)=3AB+3=3(AB+1),
∵AB是正整数,
∴所有线段之和是3的倍数,
故选:C.
【点睛】
本题考查线段的和差、线段计数,根据图形写出所有线段之和是解题的关键.
2.已知等边中,,若点在线段上运动,当的值最小时,的长为( ).
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】B
【分析】
过点P作于D,过点B作于F,根据等边三角形的性质可得:,从而可得,故的最小值为的最小值,根据垂线段最短的性质可判断BF即为的最小值,再根据所对的直角边是斜边的一半求解即可;
【详解】
过点P作于D,过点B作于F,如下图所示,
∵等边三角形ABC中,,
∴,
∴,
∵在连接直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短,
∴BF即为的最小值,
∴BF与AD的交点即为点P,
∵,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴;
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了求线段和的最值问题和直角三角形的性质,准确计算是解题的关键.
3.若线段AB=12cm,点C是线段AB的中点,点D是线段AC的三等分点,则线段BD的长为( )
A.2cm或4cm B.8cm C.10cm D.8cm或10cm
【答案】D
【分析】
根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论.
【详解】
解:∵C是线段AB的中点,AB=12cm,
∴AC=BC=AB=×12=6(cm),
点D是线段AC的三等分点,
①当AD=AC时,如图,
BD=BC+CD=BC+AC=6+4=10(cm);
②当AD=AC时,如图,
BD=BC+CD′=BC+AC=6+2=8(cm).
所以线段BD的长为10cm或8cm,
故选:D.
【点睛】
本题考查了两点间的距离,线段中点的定义,分类讨论的思想的运用是解题的关键;
4.如图,在线段上有、两点,长度为,长为整数,则以、、、为端点的所有线段长度和不可能为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
所有线段的长度之和是,然后根据,线段的长度是一个正整数,可以解答本题.
【详解】
解:由题意可得,
图中以,,,这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是:,
以、、、为端点的所有线段长度和为3的倍数多1,
以、、、为端点的所有线段长度和不可能为21.
故选:A.
【点睛】
本题考查线段,列出所有线段长度和为3的倍数多1是解题的关键.
5.已知线段,点是直线上一点,,若点是的中点,点是的中点,则线段的长( )
A.3cm B.7cm C.5cm或3cm D.3cm或7cm
【答案】D
【分析】
分点C在点B右侧与点C在点B左侧两种情况求解即可.
【详解】
解:当点C在点B右侧时,如图1所示.
∵M是AB中点,N是BC的中点,
∴CM=AC,CN=BC,
∵AB=10,BC=4,
∴BM=5,BN=2,
∴MN=BM+BN=7cm;
当点C在点B左侧时,如图2所示.
∵M是AB中点,N是BC的中点,
∴CM=AC,CN=BC,
∵AB=10,BC=4,
∴BM=5,BN=2,
∴MN=BM-BN=3cm;
综上所述:线段MN的长度为3cm或7cm.
故选:D.
【点睛】
本题考查了两点间的距离,以及线段中点的定义,分点C在点B右侧与点C在点B左侧两种情况考虑是解题的关键.
6.如图,线段在线段上,且,若线段的长度是一个正整数,则图中以A,B,C,D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是( )
A.28 B.29 C.30 D.31
【答案】B
【分析】
根据数轴和题意可知,所有线段的长度之和是AC+CD+DB+AD+CB+AB,然后根据CD=2,线段AB的长度是一个正整数,依次对选项进行判断即可解答本题.
【详解】
解:由题意可得,图中以A,B,C,D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是:
AC+CD+DB+AD+CB+AB=(AC+CD+DB)+(AD+CB)+AB=AB+AB+CD+AB=3AB+CD,
∵CD=2,
∴AC+CD+DB+AD+CB+AB=3AB+2,
∴A选项中:当和为28时,即3AB+2=28,解得:AB=,与AB长度是正整数不符,故不符合要求;
B选项中:当和为29时,即3AB+2=29,解得:AB=,AB长度是正整数,故符合要求;
C选项中:当和为30时,即3AB+2=30,解得:AB=,与AB长度是正整数不符,故不符合要求;
D选项中:当和为31时,即3AB+2=31,解得:AB=,与AB长度是正整数不符,故不符合要求;
故选:B.
【点睛】
本题考查线段的长度,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
7.平面上有三个点,,,如果,,,则( ).
A.点在线段上 B.点在线段的延长线上
C.点在直线外 D.不能确定
【答案】A
【分析】
本题没有给出图形,在画图时,应考虑到A、B、C三点之间的位置关系,再根据正确画出的图形解题.
【详解】
如图:
从图中我们可以发现,
所以点在线段上.
故选A.
【点睛】
考查了直线、射线、线段,在未画图类问题中,正确画图很重要,所以能画图的一定要画图这样才直观形象,便于思维.
8.如图,点为线段的中点,为线段上的任意一点(不与点,重合).在同一直线上有一点,若,则( )
A.点不能在射线上 B.点不能在线段上
C.点不能在线段上 D.点不能在射线上
【答案】A
【分析】
当在点的左侧时,根据题意,可知,结合图排除B,
当在点的右侧时,当点接近点时,,可排除C;
当点接近点时,,则可排除D.
【详解】
,
,
①当在点的左侧时,结合图则,点不能在射线上,故A符合题意;
在线段上,故B错误;
②当在点的右侧时,当点接近点时,,
此时点在线段上;故C错误;
当点接近点时,,此时点在射线上,故D错误
故选A.
【点睛】
本题考查了线段的和差关系,比例关系,根据是动点,分情况讨论是解题的关键.
二、填空题
9.一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳,落点为,点表示的数为1;第二次从点起跳,落点为的中点,第三次从点起跳,落点为的中点;如此跳跃下去最后落点为的中点,则点表示的数为______.
【答案】
【分析】
根据题意,得第一次跳动到处,离原点为1个单位,第二次跳到的中点处,即在离原点个单位处,第三次从点跳动到处,即距离原点处,依此即可求解.
