还剩21页未读，
继续阅读
2023年甘肃省张掖市甘州区思源实验中学中考数学模拟试卷（6月份）（含解析）
展开
这是一份2023年甘肃省张掖市甘州区思源实验中学中考数学模拟试卷（6月份）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年甘肃省张掖市甘州区思源实验中学中考数学模拟试卷（6月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在下列四个实数中，最小的数是( )
A. −2 B. 13 C. 0 D. 3
2. 在下面由冬季奥运会比赛项目图标组成的四个图形中，其中可以看作轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 若3a=4b(b≠0)，则ab的值为( )
A. 13 B. 23 C. 43 D. 34
4. 2022年北京冬奥会的成功举办，标志着北京成为世界上第一个双奥之城．有着冰上“国际象棋”之称的冰壶如图放置时，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 为调查某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了30名同学，结果如表：
每天使用零花钱(单位：元)
5
10
15
20
25
人数
2
5
8
9
6
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是( )
A. 9，6 B. 20，25 C. 20，17.5 D. 9，25
6. 如图，直线m//n，将一块含30°角(∠BAC=30° )的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线m和n上.若∠1=55°，则∠2的度数为( )
A. 55° B. 35° C. 45° D. 25°
7. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y=ax与一次函数y=bx+c在同一坐标系内的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，⊙O分别切∠BAC的两边ABAC于点E、F，点P在优弧EDF上，若∠BAC=66°，则∠EPF的度数为( )
A. 56°
B. 57°
C. 114°
D. 24°
9. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是( )
A. x+y=100y=3x B. x+y=100x=3y C. x+y=10013x+3y=100 D. x+y=10013y+3x=100
10. 如图①，在矩形ABCD中，AB
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 计算：(−a3)2= ______ ．
12. 在函数y=32x−4中，自变量x的取值范围是______．
13. 如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，S矩形OABC=6，则k= ______ ．
14. 已知实数x1，x2是方程x2+x−1=0的两根，则x1x2=______．
15. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有______个白球．
16. △ABC的三边长a，b，c满足|a+b−4|+(c−2)2=0，则△ABC的周长为______ ．
17. 如图，点C、D是以AB为直径的半圆O的三等分点，CD的长为13π，则图中阴影部分的面积为______.(结果不取近似值)
18. 一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第9个等式______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：(2 3− 6)× 12．
20. (本小题6.0分)
解分式方程：xx+1=x3x+3+1．
21. (本小题8.0分)
如图，已知：Rt△ABC，∠B=90°．
(1)求作：点P，使点P在△ABC内部，且PB=PC，∠PBC=45°．
(2)判断△PBC的形状．
22. (本小题8.0分)
动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度(结果精确到1cm).(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)
23. (本小题8.0分)
兰州国际马拉松赛从2011年首次举办，就高得了社会各界的广泛赞誉，被评为“最佳马拉松赛事”，该赛事设有A”全程马拉松”，B”半程马拉松，”C”五公里健身跑“三个项目，小颖和小亮参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组．
(1)求小颖被分配到B”半程马拉松”项目组的概率；
(2)用画树状图或列表法求小颖和小亮被分到同一个项目组进行志愿服务的概率．
24. (本小题10.0分)
为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的
喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查统计(要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目)，并将调查结果绘制成统计表和统计图(不完整)，请根据统计表和统计图中的信息回答下列问题：
节目
人数(名)
百分比
最强大脑
5
10%
朗读者
15
30%
中国诗词大会
a
40%
出彩中国人
10
20%
信息二：
(1)本次共调查了______ 名学生；
(2)求出表中的a值，并将条形统计图补充完整；
(3)扇形统计图中喜爱“朗读者”节目对应的圆心角为______ 度；
(4)若该校共有学生2000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名？
25. (本小题10.0分)
李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y(℃)与加热时间x(s)之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：
(1)加热前水温是______℃.
(2)求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．
(3)当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是______℃.
26. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．
(1)求证：直线PE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．
27. (本小题10.0分)
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形.通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
(1)观察猜想
如图①，已知△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，且不与点B、C重合，连接易证△ABD≌△ACE，进而判断出AB与CE的位置关系是______ ．
(2)类比探究
如图②，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC=60°，试说明点B，D，E在同一直线上：
(3)解决问题
如图③，已知点E在等边△ABC的外部，并且与点B位于线段AC的异侧，连接AE、BE、CE.若∠BEC=60°，AE=3，CE=2，请求出BE的长．
28. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.且直线y=x−6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查实数的大小比较，数轴表示数，掌握实数大小比较的方法是解决问题的关键．将−2，13，0， 3在数轴上表示，根据数轴表示数的大小规律可得答案．
【解答】
解：将−2，13，0， 3在数轴上表示如图所示：
于是有−2<0<13< 3，
故选A．
2.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】C
【解析】解：∵3a=4b(b≠0)，
∴ab=43，
故选：C．
根据比例的性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：从正面看到的图形与选项A相符合，
故选：A．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
5.【答案】C
【解析】解：20出现了9次，出现的次数最多，所以这30名同学每天使用的零花钱的众数为20元；
30个数据中，第15个和第16个数分别为15、20，它们的平均数为17.5，所以这30名同学每天使用的零花钱的中位数为17.5元．
故选：C．
分别根据众数和中位数的定义求解．
本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数的定义．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠BAC=30°，∠B=90°，
∴∠ACB=60°，
又∵∠1=55°，
∴∠EAC=∠1+∠BAC=85°，∠FCA=∠2+∠ACB=∠2+60°，
∵直线m//n，
∴∠EAC+∠FCA=180°，
即：85°+∠2+60°=180°，
∴∠2=35°．
故选：B．
依题意可得出∠BAC=30°，∠B=90°，则∠ACB=60°，据此得∠EAC=85°，∠FCA=∠2+60°，然后再根据两直线平行同旁内角互补得∠EAC+∠FCA=180°，据此可求出∠2的度数．
此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行同旁内角互补．
7.【答案】D
【解析】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴a>0，
∵二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且交y轴的负半轴，
∴b>0，c<0，
∴反比例函数y=ax的图象必在一、三象限，一次函数y=bx+c的图象必经过一三四象限，故D正确．
故选：D．
根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定a>0，b>0，由抛物线与y轴的交点位置确定c<0，然后利用排除法即可得出正确答案．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接OE、OF，如图：
∵⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，
∴OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
∴∠EOF=180°−∠A=180°−66°=114°，
∴∠EPF=12∠EOF=12×114°=57°．
故选：B．
连接OE、OF，如图，利用切线的性质得到∠OEA=∠OFA=90°，再利用四边形的内角和得到∠EOF=180°−∠A=114°，然后根据圆周角定理求∠EPF的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
9.【答案】C
【解析】解：根据题意可得：x+y=100x3+3y=100，
故选：C．
根据“3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，
当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．
∴12AB⋅12BC=3，即AB⋅BC=12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，
当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC=7．
则BC=7−AB，代入AB⋅BC=12，
得AB2−7AB+12=0，解得AB=4或3，
因为AB
故选：B．
当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．
本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
11.【答案】a6
【解析】解：(−a3)2=a6．
根据幂的乘方，底数不变指数相乘计算即可．
本题考查幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键，要注意符号．
12.【答案】x≠2
