初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程当堂检测题

这是一份初中数学人教版九年级上册22.2二次函数与一元二次方程当堂检测题，共30页。

专题22.21 二次函数图象的对称性（分层练习）（培优练）
【知识要点】
（1）二次函数的对称性
二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1, x2 其对应的纵坐标相等那么对称轴：
（2）与抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)关于 y轴对称的函数解析式：y=ax2 -bx+c(a≠0)
与抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)关于 x轴对称的函数解析式：y=-ax2 –bx-c(a≠0)

（3）当a>0时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大；
当a<0时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大；
一、单选题
1．已知点、是二次函数图象上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线（，为常数）经过不同的两点，那么该抛物线的顶点坐标不可能是下列中的（    ）
A． B． C． D．
3．二次函数图象上部分点的坐标满足表格：
x
…



0
1
…
y
…





…
则该函数图象的顶点坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ）

A．2 B． C． D．
5．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ）

A．5 B．9 C．11 D．13
6．抛物线与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标为（    ）
A． B． C． D．不能确定，与的值有关
7．已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上．若，则的取值范围（    ）
A． B． C． D．
9．二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
－1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当时，对应的函数值，有以下结论：
①；    ②当时y随x的增大而增大；
③关于x的方程有异号两实根的，而且负实数根在和0之间；
④；其中正确的结论是（    ）
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
10．如图，抛物线与直线交于两点，点为轴上点，当周长最短时；周长的值为（  ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，设二次函数，其中．
（1）此二次函数的对称轴为直线 ；
（2）已知点和在此函数的图象上，若，则的取值范围是 ；
12．如图，已知抛物线与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B、D，且点B的坐标为，点C在抛物线上，且与点D的纵坐标相等，点E在x轴上，且，连接，取的中点F，则的长为 ．

13．二次函数的图象经过、、三点，则，，的大小关系是 . （用“”连接）
14．已知点，是二次函数图像上的两个不同的点，则当时，其函数值等于 ．
15．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ．

16．如图，抛物线与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点M的坐标是 ．

17．已知当x=2m+1和x=2n﹣1时，多项式x2+4x+8的值相等，且m﹣n+1≠0，则当x=m+n时，多项式x2+4x+8的值= ．
18．已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，如图所示，与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的纵坐标与横坐标之和为 ．

三、解答题
19．在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝n，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点P（﹣1，P）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范围．




20．如图，抛物线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，且点为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；
（2）点为抛物线上两点（点在点的左侧） ，且到对称轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，点为抛物线上点之间（含点）的一个动点，求点的纵坐标的取值范围．
  




21．如图，在直角坐标系中，以A为顶点的抛物线（a是常数，）交y轴于点B，轴交抛物线于另一点C．
（1）求该抛物线的对称轴及点C的坐标．
（2）直线（k是常数，）经过A，C两点，求a，k的值．





22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．
（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．




23．已知抛物线经过，两点．
（1）当时，求的值；
（2）当，且时，的最大值为3．
①求抛物线的解析式；
②抛物线与轴交于点，直线与抛物线交于点，与直线交于点，连接，当时，求的值．








24．如图，在平面直角坐标系中，过点P（﹣，）的抛物线．分别交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧）
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点Q是抛物线对称轴上一点，当取得最小值时，求点Q的坐标；
（3）当M（m，0），N（0，n）两点满足：， ，且时，若符合条件的M点的个数有2个，直接写出n的取值范围．


