【详解】
解:第一次落点为处,点表示的数为1;
第二次落点为的中点,点表示的数为;
第三次落点为的中点,点表示的数为;
;
则点表示的数为,即点表示的数为;
故答案为:.
【点睛】
本题考查了数轴,是一道找规律的题目,本题注意根据线段中点的定义表示出各个点跳动的规律.
10.、,三点在同一直线上,线段,,那么,两点的距离是_______.
【答案】或
【分析】
根据题意可画出两种图形,利用线段的和差即可求解.
【详解】
解:①如图:
,
此时;
②如图:
,
此时,
故答案为:或.
【点睛】
本题考查线段的和差,掌握分类讨论思想是解题的关键.
11.如图,已知A,O,B为数轴上三个点,A为原点右侧一定点,O为原点,B为数轴上一动点,B从数轴原点O出发,沿数轴运动.当时,和两条线段的中点相距_______个单位长度.
【答案】1或3
【分析】
分点B向左运动和点B向右运动两种情况求解即可.
【详解】
解:当点B向左运动时,设OA、OB的中点分别是M、N,如图,
∵,OA=4,
∴OB=2,
∵OA、OB的中点分别是M、N,
∴OM=OA=2,ON=OB=1,
∴MN=1+2=3;
当点B向右运动时,设OA、OB的中点分别是M、N,如图,
∵,OA=4,
∴OB=2,
∵OA、OB的中点分别是M、N,
∴OM=OA=2,ON=OB=1,
∴MN=2-1=1;
综上可知,和两条线段的中点相距1或3个单位长度.
故答案为:1或3.
【点睛】
本题考查了数轴上的动点问题,线段的中点,以及两点间的距离,分类讨论是解答本题的关键.
12.已知C是线段AB的中点,AB=10,若E是直线AB上的一点,且BE=3,则CE=_____
【答案】2或8
【分析】
由已知C是线段AB中点,AB=10,求得BC'= 5,进一步分类探讨:E在BC内;E在BC的延长线上;由此画图得出答案即可.
【详解】
C是线段AB的中点, AB= 10,BC= AB= 5,
如图,当E在BC内,
CE= BC- BE= 5- 3=2;
②如图,E在BC的延长线上,
CE= BC+ BE= 5+3=8 ;
所以CE= 2或8;
故本题答案为:2或8.
【点睛】
解决本题的关键突破口是分类讨论,本题考查了学生综合分析的能力,要求学生掌握线段中点的意义,线段的和与差.
13.如图,有公共端点P的两条线段组成一条折线,若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分,我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”.已知点D是折线的“折中点”,点E为线段的中点,,则线段的长为_________.
【答案】2或18
【分析】
根据题意分两种情况画图解答即可.
【详解】
解:①如图,
CD=4,CE=5,
∵点D是折线A-C-B的“折中点”,
∴AD=DC+CB
∵点E为线段AC的中点,
∴AE=EC=AC=5
∴AC=10
∴AD=AC-DC=10-4=6
∴DC+CB=6
∴BC=2;
②如图,
CD=4,CE=5,
∵点D是折线A-C-B的“折中点”,
∴BD=DC+CA
∵点E为线段AC的中点,
∴AE=EC=AC=5
∴AC=10
∴AD=AC+DC=14
∴BD=14
∴BC=BD+DC=18.
综上所述,BC的长为2或18.
故答案为2或18.
【点睛】
本题考查了线段的和差计算,注意分类讨论的思想根据题意画出两个图形进行解答是关键.
14.如图,已知,E、F分别是AC、BC的中点,且,则EF的长度为_______cm.
【答案】32
【分析】
结合F是BC的中点、,根据线段中点的性质,得CF、BC,从而得到CD及AD;结合,根据线段和差的性质计算得AC;再结合E是AC的中点,得EC,通过的关系计算,即可得到答案.
【详解】
∵F是BC的中点,
∴cm,cm
∴cm
∴cm
∵
∴cm
∵E是AC的中点
∴cm
∴cm
故答案为:32.
【点睛】
本题考查了线段的知识;解题的关键是熟练掌握线段中点、线段和差的性质,知识点简单.
15.如图,有公共端点P的两条线段组成一条折线,若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分,我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”已知D是折线的“折中点”,E为线段的中点,,则线段的长为_________.
【答案】4或16
【分析】
根据题意分两种情况画图解答即可.
【详解】
解:①如图,
CD=3,CE=5,
∵点D是折线A-C-B的“折中点”,
∴AD=DC+CB,
∵点E为线段AC的中点,
∴AE=EC=AC=5,
∴AC=10,
∴AD=AC-DC=7,
∴DC+CB=7,
∴BC=4;
②如图,
CD=3,CE=5,
∵点D是折线A-C-B的“折中点”,
∴BD=DC+CA,
∵点E为线段AC的中点,
∴AE=EC=AC=5,
∴AC=10,
∴AC+DC=13,
∴BD=13,
∴BC=BD+DC=16.
综上所述,BC的长为4或16.
故答案为4或16.
【点睛】
本题考查了两点间的距离,解决本题的关键是根据题意画出两个图形进行解答.
16.已知C为线段AB上一点,D为AC的中点,E为BC的中点,F为DE的中点.若AB=16CF,则=______.
【答案】或
【分析】
根据线段的中点定义和线段的和差计算分两种情况即可求解.
【详解】
解:①当AC>BC,点F在点C左侧时,如图所示,
∵D为AC的中点,E为BC的中点,F为DE的中点,AB=16CF.
∴DC=AC,CE=,
∴DE=(AC+BC)=AB,
∴DF=DE=AB=4CF,
∴CF=DC﹣DF,
=AC﹣4CF,
∴AC=10CF,
∴BC=AB﹣AC=6CF,
∴=;
②当AC<BC,点F在点C右侧时,如图所示,
∵D为AC的中点,E为BC的中点,F为DE的中点,AB=16CF.
∴DC=AC,CE=,
∴DE=(AC+BC)=AB,
∴DF=DE=AB=4CF,
∴CF=DF﹣DC,
=4CF﹣AC,
∴AC=6CF,
∴BC=AB﹣AC=10CF,
∴=;
∴=或;
故答案为:或.
