专题22.23 二次函数与一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

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专题22.23 二次函数与一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）

【知识点1】二次函数图象与x轴的交点个数与一元二次方程根的关系
　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式

二次函数
一元二次方程

图象
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0


抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根


△＝0


抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根


△＜0


抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）


要点提醒：
　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
(1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
【知识点2】抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
要点提醒：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
【知识点3】利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
　　用图象法解一元二次方程的步骤：
1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．
要点提醒：
　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：
　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；
　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；
　(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.
【知识点4】抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．
∴
即 （△＞0）
【知识点5】抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
判别式

抛物线与x轴的交点
不等式的解集
不等式的解集
△＞0

或

△＝0

（或）
无解
△＜0

全体实数
无解
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
要点提醒：
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
【考点一】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)➽➼➻化为顶点式➽➼➻对称轴✭✭顶点坐标

【考点一】抛物线与坐标轴的交点坐标
【例1】二次函数的图象与轴的交点坐标是 ，与轴的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】根据题意得出令，求出的值，即可求出抛物线与轴交点的坐标，令，然后求出的值，即可以得到与轴的交点坐标．
解：由图象与轴相交则，代入得：，
解方程得，
∴与轴交点的坐标是，
由图象与轴相交则，代入得：，
∴与轴交点坐标是；
故答案为；．
【点拨】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键．
【举一反三】
【变式1】已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求此抛物线的顶点坐标．
【答案】（1），，；（2）
【分析】（1）当时，解方程即可得到A、B的坐标，将代入即可得到点C的坐标；
（2）把二次函数的解析式配方成顶点式，然后写出顶点坐标．
解：（1）当时，
∴，
∴，
将代入得：
∴
（2）∵


∴顶点坐标是：
【点拨】本题考查二次函数与坐标轴的交点和配方求顶点，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点的坐标的求法是解题的关键．
【变式2】如图，抛物线与轴相交于点，，求的面积．

【答案】
【分析】先求出， ，三点的坐标即可得出，的长，进而可根据三角形的面积公式求出三角形的面积．
解： ，
当y=0时,
即
解得：或，故，，
当时，，故 ，
则，，
∴
【点拨】考查了抛物线与轴、轴的交点和三角形面积的求法，得到，的长是解题的关键．
【考点二】图象法解一元二次方程的近似根✭✭求一元二次不等式的解集
【例2】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题
（1）写出方程的两个根；
（2）写出不等式的解集

【答案】（1）；（2）-2