参考答案
1．B
【分析】首先根据点A、B是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，y随x的增大而减小，可得，据此即可求解．
解：∵点、是二次函数图象上的两个点，
∴该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧，
，
解得，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键．
2．B
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线，再根据抛物线经过不同两点的纵坐标为m相同，得，求出抛物线的顶点坐标为，再把A、B、C、D选项代入计算，即可得答案．
解：抛物线的对称轴为直线，
抛物线经过不同两点的纵坐标为m相同，
抛物线的对称轴为
，
而抛物线的顶点纵坐标为：，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，故A选项不符合题意，
当时，，故B选项符合题意，
当时，，故C选项不符合题意，
当时，，故D选项不符合题意，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标为．
3．B
【分析】根据抛物线的对称性，结合表格，确定二次函数的对称轴，进而得到顶点坐标即可．
解：∵和时的函数值都是，相等，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴顶点坐标为．
故选B．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握抛物线关于对称轴对称，是解题的关键．
4．D
【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解．
解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，

∵，令，
即，
解得：，
∴,
令，解得，
∴，
∵点是对称轴上的一个动点，
∴，
∵
∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
即，
故选：D．
【点拨】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键．
5．C
【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可．
解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，
∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，
∴PE=PF，
∴△PMF的周长=FM+PM+PF，
∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，
∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，
∵M坐标为（3，6），
∴ME=6，
∴PF+PM=6
∵F（0，2），
∴
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11，
故选C．

【点拨】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF．
6．B
【分析】首先利用配方法，把抛物线的一般式转化为顶点式，进而得出抛物线对称轴为直线，再根据抛物线的对称性，计算即可得出另一个交点的坐标．
解：∵

，
∴抛物线对称轴为直线，
∵抛物线与轴一个交点为，
∴另一个交点的横坐标为：，
∴另一个交点为，
故选：B．
【点拨】本题考查了把抛物线转化为顶点式、利用抛物线的对称性求函数值，解本题的关键在得出抛物线对称轴．
7．D
【分析】由，可知二次函数的对称轴为直线，则关于直线的对称点为，由，可知当时，随着的增大而减小，然后比较大小即可．
解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴关于直线的对称点为，
∵，
∴当时，随着的增大而减小，
∵，
∴，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
8．C
【分析】由题意可得出抛物线开口向上，对称轴为直线，又可得出，即可求出，再根据抛物线的对称性即可得出的取值范围．
解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线．
∵点，，在抛物线上，且，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
∵点和点关于对称轴对称，
∴当时，，
当时，，
∴的取值范围是．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的图象和性质和函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．
9．C
【分析】①将点与点代入解析式可得到a、b互为相反数，，即可判断；②先求出抛物线对称轴为：，再根据当时，对应的函数值，函数过点与点，可以判断抛物线开口向下，即，，即当时，y随x的增大而增大，即当时y随x的增大而增大；③函数过点且当时，对应的函数值，可知方程的正实数根在1和 之间，结合抛物线的对称性可得关于的方程的负实数根在和0之间；④将点与点代入解析式得：，进而可得，再根据当时，对应的函数值，可得，解得，问题随之得解.
【详解】①将点与点代入解析式得：，
可得：，，
则a、b互为相反数，
∴，故①错误；
②∵a、b互为相反数，
∴抛物线对称轴为：，
∵当时，对应的函数值，函数过点与点，
∴可以判断抛物线开口向下，即，，
∴当时，y随x的增大而增大，
即当时y随x的增大而增大，
故②正确；
③∵函数过点且当时，对应的函数值，
∴方程的正实数根在1和之间，
∵抛物线对称轴为：，
∴结合抛物线的对称性可得关于的方程的负实数根在和0之间，
故③正确；
④∵将点与点代入解析式得：，
∵，
∴；
∴，
∵当时，对应的函数值，
∴,
∵，
∴，解得，
∴，
故④正确；
故选：C.
【点拨】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题.
10．B
【分析】联立方程先求出抛物线和直线的交点坐标，然后已知在中的边的长已经确定，只需要求出的最小值即可，可以做B点关于y轴的对称点,连接交y轴于点C，此时就为的最小值，所以周长最短为的长，求出即可.
解：根据题意联立方程得：
，得出，把横坐标分别代入表达式得出交点坐标，
即：,,
已知在中的边的长已经确定，
做B点关于y轴的对称点,连接交y轴于点C,如图所示，
此时就为的最小值,
，
,
周长最小为：;
故选B.