【点睛
此题主要考查了两点间的距离的求法,以及线段的中点的特征和应用,理清线段之间的关系是解决本题的关键.
三、解答题
17.如图,点C在线段AB上,点M、N分别是线段AC、BC的中点.
(1)若CN=AB=2cm,求线段MN的长度;
(2)若AC+BC=acm,其他条件不变,请猜想线段MN的长度,并说明理由;
(3)若点C在线段AB的延长线上,AC=p,BC=q,其它条件不变,则线段MN的长度会有变化吗?若有变化,请直接写出结果,不说明理由.
【答案】(1)MN=5cm;(2)MN=acm,见解析;(3)有变化,MN=(p﹣q)
【分析】
(1)由中点的性质得MC=AC、CN=BC,根据MN=MC+CN=AC+BC=(AC+BC)可得答案;
(2)由中点性质得MC=AC、CN=BC,根据MN=MC+CN=(AC+CB)可得答案;
(3)根据中点的性质得MC=AC、CN=BC,结合图形依据MN=MC﹣CN=AC﹣BC=(AC﹣BC)可得答案.
【详解】
解:(1)∵CN=AB=2cm,
∴AB=10(cm),
∵点M、N分别是AC、BC的中点,
∴MC=AC、CN=BC,
∴MN=MC+CN=AC+BC=(AC+BC)=AB=5(cm);
(2)∵M、N分别是AC、BC的中点,
∴MC=AC、CN=BC,
∵AC+CB=acm,
∴MN=MC+CN=(AC+CB)=a(cm);
(3)有变化,
如图,
∵M、N分别是AC、BC的中点,
∴MC=AC、CN=BC,
∵AC=p,BC=q,
∴MN=MC﹣CN=AC﹣BC=(AC﹣BC)=(p﹣q).
【点睛】
本题主要考查两点间的距离,掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键.
18.如图,C为线段上一点,点B为CD的中点,且
(1)图中共有_______条线段;
(2)求的长;
(3)若点E在直线上,且,则的长为_______.
【答案】(1)6;(2)4cm;(3)3或9
【分析】
(1)根据线段的定义找出线段即可;
(2)先根据点B为CD的中点,BD=2cm求出线段CD的长,再根据AC=AD-CD即可得出结论;
(3)由于不知道E点的位置,故应分E在点A的左边与E在点A的右边两种情况进行解答.
【详解】
解:(1)图中共有6条线段;
故答案为6;
(2)∵点B为CD的中点.
∴CD=2BD.
∵BD=2cm,
∴CD=4cm.
∵AC=AD-CD且AD=8cm,CD=4cm,
∴AC=4cm;
(3)当E在点A的左边时,
则BE=BA+EA且BA=6cm,EA=3cm,
∴BE=9cm
当E在点A的右边时,
则BE=AB-EA且AB=6cm,EA=3cm,
∴BE=3cm;
综上,BE的长为或.
故答案为:3或9.
【点睛】
本题考查的是两点间的距离,熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键.
19.如图所示,线段AB=16cm,E为线段AB的中点,点C为线段EB上一点,且EC=3cm,点D为线段AC的中点,求线段DE的长度.
【答案】2.5cm
【分析】
根据线段中点的定义求出AE的长,进而求出AC的长,再根据中点的定义求出CD的长,然后利用线段的和差可得答案.
【详解】
解:∵E为线段AB的中点,AB=16cm,
∴AE=AB=8(cm),
∵EC=3cm,
∴AC=AE+EC=11(cm),
∵点D为线段AC的中点,
∴CD=AC=5.5(cm),
∴DE=CD﹣EC=5.5﹣3=2.5(cm).
【点睛】
本题考查的是两点间的距离,掌握线段中点的定义、线段的有关计算是解题的关键.
20.综合与实践
如图,某学校由于经常拔河,长为40米的拔河比赛专用绳AB左右两端各有一段(AC和BD)磨损了,磨损后的麻绳不再符合比赛要求,已知磨损的麻绳总长度不足20米.只利用麻绳AB和一把剪刀(剪刀只用于剪断麻绳)就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳.
七年级的聪聪马上想出一个了办法:在线段上取一点,使,对折找到其中点,将和剪掉就得到一条长20米的拔河比赛专用绳.请你完成下列任务;
(1)在图中标出点、点的位置;
(2)判断聪聪剪出的专用绳是否符合要求.试说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)符合要求,见解析
【分析】
(1)根据题意可直接进行作图;
(2)由题意易得,,进而可得,然后由可进行判断.
【详解】
解:(1)由题意可作如图所示:
(2)符合要求.
理由是:∵为的中点,为的中点,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴符合要求.
【点睛】
本题主要考查线段中点的性质,熟练掌握线段中点的性质是解题的关键.
21.如图,点A,B,C在数轴上对应数为a,b,c.
(1)化简|a﹣b|+|c﹣b|;
(2)若B,C间距离BC=10,AC=3AB,且b+c=0,试确定a,b,c的值,并在数轴上画出原点O;
(3)在(2)的条件下,动点P,Q分别同时都从A点C点出发,相向在数轴上运动,点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动,点Q以每秒0.5个单位长度的速度向终点A移动;设点P,Q移动的时间为t秒,试求t为多少秒时P,Q两点间的距离为6.
【答案】(1)c﹣a;(2)a=﹣10,c=5,b=﹣5;(3)点P,Q移动6秒或14秒时,P,Q两点间的距离为6.
【分析】
(1)根据数轴可得c>b>a,再去绝对值合并即可求解;
(2)根据相反数的定义和等量关系即可求解;
(3)由题意得运动t秒后,点P,Q对应的点在数轴上所对的数为P:﹣10+t,Q:5﹣0.5t,然后根据P,Q两点间的距离为6,列出方程计算即可求解.