【解析】解：由题意得，2x−4≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
根据分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13.【答案】6
【解析】解：根据题意知，S=|k|=6，
∴k=±6，
又∵反比例函数位于第一象限，k>0，
∴k=6，
故答案为：6．
根据过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|解答即可．
本题主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
14.【答案】−1
【解析】解：∵方程x2+x−1=0中的a=b=1，c=−1，
∴x1x2= ca=−1．
故答案是：−1．
根据根与系数的关系解答．
此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
15.【答案】3
【解析】解：由题意可得，摸到红球的概率为70%.则白球的概率为30%，
这个口袋中白球的个数：10×30%=3(个)，
故答案为3．
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
本题考查了用样本估计总体，正确理解概率的意义是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：∵|a+b−4|+(c−2)2=0，
∴a+b−4=0，c−2=0，
解得：a+b=4，c=2，
∴△ABC的周长为：a+b+c=4+2=6．
故答案为：6．
直接利用非负数的性质得出a+b，c的值，进而得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出a+b，c的值是解题关键．
17.【答案】π6
【解析】解：连接CO、DO，如下图所示，
∵C，D是以AB为直径的半圆上的三等分点，CD的长为13π，
∴∠COD=60°，圆的半周长=πr=3×13π=π，
∴r=1，
∵△ACD的面积等于△OCD的面积，
∴S阴影=S扇形COD=60π×12360=π6．
故答案为：π6．
连接CO、DO，利用等底等高的三角形面积相等可知S阴影=S扇形COD，利用扇形的面积公式计算即可．
本题考查扇形面积的计算，解题关键是根据“点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，CD的长为13π，”求出圆的半径，继而利用扇形的面积公式求出S阴影=S扇形COD．
18.【答案】92+102+902=912
【解析】
【分析】
本题考查了数式规律问题，仔细观察底数的关系是解题的关键．观察不难发现，两个连续自然数的平方和加上它们积的平方，等于比它们的积大1的数的平方，然后写出即可．
【解答】
解：因为12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212，…，
所以第9个等式为：92+102+(9×10)2=(9×10+1)2，
即92+102+902=912．
故答案为：92+102+902=912．
19.【答案】解：(2 3− 6)× 12
=2 36− 72
=12−6 2．
【解析】根据乘法分配律计算，然后再化简即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：去分母得：3x=x+3x+3，
解得：x=−3，
检验：当x=−3时，3(x+1)≠0，
∴分式方程的解为x=−3．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21.【答案】解：(1)①先作出线段BC的垂直平分线EF；
②再作出∠ABC的角平分线BM，EF与BM的交点为P；
则P即为所求作的点．
(2)连接PB，
由(1)可得，P为线段BC垂直平分线上的一点，
∴PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=45°，
∴∠BPC=90°，
∴△PBC为等腰直角三角形．
【解析】(1)作∠ABC的角平分线，作BC的垂直平分线，两条线交于点P即可．
(2)根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的定义即可判断．
本题考查了作图−复杂作图，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线和线段垂直平分线的作法．
22.【答案】解：∵AB=34cm，BC=70cm，
∴AC=AB+BC=104cm，
在Rt△ACE中，sin∠BCD=AEAC，
∴AE=AC⋅sin∠BCD=104×0.85≈88cm．
答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．
【解析】由AB，BC的长度求出AC长度，然后根据sin∠BCD=AEAC求解．
本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义．
23.【答案】解：(1)∵该赛事设有A”全程马拉松”，B”半程马拉松，”C”五公里健身跑“三个项目，
∴小颖被分配到B“半程马拉松”项目组的概率为13；
(2)画树状图如下：
由图可知共有9种等情况数，其中小颖和小亮被分到同一个项目组进行志愿服务的情况有3种，
∴小颖和小亮被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为39=13．
【解析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有9种等情况数，其中小颖和小亮被分到同一个项目组进行志愿服务的情况有3种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】50 108
【解析】解：(1)5÷10%=50(人)，
故答案为：50．
(2)a=50−5−15−10=20．
条形统计图如图：
(3)360°×(1−40%−20%−10%)=108°，
故答案为：108．
(4)2000×40%=800(人)．
答：该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生大约有800名．
(1)用“频数÷频率=样本总量”计算即可．
(2)用样本总量减去其他三部分的人数即为a，补充条形统计图即可．
(3)用360°乘以“朗读者”对应的百分比即可．