【点拨】本题考查的是两个函数图像的交点问题，以及求线段的最小值问题，需要根据题意去解读信息，借助于勾股定理去求最终结果.
11． /0.5
【分析】（1）根据二次函数，经过和，是对称点，算出对称轴即可；
（2）根据对称轴为直线，点和在二次函数的图象上，画出函数图象，点关于对称轴的对称点，分析图象，写出的取值范围即可．
【详解】（1）二次函数，
函数经过和，是对称点，
对称轴为直线，
故答案为：
（2）二次函数，
二次项系数为，
函数图象开口向上，
又和在此函数的图象上，对称轴为直线，
画出图象如下图，点关于对称轴的对称点横坐标，

，
点应在线段下方部分的抛物线上（包括点、），
，
故答案为：
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象数形结合是解题的关键．
12．
【分析】根据题意A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称得到，连接，由中位线定理得，求出长即可得解．
解：∵点C在抛物线上，且与点D的纵坐标相等，，
∴，
∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，
∴，

连，的中点是F，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及中位线定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
13．
【分析】根据二次函数的性质，得到对称轴为直线，再利用对称性得到的对称点坐标为，最后利用增减性即可得到答案．
解：，
对称轴为直线，
的对称点坐标为，
，
抛物线开口向上，有最小值，在对称轴左侧，随的增大而减小，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，解题关键是掌握二次函数的对称性及增减性．
14．2
【分析】根据、横坐标不同纵坐标相同，可得关于对称轴的等式，当时，正好等于，即对称轴的一半，则，将代入二次函数可得函数值为2，即当时函数值也为2．
解： 当和时， 的值相等，
二次函数对称轴，
当时，即，
则，
当时，二次函数的值为2．
故答案为：2．
【点拨】此题考查二次函数图像上点的坐标特征，根据两点纵坐标相等得二次函数的对称轴，用对称轴表示的值代入二次函数是解题的关键．
15．
【分析】将对称至，连接，与对称轴的交点即为，再根据直线的解析式与对称轴求解的坐标即可．
解：根据对称轴公式，可得：，解得：，
即抛物线的解析式为：，
将代入得：，
抛物线的解析式为：；

顶点坐标 ；
连接交直线于点，
此时 最小，点即为所求 ，
由，，
设直线的解析式为，将点代入得，
，
解得：，
∴直线：
当时：，
．

【点拨】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
16．(2，)/
【分析】点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，即可求解．
解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，