【详解】
解:(1)由数轴及题意得:
∵c>b>a,
∴原式=b﹣a+c﹣b=c﹣a;
(2)原点位置如图:
∵BC=10,
∴c﹣b=10,
又∵b+c=0,
∴c=5,b=﹣5,
又∵BC=10,AC=3AB,
∴BC=2AB=10,
∴AB=5,
∴b﹣a=5,
∴a=﹣10;
(3)∵AC=15,最短运动时间15÷1=15秒,
运动t秒后,点P,Q对应的点在数轴上所对的数为P:﹣10+t,Q:5﹣0.5t,
若P,Q两点间的距离为6,则有
,
解得t=6或t=14,
均小于15秒,
∴点P,Q移动6秒或14秒时,P,Q两点间的距离为6.
【点睛】
本题主要考查数轴上的动点问题、两点距离、线段的和差关系及一元一次方程的应用,熟练掌握数轴上的动点问题、两点距离、线段的和差关系及一元一次方程的应用是解题的关键.
22.(1)如图,已知点在线段上,分别是的中点,求线段的长度;
(2)在(1)题中,如果,其他条件不变,求此时线段的长度.
【答案】(1)7cm;(2)cm
【分析】
(1)根据点M、N分别是AC、BC的中点,先求出CM、CN的长度,则MN=CM+CN;
(2)根据点M、N分别是AC、BC的中点,CM=AC,CN=BC,进而即可得到答案.
【详解】
解:(1)∵AC=8cm,点M是AC的中点,
∴CM=AC=4cm,
∵BC=6cm,点N是BC的中点,
∴CN=BC=3cm,
∴MN=CM+CN=7cm,
∴线段MN的长度为7cm;
(2)∵点M、N分别是AC、BC的中点,
∴CM=AC,CN=BC,
∵AC=acm,BC=bcm,
∴MN=(AC+BC)=cm.
【点睛】
考查了两点间的距离,利用线段中点的性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键,在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法,有利于解题的简洁性.同时,灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点.
23.如图,已知线段AC上有一点B,BC=3,F是BC的中点,且AC=5BF,点E在AB上,EB=2AE,求线段EF的长.
【答案】
【分析】
根据线段中点的性质求出,根据题意求出,得到,结合图形计算即可.
【详解】
解:为线段的中点,
,
,
,
,
在线段上,且,
,
,
.
【点睛】
本题考查的是两点间的距离的计算,解题的关键是掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想.
24.如图,已知B、C在线段上.
(1)图中共有________条线段;
(2)若.
①比较线段的大小:________(填:“>”、“=”或“<”);
②若,,M是的中点, N是的中点,求的长度.
【答案】(1)6;(2)①=;②16
【分析】
(1)分别以A、B、C为线段的端点,数出线段的条数即可;
(2)①根据AC=AB+BC及BD=BC+CD,即可得AC与BD的大小关系;
②由题意可求得AB+CD的长,由中点的含义及即可求得MN的长度.
【详解】
(1)以A为端点的线段有AB、AC、AD共3条;以B为端点的线段有BC、BD共2条;以C为端点的线段为CD,有1条,故共有线段的条数为:3+2+1=6
故答案为:6.
(2)①∵AC=AB+BC,BD=BC+CD,且AB=CD
∴AC=BD
故答案为:=.
②∵,
∴.
∵M是的中点,N是的中点
∴,
∴.
∴.
【点睛】
本题考查了线段的数量,线段的和差运算,线段的中点含义,线段大小的比较等知识,把线段表示成和差的形式是解决本题的关键.
25.如图,B、C是线段AD上的任意两点,M是AB的中点,N是CD的中点,如果MN=3cm,BC=1.5cm,求AD的长.
【答案】AD的长为4.5cm.
【分析】
由已知条件可知,MN=MB+CN+BC,又因为M是AB的中点,N是CD中点,则AB+CD=2(MB+CN),故AD=AB+CD+BC可求.
【详解】
解:∵MN=MB+BC+CN,
∵MN=3cm,BC=1.5cm,
∴MB+CN=3﹣1.5=1.5cm,
∴AD=AB+BC+CD=2(MB+CN)+BC
=2×1.5+1.5
=4.5cm.
答:AD的长为4.5cm.
【点睛】
本题考查了线段的计算,线段中点的意义,线段和的意义,线段差的意义,熟练掌握线段的中点的意义,灵活运用线段和与线段差表示线段是解题的关键.
26.如图,已知线段,,线段在直线上运动(点在点的左侧,点在点的左侧),若.
(1)求线段,的长;
(2)若点,分别为线段,的中点,,求线段的长;
(3)当运动到某一时刻时,点与点重合,点是线段的延长线上任意一点,下列两个结论:①是定值,②是定值,请选择你认为正确的一个并加以说明.
【答案】(1),;(2)9;(3)②正确,,见解析
【分析】
(1)利用两个非负数和为0,可得每个非负数为0,可求,即可;
(2)分类考虑当点在点的右侧和点在点的左侧时,利用中点可求AM,DN,利用线段和差求AD,可求MN=AD-AM-DN即可;
(3)利用PA=PC+AC,PB=PC-BC,求出PA+PB=2PC即可.
【详解】
解:(1)由,,
,
得,,
所以,;
(2)当点在点的右侧时,如图,
因为点,分别为线段,的中点,,
所以,,
又因为,
所以,
当点在点的左侧时,如图,
因为点,分别为线段,的中点,
所以,,
所以
所以.
综上,线段的长为9;
(3)②正确,且.理由如下:
因为点与点重合,所以,
所以,所以,
所以.
【点睛】
本题考查非负数的性质,线段中点,线段和差,线段的比问题,掌握非负数的性质,线段中点,线段和差,线段的比,关键是利用线段和差PA=PC+AC,PB=PC-BC,求出PA+PB=2PC.
6.4线段的和差
一、单选题
1.如图,线段在线段上,且,若线段的长度是一个正整数,则图中以A,B,C,D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是( )
A. B. C. D.不能确定
【答案】C
【分析】
写出所有线段之和为AC+AD+AB+CD+CB+BD=AC+AC+3+AC+3+BD+3+3+BD+BD=12+3(AB-CD)=3(AB+1),从而确定这个结果是3的倍数,即可求解.