(4)用2000乘以调查中最喜爱《中国诗词大会》节目的百分比即可．
本题考查扇形统计图与条形统计图的有关知识，从统计图中读出有效信息是解题的关键．
25.【答案】20 65
【解析】解：(1)由图象得x=0时y=20，
∴加热前水温是20℃，
故答案为：20．
(2)设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y=kx+b，
将(0,20)，(160,80)代入y=kx+b得20=b80=160k+b，
解得k=38b=20，
∴y=38x+20．
(3)甲水壶的加热速度为(60−20)÷80=12℃/s，
∴甲水壶中温度为80℃时，加热时间为(80−20)÷12=120s，
将x=120代入y=38x+20得y=65，
故答案为：65．
(1)由图象x=0时y=20求解．
(2)通过待定系数法求解．
(3)由图象可求出甲壶的加热速度，求出甲壶中水温达到80℃时的x，将其代入(2)中解析式求解．
本题考查一次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握一次函数与方程的关系．
26.【答案】(1)证明：连接OD，如图：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ACB=∠ODB，
∴OD//AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，即PE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线；
(2)解：连接AD，连接OD，如图：
∵DE⊥AC，
∴∠AEP=90°，
∵∠P=30°，
∴∠PAE=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵⊙O的半径为6，
∴BC=AB=12，∠C=60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD=CD=12BC=6，
在Rt△CDE中，
CE=CD⋅cosC=6×cos60°=3，
答：CE的长是3．
【解析】(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；
(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，可得BD=CD=12BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．
本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．
27.【答案】AB//CE
【解析】解：(1)CE//AB，
理由如下：∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠BAC=∠ACE=60°，
∴AB//CE；
故答案为：CE//AB；
(2)∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ADE=60°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
∵∠AED=60°，∠DEC=60°，
∴∠AEC=120°，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ADB=∠AEC=120°，
∴∠ADB+∠ADE=180°，
∴点B，D，E在同一直线上；
(3)如图③，在线段BE上取一点H，使得BH=CE，设AC交BE于点O，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=60°，
∵∠BEC=60°，
∴∠BAO=∠OEC=60°，
∵∠AOB=∠EOC，
∴∠ABH=∠ACE，
在△ABH和△ACE中，
AB=AC∠ABH=∠ACEBH=CE，
∴△ABH≌△ACE(SAS)，
∴∠BAH=∠CAE，AH=AE，
∴∠HAE=∠BAC=60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴AE=EH，
∴BE=BH+EH=EC+AE，即BE=AE+EC，
∵AE=3，CE=2，
∴BE=3+2=5．
(1)利用SAS定理证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到∠B=∠ACE=60°，根据平行线的判定定理证明结论；
(2)根据题意得到证明∠AEC=120°，证明△BAD≌△CAE，得到∠ADB=∠AEC=120°，进而得到答案；
(3)在线段BE上取一点H，使得BH=CE，证明△ABH≌△ACE，得到∠BAH=∠CAE，AH=AE，证明△AEH是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AE=EH，结合图形计算，得到答案．
本题是三角形综合题，考查的是等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．
28.【答案】解：(1)令y=0，得y=x−6=0，
解得x=6，
∴B(6,0)，
令x=0，得y=x−6=−6，
∴D(0,−6)，
∵点C与点D关于x轴对称，
∴C(0,6)，
把B、C点坐标代入y=−x2+bx+c中，得
−36+6b+c=0c=6，
解得，b=5c=6，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+5x+6；
(2)设P(m,0)，则M(m,−m2+5m+6)，N(m,m−6)，
则MN=−m2+4m+12，
∴△MDB的面积=12MN⋅OB=−3m2+12m+36═−3(m−2)2+48，
∴当m=2时，△MDB的面积最大，
此时，P点的坐标为(2,0)；
(3)由(2)知，M(2,12)，N(2,−4)，
当∠QMN=90°时，QM//x轴，则Q(0,12)；
当∠MNQ=90°时，NQ//x轴，则Q(0,−4)；
当∠MQN=90°时，设Q(0,n)，则QM2+QN2=MN2，
即4+(12−n)2+4+(n+4)2=(12+4)2，
解得，n=4± 55，
∴Q(0,4+ 55)或(0,4− 55).
综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为(0,12)或(0,−4)或(0,4+ 55)或(0,4− 55).