连接AC，由点的对称性知，MA=MB，
△MAC的周长=AC+MA+MC=AC+MB+MC=CA+BC为最小，
令y=x2-x+5=0，解得x=1或x=3，令x=0，则y=5，
故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），
则函数的对称轴为x=（1+3）=2，
设直线BC的表达式为y=kx+b，则
，解得，
故直线BC的表达式为y=-x+5，
当x=2时，y=-x+5=，
故点M的坐标为（2，）．
故答案为：
【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键．
17．4
【详解】试题分析：先将当x=2m+1和x=2n﹣1时，多项式x2+4x+8的值相等理解为x=2m+n+2和x=m+2n时，二次函数y=x2+4x+8的值相等，则抛物线的对称轴为直线x==m+n，由于二次函数y=x2+4x+8的对称轴为直线x=﹣2，得出m+n=﹣2，即可求出当x=m+n=﹣2时，x2+4x+8的值．
解：∵xx=2m+1和x=2n﹣1时，多项式x2+4x+8的值相等，
∴二次函数y=x2+4x+8的对称轴为直线x==m+n，
又∵二次函数y=x2+4x+8的对称轴为直线x=﹣2，
∴m+n=﹣2，
∴当x=m+n=﹣2时，
x2+4x+8=（﹣2）2+4×（﹣2）+8=4．
故答案为4．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
18．
【分析】根据题意和两点之间线段最短，先确定点P所在的位置，然后根据题意和图形求出点P的横坐标和纵坐标，再将横坐标和纵坐标相加，即可解答本题．
解：连接AC，与对称轴交于点P，则此时PB+PC＝AC，PB+PC取得最小值，
∵二次函数，
∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，当x＝0时，y＝2，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
，解得，
即直线AC的解析式为，
∵点P在二次函数的对称轴上的一动点，
∴点P的横坐标为﹣1，
∵点P在直线AC上，
∴点P的纵坐标，
∴点P的纵坐标与横坐标之和为：，
故答案为：．
．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、轴对称，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
19．(1)x=3 (2)
【分析】（1）根据函数值相同的两个点关于对称轴对称求解即可；
（2）根据题意列出相应不等式，然后将不等式化简为对称轴的形式得出相应不等式解集，根据不等式解集的确定方法求解即可．
【详解】（1）解：当m=n时，
对称轴为；
（2）解：根据题意可得：
m=4a+2b，n=16a+4b，p=a-b，
∵m ∴m<0，n>0，
∴4a+2b<0，16a+4b>0，
化简得：①，②，
∵m ∴
化简③得，
化简④得，
∵t=
∴综合①②③④可得：1 【点拨】题目主要考查二次函数的基本性质及利用不等式确定解集，理解题意，掌握不等式的性质及二次函数的基本性质是解题的关键．
20．（1），G（1,4）；（2）﹣21≤≤4.
【分析】（1）根据用c表示出点A的坐标，把A的坐标代入函数解析式，得到一个关于c的一元二次方程，解出c的值，从而求出函数解析式，求出顶点G的坐标．
（2）根据函数解析式求出函数图像对称轴，根据点M,N到对称轴的距离，判断出M,N的横坐标，进一步得出M,N的纵坐标，求出M,N点的坐标后可确定的取值范围．
解：（1）∵抛物线与轴正半轴分别交于点B，
∴B点坐标为（c，0），
∵抛物线经过点A，
∴﹣c2+2c+c=0，
解得c1=0（舍去），c2=3，
∴抛物线的解析式为
∵=﹣（x－1）2+4，
∴抛物线顶点G坐标为（1,4）．
（2）抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点M,N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度 ，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为﹣4或6，
点M的纵坐标为﹣5，点N的纵坐标为﹣21，
又∵点M在点N的左侧，
∴当M坐标为（﹣2，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），
则﹣21≤≤4
当当M坐标为（4，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），
则﹣21≤≤﹣5，
∴的取值范围为﹣21≤≤4．
【点拨】本题考查的是二次函数的基本的图像与性质，涉及到的知识点有二次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求函数解析式，对称轴性质等，解题关键在于利用数形结合思想正确分析题意，进行计算．
21．(1)对称轴为：直线； (2)，
【分析】（1）根据题目中的抛物线解析式，可以求得抛物线的对称轴和点C的坐标；
（2）由（1）可得点的坐标，坐标分别代入直线解析式即可求得的值．
【详解】（1）解：∵抛物线
∴该抛物线的对称轴是直线，
当x=0时，y=3，
即抛物线的对称轴是直线，点B的坐标是（0，3）；
轴交抛物线于另一点C．
∴关于对称轴对称，

（2）解：∵（k是常数，）经过，两点，
∴
解得

解得
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．(1)y=-x2+2x+3； (2)证明见解析，； (3)存在，点的坐标是（1，4），．过程见解析
【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，从而求得m，进而求得抛物线的解析式；
（2）将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值，进而求得结果；
（3）将S变形为：S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP－S△AOB，设P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，将点P和点D坐标代入，从而求得PD的解析式，进而求得点N的坐标，进而求得S关于m的解析式，进一步求得结果．
【详解】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，
-9+6m+3m=0，
∴m=1，
∴y=-x2+2x+3；
（2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），
∴当2x+3=0时，即时，，
∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是；
（3）如图，