【详解】
解:所有线段之和=AC+AD+AB+CD+CB+BD,
∵CD=3,
∴所有线段之和=AC+AC+3+AC+3+BD+3+3+BD+BD=12+3(AC+BD)=12+3(AB-CD)=12+3(AB-3)=3AB+3=3(AB+1),
∵AB是正整数,
∴所有线段之和是3的倍数,
故选:C.
【点睛】
本题考查线段的和差、线段计数,根据图形写出所有线段之和是解题的关键.
2.已知等边中,,若点在线段上运动,当的值最小时,的长为( ).
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】B
【分析】
过点P作于D,过点B作于F,根据等边三角形的性质可得:,从而可得,故的最小值为的最小值,根据垂线段最短的性质可判断BF即为的最小值,再根据所对的直角边是斜边的一半求解即可;
【详解】
过点P作于D,过点B作于F,如下图所示,
∵等边三角形ABC中,,
∴,
∴,
∵在连接直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短,
∴BF即为的最小值,
∴BF与AD的交点即为点P,
∵,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴;
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了求线段和的最值问题和直角三角形的性质,准确计算是解题的关键.
3.若线段AB=12cm,点C是线段AB的中点,点D是线段AC的三等分点,则线段BD的长为( )
A.2cm或4cm B.8cm C.10cm D.8cm或10cm
【答案】D
【分析】
根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论.
【详解】
解:∵C是线段AB的中点,AB=12cm,
∴AC=BC=AB=×12=6(cm),
点D是线段AC的三等分点,
①当AD=AC时,如图,
BD=BC+CD=BC+AC=6+4=10(cm);
②当AD=AC时,如图,
BD=BC+CD′=BC+AC=6+2=8(cm).
所以线段BD的长为10cm或8cm,
故选:D.
【点睛】
本题考查了两点间的距离,线段中点的定义,分类讨论的思想的运用是解题的关键;
4.如图,在线段上有、两点,长度为,长为整数,则以、、、为端点的所有线段长度和不可能为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
所有线段的长度之和是,然后根据,线段的长度是一个正整数,可以解答本题.
【详解】
解:由题意可得,
图中以,,,这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是:,
以、、、为端点的所有线段长度和为3的倍数多1,
以、、、为端点的所有线段长度和不可能为21.
故选:A.
【点睛】
本题考查线段,列出所有线段长度和为3的倍数多1是解题的关键.
5.已知线段,点是直线上一点,,若点是的中点,点是的中点,则线段的长( )
A.3cm B.7cm C.5cm或3cm D.3cm或7cm
【答案】D
【分析】
分点C在点B右侧与点C在点B左侧两种情况求解即可.
【详解】
解:当点C在点B右侧时,如图1所示.
∵M是AB中点,N是BC的中点,
∴CM=AC,CN=BC,
∵AB=10,BC=4,
∴BM=5,BN=2,
∴MN=BM+BN=7cm;
当点C在点B左侧时,如图2所示.
∵M是AB中点,N是BC的中点,
∴CM=AC,CN=BC,
∵AB=10,BC=4,
∴BM=5,BN=2,
∴MN=BM-BN=3cm;
综上所述:线段MN的长度为3cm或7cm.
故选:D.
【点睛】
本题考查了两点间的距离,以及线段中点的定义,分点C在点B右侧与点C在点B左侧两种情况考虑是解题的关键.
6.如图,线段在线段上,且,若线段的长度是一个正整数,则图中以A,B,C,D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是( )
A.28 B.29 C.30 D.31
【答案】B
【分析】
根据数轴和题意可知,所有线段的长度之和是AC+CD+DB+AD+CB+AB,然后根据CD=2,线段AB的长度是一个正整数,依次对选项进行判断即可解答本题.
【详解】
解:由题意可得,图中以A,B,C,D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是:
AC+CD+DB+AD+CB+AB=(AC+CD+DB)+(AD+CB)+AB=AB+AB+CD+AB=3AB+CD,
∵CD=2,
∴AC+CD+DB+AD+CB+AB=3AB+2,
∴A选项中:当和为28时,即3AB+2=28,解得:AB=,与AB长度是正整数不符,故不符合要求;
B选项中:当和为29时,即3AB+2=29,解得:AB=,AB长度是正整数,故符合要求;
C选项中:当和为30时,即3AB+2=30,解得:AB=,与AB长度是正整数不符,故不符合要求;
D选项中:当和为31时,即3AB+2=31,解得:AB=,与AB长度是正整数不符,故不符合要求;
故选:B.
【点睛】
本题考查线段的长度,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
7.平面上有三个点,,,如果,,,则( ).
A.点在线段上 B.点在线段的延长线上
C.点在直线外 D.不能确定
【答案】A
【分析】
本题没有给出图形,在画图时,应考虑到A、B、C三点之间的位置关系,再根据正确画出的图形解题.
【详解】
如图:
从图中我们可以发现,
所以点在线段上.
故选A.
【点睛】
考查了直线、射线、线段,在未画图类问题中,正确画图很重要,所以能画图的一定要画图这样才直观形象,便于思维.
8.如图,点为线段的中点,为线段上的任意一点(不与点,重合).在同一直线上有一点,若,则( )
A.点不能在射线上 B.点不能在线段上
C.点不能在线段上 D.点不能在射线上
【答案】A
【分析】
当在点的左侧时,根据题意,可知,结合图排除B,
当在点的右侧时,当点接近点时,,可排除C;
当点接近点时,,则可排除D.
【详解】
,
,
①当在点的左侧时,结合图则,点不能在射线上,故A符合题意;
在线段上,故B错误;
②当在点的右侧时,当点接近点时,,
此时点在线段上;故C错误;
当点接近点时,,此时点在射线上,故D错误
故选A.
【点睛】
本题考查了线段的和差关系,比例关系,根据是动点,分情况讨论是解题的关键.