【解析】(1)由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
(2)设P(m,0)，则M(m,−m2+5m+6)，N(m,m−6)，由三角形的面积公式求得△MDB的面积关于m的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m的值，进而得P点的坐标；
(3)分三种情况：M为直角顶点；N为直角顶点；Q为直角顶点．分别得出Q点的坐标．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值的应用，待定系数法，直角三角形的性质，三角形的面积计算，分类讨论思想，关键是正确求出函数解析式和分类讨论．
2023年甘肃省张掖市甘州区思源实验中学中考数学模拟试卷（6月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在下列四个实数中，最小的数是( )
A. −2 B. 13 C. 0 D. 3
2. 在下面由冬季奥运会比赛项目图标组成的四个图形中，其中可以看作轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 若3a=4b(b≠0)，则ab的值为( )
A. 13 B. 23 C. 43 D. 34
4. 2022年北京冬奥会的成功举办，标志着北京成为世界上第一个双奥之城．有着冰上“国际象棋”之称的冰壶如图放置时，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 为调查某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了30名同学，结果如表：
每天使用零花钱(单位：元)
5
10
15
20
25
人数
2
5
8
9
6
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是( )
A. 9，6 B. 20，25 C. 20，17.5 D. 9，25
6. 如图，直线m//n，将一块含30°角(∠BAC=30° )的直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线m和n上.若∠1=55°，则∠2的度数为( )
A. 55° B. 35° C. 45° D. 25°
7. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y=ax与一次函数y=bx+c在同一坐标系内的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，⊙O分别切∠BAC的两边ABAC于点E、F，点P在优弧EDF上，若∠BAC=66°，则∠EPF的度数为( )
A. 56°
B. 57°
C. 114°
D. 24°
9. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是( )
A. x+y=100y=3x B. x+y=100x=3y C. x+y=10013x+3y=100 D. x+y=10013y+3x=100
10. 如图①，在矩形ABCD中，AB
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 计算：(−a3)2= ______ ．
12. 在函数y=32x−4中，自变量x的取值范围是______．
13. 如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，S矩形OABC=6，则k= ______ ．
14. 已知实数x1，x2是方程x2+x−1=0的两根，则x1x2=______．
15. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有______个白球．
16. △ABC的三边长a，b，c满足|a+b−4|+(c−2)2=0，则△ABC的周长为______ ．
17. 如图，点C、D是以AB为直径的半圆O的三等分点，CD的长为13π，则图中阴影部分的面积为______.(结果不取近似值)
18. 一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第9个等式______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：(2 3− 6)× 12．
20. (本小题6.0分)
解分式方程：xx+1=x3x+3+1．
21. (本小题8.0分)
如图，已知：Rt△ABC，∠B=90°．
(1)求作：点P，使点P在△ABC内部，且PB=PC，∠PBC=45°．
(2)判断△PBC的形状．
22. (本小题8.0分)
动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度(结果精确到1cm).(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)
23. (本小题8.0分)
兰州国际马拉松赛从2011年首次举办，就高得了社会各界的广泛赞誉，被评为“最佳马拉松赛事”，该赛事设有A”全程马拉松”，B”半程马拉松，”C”五公里健身跑“三个项目，小颖和小亮参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组．
(1)求小颖被分配到B”半程马拉松”项目组的概率；
(2)用画树状图或列表法求小颖和小亮被分到同一个项目组进行志愿服务的概率．
24. (本小题10.0分)
为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的
喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查统计(要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目)，并将调查结果绘制成统计表和统计图(不完整)，请根据统计表和统计图中的信息回答下列问题：
节目
人数(名)
百分比
最强大脑
5
10%
朗读者
15
30%
中国诗词大会
a
40%
出彩中国人
10
20%
信息二：
(1)本次共调查了______ 名学生；
(2)求出表中的a值，并将条形统计图补充完整；
(3)扇形统计图中喜爱“朗读者”节目对应的圆心角为______ 度；
(4)若该校共有学生2000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名？
25. (本小题10.0分)
李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y(℃)与加热时间x(s)之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：
(1)加热前水温是______℃.
(2)求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．
(3)当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是______℃.
26. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．
(1)求证：直线PE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．
27. (本小题10.0分)
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形.通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
(1)观察猜想
如图①，已知△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，且不与点B、C重合，连接易证△ABD≌△ACE，进而判断出AB与CE的位置关系是______ ．
(2)类比探究
如图②，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC=60°，试说明点B，D，E在同一直线上：
(3)解决问题
如图③，已知点E在等边△ABC的外部，并且与点B位于线段AC的异侧，连接AE、BE、CE.若∠BEC=60°，AE=3，CE=2，请求出BE的长．
28. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.且直线y=x−6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查实数的大小比较，数轴表示数，掌握实数大小比较的方法是解决问题的关键．将−2，13，0， 3在数轴上表示，根据数轴表示数的大小规律可得答案．
【解答】
解：将−2，13，0， 3在数轴上表示如图所示：
于是有−2<0<13< 3，
故选A．
2.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】C
【解析】解：∵3a=4b(b≠0)，
∴ab=43，
故选：C．
根据比例的性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：从正面看到的图形与选项A相符合，
故选：A．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
5.【答案】C
【解析】解：20出现了9次，出现的次数最多，所以这30名同学每天使用的零花钱的众数为20元；
30个数据中，第15个和第16个数分别为15、20，它们的平均数为17.5，所以这30名同学每天使用的零花钱的中位数为17.5元．
故选：C．
分别根据众数和中位数的定义求解．
本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数的定义．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠BAC=30°，∠B=90°，
∴∠ACB=60°，
又∵∠1=55°，
∴∠EAC=∠1+∠BAC=85°，∠FCA=∠2+∠ACB=∠2+60°，
∵直线m//n，
∴∠EAC+∠FCA=180°，
即：85°+∠2+60°=180°，
∴∠2=35°．
故选：B．
依题意可得出∠BAC=30°，∠B=90°，则∠ACB=60°，据此得∠EAC=85°，∠FCA=∠2+60°，然后再根据两直线平行同旁内角互补得∠EAC+∠FCA=180°，据此可求出∠2的度数．
此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行同旁内角互补．
7.【答案】D
【解析】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴a>0，
∵二次函数的图象的对称轴在y轴的左侧，且交y轴的负半轴，
∴b>0，c<0，
∴反比例函数y=ax的图象必在一、三象限，一次函数y=bx+c的图象必经过一三四象限，故D正确．
故选：D．
根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定a>0，b>0，由抛物线与y轴的交点位置确定c<0，然后利用排除法即可得出正确答案．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接OE、OF，如图：
∵⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，
∴OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
∴∠EOF=180°−∠A=180°−66°=114°，
∴∠EPF=12∠EOF=12×114°=57°．
故选：B．
连接OE、OF，如图，利用切线的性质得到∠OEA=∠OFA=90°，再利用四边形的内角和得到∠EOF=180°−∠A=114°，然后根据圆周角定理求∠EPF的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
9.【答案】C
【解析】解：根据题意可得：x+y=100x3+3y=100，
故选：C．
根据“3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，
当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．
∴12AB⋅12BC=3，即AB⋅BC=12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，
当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC=7．
则BC=7−AB，代入AB⋅BC=12，
得AB2−7AB+12=0，解得AB=4或3，
因为AB
故选：B．
当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．
本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
11.【答案】a6
【解析】解：(−a3)2=a6．
根据幂的乘方，底数不变指数相乘计算即可．
本题考查幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键，要注意符号．
12.【答案】x≠2
【解析】解：由题意得，2x−4≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
根据分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13.【答案】6
【解析】解：根据题意知，S=|k|=6，
∴k=±6，
又∵反比例函数位于第一象限，k>0，
∴k=6，
故答案为：6．
根据过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|解答即可．
本题主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