连接OP，
设点P（m，-m2+2m+3），
设PD的解析式为：y=kx+b，
∴，
∴，
∴PD的解析式为：y＝，
当x＝0时，y＝，
∴点N的坐标是（0，），
∴，
∵S=S△PAM-S△BMN，
∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，
∵
，
当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，
∴点B的坐标是（0，3），OB＝3，
，
∴＝＝，
∴当时，，
当时，，
∴点的坐标是（1，4）．
【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数求最值、三角形的面积等知识，解决问题的关键是数形结合和变形S，转化为常见的面积计算．
23．(1)b=2
(2) ；或4
【分析】（１）根据，对称，写出对称轴方程x=1，根据对称轴是，且a=-1，求出b=2；
（2）在对称轴x=1的左侧，x=0时时，有最大值为3，得到x=0时，y=c=3，根据，得到，得到，即可求解；②利用三角形的面积关系，得到点F与点D的横坐标的比为3：5，设点F的横坐标为3t，则点D的横坐标为5t，利用待定系数法用含t的代数式求得直线OF的解析式，进而得到点D的坐标，将点D坐标代入抛物线的解析式求得t值即可求得结论．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
∵，a=-1，
∴b=2；
（2）解：①∵，，，
∴，，
∵对称轴是直线x=1，a＜0，
∴当x≤1时，y随x的增大而增大，
∵时，的最大值为3，
∴当x=0时，y=c=3，
∴抛物线解析式为，
把，，代入得：
，
∴，
∴抛物线解析式为；
由①得：，，，
设直线BC的解析式为，
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为，
∵，
∴，
∴点F与点D的横坐标的比为3：5，
设点F的横坐标为3t，则点D的横坐标为5t，
∵点F在直线BC上，
∴F（3t，-3t+3）．
∵点F在直线上，
∴，解得：，
∴直线OF的解析式为，
∵点D在直线OF上，
∴，
∵点D在抛物线上，
∴，
解得：或，
当时，，
当时，，
综上所述，或4．
【点拨】本题考查了二次函数性质，待定系数法求函数解析式，三角形面积，熟练掌握根据二次函数值随自变量变化情况确定二次函数的最值，待定系数法求二次函数的解析式，同高的两个三角形面积与底边成比例，是解决本题的关键．
24．(1)抛物线的函数表达式为；(2)点Q的坐标为；(3)n的取值范围为．
【分析】（1）将点P的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）求出抛物线的对称轴，抛物线与x轴的交点A、B两点的坐标，根据对称性可知A、B两点关于对称轴l对称，连接AC，交对称轴l于点Q，连接BQ，此时取最小值，求出直线AC的函数表达式即可求出点Q的坐标；
（3）分别求出、、，当时，根据勾股定理可得，化简可得关于m的一元二次方程，由符合条件的M点的个数有两个可得，解不等式结合已知条件即可求解．
【详解】（1）解：∵点P（﹣，）在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为：．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴l为，
当时，
解得， ，
∴A（﹣3，2），B（1，0）．
当时， ，
即点C（0，2）．
∵A，B两点关于对称轴l对称，
∴连接AC，交对称轴l于点Q，
此时取得最小值，即为AC的长．

设直线AC的函数表达式为，将A（﹣3，2），点C（0，2）代入，得
∴
解得
∴，
当时，，
∴点Q的坐标为．
（3）解：∵M（m，0），n（0，n）,，

∴， ，，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
∵符合条件的M点的个数有2个，
∴，
∴，解得： ，
∵，
∴n的取值范围为．
【点拨】本题主要考查了二次函数的综合运用，包括待定系数法求函数解析式、抛物线的对称性、勾股定理等，解题的关键是用方程的思想解决问题．