二、填空题
9.一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳,落点为,点表示的数为1;第二次从点起跳,落点为的中点,第三次从点起跳,落点为的中点;如此跳跃下去最后落点为的中点,则点表示的数为______.
【答案】
【分析】
根据题意,得第一次跳动到处,离原点为1个单位,第二次跳到的中点处,即在离原点个单位处,第三次从点跳动到处,即距离原点处,依此即可求解.
【详解】
解:第一次落点为处,点表示的数为1;
第二次落点为的中点,点表示的数为;
第三次落点为的中点,点表示的数为;
;
则点表示的数为,即点表示的数为;
故答案为:.
【点睛】
本题考查了数轴,是一道找规律的题目,本题注意根据线段中点的定义表示出各个点跳动的规律.
10.、,三点在同一直线上,线段,,那么,两点的距离是_______.
【答案】或
【分析】
根据题意可画出两种图形,利用线段的和差即可求解.
【详解】
解:①如图:
,
此时;
②如图:
,
此时,
故答案为:或.
【点睛】
本题考查线段的和差,掌握分类讨论思想是解题的关键.
11.如图,已知A,O,B为数轴上三个点,A为原点右侧一定点,O为原点,B为数轴上一动点,B从数轴原点O出发,沿数轴运动.当时,和两条线段的中点相距_______个单位长度.
【答案】1或3
【分析】
分点B向左运动和点B向右运动两种情况求解即可.
【详解】
解:当点B向左运动时,设OA、OB的中点分别是M、N,如图,
∵,OA=4,
∴OB=2,
∵OA、OB的中点分别是M、N,
∴OM=OA=2,ON=OB=1,
∴MN=1+2=3;
当点B向右运动时,设OA、OB的中点分别是M、N,如图,
∵,OA=4,
∴OB=2,
∵OA、OB的中点分别是M、N,
∴OM=OA=2,ON=OB=1,
∴MN=2-1=1;
综上可知,和两条线段的中点相距1或3个单位长度.
故答案为:1或3.
【点睛】
本题考查了数轴上的动点问题,线段的中点,以及两点间的距离,分类讨论是解答本题的关键.
12.已知C是线段AB的中点,AB=10,若E是直线AB上的一点,且BE=3,则CE=_____
【答案】2或8
【分析】
由已知C是线段AB中点,AB=10,求得BC'= 5,进一步分类探讨:E在BC内;E在BC的延长线上;由此画图得出答案即可.
【详解】
C是线段AB的中点, AB= 10,BC= AB= 5,
如图,当E在BC内,
CE= BC- BE= 5- 3=2;
②如图,E在BC的延长线上,
CE= BC+ BE= 5+3=8 ;
所以CE= 2或8;
故本题答案为:2或8.
【点睛】
解决本题的关键突破口是分类讨论,本题考查了学生综合分析的能力,要求学生掌握线段中点的意义,线段的和与差.
13.如图,有公共端点P的两条线段组成一条折线,若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分,我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”.已知点D是折线的“折中点”,点E为线段的中点,,则线段的长为_________.
【答案】2或18
【分析】
根据题意分两种情况画图解答即可.
【详解】
解:①如图,
CD=4,CE=5,
∵点D是折线A-C-B的“折中点”,
∴AD=DC+CB
∵点E为线段AC的中点,
∴AE=EC=AC=5
∴AC=10
∴AD=AC-DC=10-4=6
∴DC+CB=6
∴BC=2;
②如图,
CD=4,CE=5,
∵点D是折线A-C-B的“折中点”,
∴BD=DC+CA
∵点E为线段AC的中点,
∴AE=EC=AC=5
∴AC=10
∴AD=AC+DC=14
∴BD=14
∴BC=BD+DC=18.
综上所述,BC的长为2或18.
故答案为2或18.
【点睛】
本题考查了线段的和差计算,注意分类讨论的思想根据题意画出两个图形进行解答是关键.
14.如图,已知,E、F分别是AC、BC的中点,且,则EF的长度为_______cm.
【答案】32
【分析】
结合F是BC的中点、,根据线段中点的性质,得CF、BC,从而得到CD及AD;结合,根据线段和差的性质计算得AC;再结合E是AC的中点,得EC,通过的关系计算,即可得到答案.
【详解】
∵F是BC的中点,
∴cm,cm
∴cm
∴cm
∵
∴cm
∵E是AC的中点
∴cm
∴cm
故答案为:32.
【点睛】
本题考查了线段的知识;解题的关键是熟练掌握线段中点、线段和差的性质,知识点简单.
15.如图,有公共端点P的两条线段组成一条折线,若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分,我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”已知D是折线的“折中点”,E为线段的中点,,则线段的长为_________.
【答案】4或16
【分析】
根据题意分两种情况画图解答即可.
【详解】
解:①如图,
CD=3,CE=5,
∵点D是折线A-C-B的“折中点”,
∴AD=DC+CB,
∵点E为线段AC的中点,
∴AE=EC=AC=5,
∴AC=10,
∴AD=AC-DC=7,
∴DC+CB=7,
∴BC=4;
②如图,
CD=3,CE=5,
∵点D是折线A-C-B的“折中点”,
∴BD=DC+CA,
∵点E为线段AC的中点,
∴AE=EC=AC=5,
∴AC=10,
∴AC+DC=13,
∴BD=13,
∴BC=BD+DC=16.
综上所述,BC的长为4或16.
故答案为4或16.
【点睛】
本题考查了两点间的距离,解决本题的关键是根据题意画出两个图形进行解答.
16.已知C为线段AB上一点,D为AC的中点,E为BC的中点,F为DE的中点.若AB=16CF,则=______.
【答案】或
【分析】
根据线段的中点定义和线段的和差计算分两种情况即可求解.
【详解】
解:①当AC>BC,点F在点C左侧时,如图所示,
∵D为AC的中点,E为BC的中点,F为DE的中点,AB=16CF.
∴DC=AC,CE=,
∴DE=(AC+BC)=AB,
∴DF=DE=AB=4CF,
∴CF=DC﹣DF,
=AC﹣4CF,
∴AC=10CF,
∴BC=AB﹣AC=6CF,
∴=;
②当AC<BC,点F在点C右侧时,如图所示,
∵D为AC的中点,E为BC的中点,F为DE的中点,AB=16CF.