14.【答案】−1
【解析】解：∵方程x2+x−1=0中的a=b=1，c=−1，
∴x1x2= ca=−1．
故答案是：−1．
根据根与系数的关系解答．
此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
15.【答案】3
【解析】解：由题意可得，摸到红球的概率为70%.则白球的概率为30%，
这个口袋中白球的个数：10×30%=3(个)，
故答案为3．
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
本题考查了用样本估计总体，正确理解概率的意义是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：∵|a+b−4|+(c−2)2=0，
∴a+b−4=0，c−2=0，
解得：a+b=4，c=2，
∴△ABC的周长为：a+b+c=4+2=6．
故答案为：6．
直接利用非负数的性质得出a+b，c的值，进而得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出a+b，c的值是解题关键．
17.【答案】π6
【解析】解：连接CO、DO，如下图所示，
∵C，D是以AB为直径的半圆上的三等分点，CD的长为13π，
∴∠COD=60°，圆的半周长=πr=3×13π=π，
∴r=1，
∵△ACD的面积等于△OCD的面积，
∴S阴影=S扇形COD=60π×12360=π6．
故答案为：π6．
连接CO、DO，利用等底等高的三角形面积相等可知S阴影=S扇形COD，利用扇形的面积公式计算即可．
本题考查扇形面积的计算，解题关键是根据“点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，CD的长为13π，”求出圆的半径，继而利用扇形的面积公式求出S阴影=S扇形COD．
18.【答案】92+102+902=912
【解析】
【分析】
本题考查了数式规律问题，仔细观察底数的关系是解题的关键．观察不难发现，两个连续自然数的平方和加上它们积的平方，等于比它们的积大1的数的平方，然后写出即可．
【解答】
解：因为12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212，…，
所以第9个等式为：92+102+(9×10)2=(9×10+1)2，
即92+102+902=912．
故答案为：92+102+902=912．
19.【答案】解：(2 3− 6)× 12
=2 36− 72
=12−6 2．
【解析】根据乘法分配律计算，然后再化简即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：去分母得：3x=x+3x+3，
解得：x=−3，
检验：当x=−3时，3(x+1)≠0，
∴分式方程的解为x=−3．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
21.【答案】解：(1)①先作出线段BC的垂直平分线EF；
②再作出∠ABC的角平分线BM，EF与BM的交点为P；
则P即为所求作的点．
(2)连接PB，
由(1)可得，P为线段BC垂直平分线上的一点，
∴PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=45°，
∴∠BPC=90°，
∴△PBC为等腰直角三角形．
【解析】(1)作∠ABC的角平分线，作BC的垂直平分线，两条线交于点P即可．
(2)根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的定义即可判断．
本题考查了作图−复杂作图，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线和线段垂直平分线的作法．
22.【答案】解：∵AB=34cm，BC=70cm，
∴AC=AB+BC=104cm，
在Rt△ACE中，sin∠BCD=AEAC，
∴AE=AC⋅sin∠BCD=104×0.85≈88cm．
答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．
【解析】由AB，BC的长度求出AC长度，然后根据sin∠BCD=AEAC求解．
本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数的定义．
23.【答案】解：(1)∵该赛事设有A”全程马拉松”，B”半程马拉松，”C”五公里健身跑“三个项目，
∴小颖被分配到B“半程马拉松”项目组的概率为13；
(2)画树状图如下：
由图可知共有9种等情况数，其中小颖和小亮被分到同一个项目组进行志愿服务的情况有3种，
∴小颖和小亮被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为39=13．
【解析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有9种等情况数，其中小颖和小亮被分到同一个项目组进行志愿服务的情况有3种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】50 108
【解析】解：(1)5÷10%=50(人)，
故答案为：50．
(2)a=50−5−15−10=20．
条形统计图如图：
(3)360°×(1−40%−20%−10%)=108°，
故答案为：108．
(4)2000×40%=800(人)．
答：该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生大约有800名．
(1)用“频数÷频率=样本总量”计算即可．
(2)用样本总量减去其他三部分的人数即为a，补充条形统计图即可．
(3)用360°乘以“朗读者”对应的百分比即可．
(4)用2000乘以调查中最喜爱《中国诗词大会》节目的百分比即可．
本题考查扇形统计图与条形统计图的有关知识，从统计图中读出有效信息是解题的关键．
25.【答案】20 65
【解析】解：(1)由图象得x=0时y=20，
∴加热前水温是20℃，
故答案为：20．
(2)设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y=kx+b，
将(0,20)，(160,80)代入y=kx+b得20=b80=160k+b，
解得k=38b=20，
∴y=38x+20．
(3)甲水壶的加热速度为(60−20)÷80=12℃/s，
∴甲水壶中温度为80℃时，加热时间为(80−20)÷12=120s，
将x=120代入y=38x+20得y=65，
故答案为：65．
(1)由图象x=0时y=20求解．
(2)通过待定系数法求解．
(3)由图象可求出甲壶的加热速度，求出甲壶中水温达到80℃时的x，将其代入(2)中解析式求解．
本题考查一次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握一次函数与方程的关系．