∴DC=AC,CE=,
∴DE=(AC+BC)=AB,
∴DF=DE=AB=4CF,
∴CF=DF﹣DC,
=4CF﹣AC,
∴AC=6CF,
∴BC=AB﹣AC=10CF,
∴=;
∴=或;
故答案为:或.
【点睛
此题主要考查了两点间的距离的求法,以及线段的中点的特征和应用,理清线段之间的关系是解决本题的关键.
三、解答题
17.如图,点C在线段AB上,点M、N分别是线段AC、BC的中点.
(1)若CN=AB=2cm,求线段MN的长度;
(2)若AC+BC=acm,其他条件不变,请猜想线段MN的长度,并说明理由;
(3)若点C在线段AB的延长线上,AC=p,BC=q,其它条件不变,则线段MN的长度会有变化吗?若有变化,请直接写出结果,不说明理由.
【答案】(1)MN=5cm;(2)MN=acm,见解析;(3)有变化,MN=(p﹣q)
【分析】
(1)由中点的性质得MC=AC、CN=BC,根据MN=MC+CN=AC+BC=(AC+BC)可得答案;
(2)由中点性质得MC=AC、CN=BC,根据MN=MC+CN=(AC+CB)可得答案;
(3)根据中点的性质得MC=AC、CN=BC,结合图形依据MN=MC﹣CN=AC﹣BC=(AC﹣BC)可得答案.
【详解】
解:(1)∵CN=AB=2cm,
∴AB=10(cm),
∵点M、N分别是AC、BC的中点,
∴MC=AC、CN=BC,
∴MN=MC+CN=AC+BC=(AC+BC)=AB=5(cm);
(2)∵M、N分别是AC、BC的中点,
∴MC=AC、CN=BC,
∵AC+CB=acm,
∴MN=MC+CN=(AC+CB)=a(cm);
(3)有变化,
如图,
∵M、N分别是AC、BC的中点,
∴MC=AC、CN=BC,
∵AC=p,BC=q,
∴MN=MC﹣CN=AC﹣BC=(AC﹣BC)=(p﹣q).
【点睛】
本题主要考查两点间的距离,掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键.
18.如图,C为线段上一点,点B为CD的中点,且
(1)图中共有_______条线段;
(2)求的长;
(3)若点E在直线上,且,则的长为_______.
【答案】(1)6;(2)4cm;(3)3或9
【分析】
(1)根据线段的定义找出线段即可;
(2)先根据点B为CD的中点,BD=2cm求出线段CD的长,再根据AC=AD-CD即可得出结论;
(3)由于不知道E点的位置,故应分E在点A的左边与E在点A的右边两种情况进行解答.
【详解】
解:(1)图中共有6条线段;
故答案为6;
(2)∵点B为CD的中点.
∴CD=2BD.
∵BD=2cm,
∴CD=4cm.
∵AC=AD-CD且AD=8cm,CD=4cm,
∴AC=4cm;
(3)当E在点A的左边时,
则BE=BA+EA且BA=6cm,EA=3cm,
∴BE=9cm
当E在点A的右边时,
则BE=AB-EA且AB=6cm,EA=3cm,
∴BE=3cm;
综上,BE的长为或.
故答案为:3或9.
【点睛】
本题考查的是两点间的距离,熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键.
19.如图所示,线段AB=16cm,E为线段AB的中点,点C为线段EB上一点,且EC=3cm,点D为线段AC的中点,求线段DE的长度.
【答案】2.5cm
【分析】
根据线段中点的定义求出AE的长,进而求出AC的长,再根据中点的定义求出CD的长,然后利用线段的和差可得答案.
【详解】
解:∵E为线段AB的中点,AB=16cm,
∴AE=AB=8(cm),
∵EC=3cm,
∴AC=AE+EC=11(cm),
∵点D为线段AC的中点,
∴CD=AC=5.5(cm),
∴DE=CD﹣EC=5.5﹣3=2.5(cm).
【点睛】
本题考查的是两点间的距离,掌握线段中点的定义、线段的有关计算是解题的关键.
20.综合与实践
如图,某学校由于经常拔河,长为40米的拔河比赛专用绳AB左右两端各有一段(AC和BD)磨损了,磨损后的麻绳不再符合比赛要求,已知磨损的麻绳总长度不足20米.只利用麻绳AB和一把剪刀(剪刀只用于剪断麻绳)就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳.
七年级的聪聪马上想出一个了办法:在线段上取一点,使,对折找到其中点,将和剪掉就得到一条长20米的拔河比赛专用绳.请你完成下列任务;
(1)在图中标出点、点的位置;
(2)判断聪聪剪出的专用绳是否符合要求.试说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)符合要求,见解析
【分析】
(1)根据题意可直接进行作图;
(2)由题意易得,,进而可得,然后由可进行判断.
【详解】
解:(1)由题意可作如图所示:
(2)符合要求.
理由是:∵为的中点,为的中点,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴符合要求.
【点睛】
本题主要考查线段中点的性质,熟练掌握线段中点的性质是解题的关键.
21.如图,点A,B,C在数轴上对应数为a,b,c.
(1)化简|a﹣b|+|c﹣b|;
(2)若B,C间距离BC=10,AC=3AB,且b+c=0,试确定a,b,c的值,并在数轴上画出原点O;
(3)在(2)的条件下,动点P,Q分别同时都从A点C点出发,相向在数轴上运动,点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动,点Q以每秒0.5个单位长度的速度向终点A移动;设点P,Q移动的时间为t秒,试求t为多少秒时P,Q两点间的距离为6.
【答案】(1)c﹣a;(2)a=﹣10,c=5,b=﹣5;(3)点P,Q移动6秒或14秒时,P,Q两点间的距离为6.
【分析】
(1)根据数轴可得c>b>a,再去绝对值合并即可求解;
(2)根据相反数的定义和等量关系即可求解;
(3)由题意得运动t秒后,点P,Q对应的点在数轴上所对的数为P:﹣10+t,Q:5﹣0.5t,然后根据P,Q两点间的距离为6,列出方程计算即可求解.
【详解】
解:(1)由数轴及题意得:
∵c>b>a,
∴原式=b﹣a+c﹣b=c﹣a;
(2)原点位置如图:
∵BC=10,
∴c﹣b=10,
又∵b+c=0,
∴c=5,b=﹣5,
又∵BC=10,AC=3AB,
∴BC=2AB=10,
∴AB=5,
∴b﹣a=5,
∴a=﹣10;
(3)∵AC=15,最短运动时间15÷1=15秒,
运动t秒后,点P,Q对应的点在数轴上所对的数为P:﹣10+t,Q:5﹣0.5t,
若P,Q两点间的距离为6,则有
,
解得t=6或t=14,
均小于15秒,
∴点P,Q移动6秒或14秒时,P,Q两点间的距离为6.
【点睛】
本题主要考查数轴上的动点问题、两点距离、线段的和差关系及一元一次方程的应用,熟练掌握数轴上的动点问题、两点距离、线段的和差关系及一元一次方程的应用是解题的关键.
22.(1)如图,已知点在线段上,分别是的中点,求线段的长度;
(2)在(1)题中,如果,其他条件不变,求此时线段的长度.
【答案】(1)7cm;(2)cm
【分析】
(1)根据点M、N分别是AC、BC的中点,先求出CM、CN的长度,则MN=CM+CN;
(2)根据点M、N分别是AC、BC的中点,CM=AC,CN=BC,进而即可得到答案.
【详解】
解:(1)∵AC=8cm,点M是AC的中点,
∴CM=AC=4cm,
∵BC=6cm,点N是BC的中点,
∴CN=BC=3cm,
∴MN=CM+CN=7cm,
∴线段MN的长度为7cm;
(2)∵点M、N分别是AC、BC的中点,
∴CM=AC,CN=BC,
∵AC=acm,BC=bcm,
∴MN=(AC+BC)=cm.
【点睛】
考查了两点间的距离,利用线段中点的性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键,在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法,有利于解题的简洁性.同时,灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点.
23.如图,已知线段AC上有一点B,BC=3,F是BC的中点,且AC=5BF,点E在AB上,EB=2AE,求线段EF的长.
【答案】
【分析】
根据线段中点的性质求出,根据题意求出,得到,结合图形计算即可.
【详解】
解:为线段的中点,
,
,
,
,
在线段上,且,
,
,
.
【点睛】
本题考查的是两点间的距离的计算,解题的关键是掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想.
24.如图,已知B、C在线段上.
(1)图中共有________条线段;
(2)若.
①比较线段的大小:________(填:“>”、“=”或“<”);
②若,,M是的中点, N是的中点,求的长度.
【答案】(1)6;(2)①=;②16
【分析】
(1)分别以A、B、C为线段的端点,数出线段的条数即可;
(2)①根据AC=AB+BC及BD=BC+CD,即可得AC与BD的大小关系;
②由题意可求得AB+CD的长,由中点的含义及即可求得MN的长度.
【详解】
(1)以A为端点的线段有AB、AC、AD共3条;以B为端点的线段有BC、BD共2条;以C为端点的线段为CD,有1条,故共有线段的条数为:3+2+1=6
故答案为:6.
(2)①∵AC=AB+BC,BD=BC+CD,且AB=CD
∴AC=BD
故答案为:=.
②∵,
∴.
∵M是的中点,N是的中点
∴,
∴.
∴.
【点睛】
本题考查了线段的数量,线段的和差运算,线段的中点含义,线段大小的比较等知识,把线段表示成和差的形式是解决本题的关键.
25.如图,B、C是线段AD上的任意两点,M是AB的中点,N是CD的中点,如果MN=3cm,BC=1.5cm,求AD的长.
【答案】AD的长为4.5cm.
【分析】
由已知条件可知,MN=MB+CN+BC,又因为M是AB的中点,N是CD中点,则AB+CD=2(MB+CN),故AD=AB+CD+BC可求.
【详解】
解:∵MN=MB+BC+CN,
∵MN=3cm,BC=1.5cm,
∴MB+CN=3﹣1.5=1.5cm,
∴AD=AB+BC+CD=2(MB+CN)+BC
=2×1.5+1.5
=4.5cm.
答:AD的长为4.5cm.
【点睛】
本题考查了线段的计算,线段中点的意义,线段和的意义,线段差的意义,熟练掌握线段的中点的意义,灵活运用线段和与线段差表示线段是解题的关键.
26.如图,已知线段,,线段在直线上运动(点在点的左侧,点在点的左侧),若.
(1)求线段,的长;
(2)若点,分别为线段,的中点,,求线段的长;
(3)当运动到某一时刻时,点与点重合,点是线段的延长线上任意一点,下列两个结论:①是定值,②是定值,请选择你认为正确的一个并加以说明.
【答案】(1),;(2)9;(3)②正确,,见解析
【分析】
(1)利用两个非负数和为0,可得每个非负数为0,可求,即可;
(2)分类考虑当点在点的右侧和点在点的左侧时,利用中点可求AM,DN,利用线段和差求AD,可求MN=AD-AM-DN即可;
(3)利用PA=PC+AC,PB=PC-BC,求出PA+PB=2PC即可.
【详解】
解:(1)由,,
,
得,,
所以,;
(2)当点在点的右侧时,如图,
因为点,分别为线段,的中点,,
所以,,
又因为,
所以,
当点在点的左侧时,如图,
因为点,分别为线段,的中点,
所以,,
所以
所以.
综上,线段的长为9;
(3)②正确,且.理由如下:
因为点与点重合,所以,
所以,所以,
所以.
【点睛】
本题考查非负数的性质,线段中点,线段和差,线段的比问题,掌握非负数的性质,线段中点,线段和差,线段的比,关键是利用线段和差PA=PC+AC,PB=PC-BC,求出PA+PB=2PC.
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