26.【答案】(1)证明：连接OD，如图：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ACB=∠ODB，
∴OD//AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，即PE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线；
(2)解：连接AD，连接OD，如图：
∵DE⊥AC，
∴∠AEP=90°，
∵∠P=30°，
∴∠PAE=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵⊙O的半径为6，
∴BC=AB=12，∠C=60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD=CD=12BC=6，
在Rt△CDE中，
CE=CD⋅cosC=6×cos60°=3，
答：CE的长是3．
【解析】(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；
(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，可得BD=CD=12BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．
本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．
27.【答案】AB//CE
【解析】解：(1)CE//AB，
理由如下：∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠BAC=∠ACE=60°，
∴AB//CE；
故答案为：CE//AB；
(2)∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ADE=60°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
∵∠AED=60°，∠DEC=60°，
∴∠AEC=120°，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ADB=∠AEC=120°，
∴∠ADB+∠ADE=180°，
∴点B，D，E在同一直线上；
(3)如图③，在线段BE上取一点H，使得BH=CE，设AC交BE于点O，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=60°，
∵∠BEC=60°，
∴∠BAO=∠OEC=60°，
∵∠AOB=∠EOC，
∴∠ABH=∠ACE，
在△ABH和△ACE中，
AB=AC∠ABH=∠ACEBH=CE，
∴△ABH≌△ACE(SAS)，
∴∠BAH=∠CAE，AH=AE，
∴∠HAE=∠BAC=60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴AE=EH，
∴BE=BH+EH=EC+AE，即BE=AE+EC，
∵AE=3，CE=2，
∴BE=3+2=5．
(1)利用SAS定理证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到∠B=∠ACE=60°，根据平行线的判定定理证明结论；
(2)根据题意得到证明∠AEC=120°，证明△BAD≌△CAE，得到∠ADB=∠AEC=120°，进而得到答案；
(3)在线段BE上取一点H，使得BH=CE，证明△ABH≌△ACE，得到∠BAH=∠CAE，AH=AE，证明△AEH是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AE=EH，结合图形计算，得到答案．
本题是三角形综合题，考查的是等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．
28.【答案】解：(1)令y=0，得y=x−6=0，
解得x=6，
∴B(6,0)，
令x=0，得y=x−6=−6，
∴D(0,−6)，
∵点C与点D关于x轴对称，
∴C(0,6)，
把B、C点坐标代入y=−x2+bx+c中，得
−36+6b+c=0c=6，
解得，b=5c=6，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+5x+6；
(2)设P(m,0)，则M(m,−m2+5m+6)，N(m,m−6)，
则MN=−m2+4m+12，
∴△MDB的面积=12MN⋅OB=−3m2+12m+36═−3(m−2)2+48，
∴当m=2时，△MDB的面积最大，
此时，P点的坐标为(2,0)；
(3)由(2)知，M(2,12)，N(2,−4)，
当∠QMN=90°时，QM//x轴，则Q(0,12)；
当∠MNQ=90°时，NQ//x轴，则Q(0,−4)；
当∠MQN=90°时，设Q(0,n)，则QM2+QN2=MN2，
即4+(12−n)2+4+(n+4)2=(12+4)2，
解得，n=4± 55，
∴Q(0,4+ 55)或(0,4− 55).
综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为(0,12)或(0,−4)或(0,4+ 55)或(0,4− 55).
【解析】(1)由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
(2)设P(m,0)，则M(m,−m2+5m+6)，N(m,m−6)，由三角形的面积公式求得△MDB的面积关于m的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m的值，进而得P点的坐标；
(3)分三种情况：M为直角顶点；N为直角顶点；Q为直角顶点．分别得出Q点的坐标．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值的应用，待定系数法，直角三角形的性质，三角形的面积计算，分类讨论思想，关键是正确求出函数解析式和分类讨论．
相关试卷
甘肃省张掖市思源实验中学2023—2024学年上学期九年级数学期中考试卷： 这是一份甘肃省张掖市思源实验中学2023—2024学年上学期九年级数学期中考试卷，共4页。
2022-2023学年甘肃省张掖市甘州区育才中学七年级（下）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年甘肃省张掖市甘州区育才中学七年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省张掖市甘州区大成中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年甘肃省张掖市甘州区大成中学七年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
