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2023年甘肃省中考数学模拟试卷（四）（含答案）
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这是一份2023年甘肃省中考数学模拟试卷（四）（含答案），共13页。
2023年甘肃省中考数学模拟试卷（四）
本卷150分地区和120分地区通用。150分地区用高分之值评判；120分地区用低分值（黑体分）评判
满分：150分（120分） 考试时间：120分钟
姓名： 成绩：
一． 选择题【本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选修中，只有一项是复合题目要求的】
1．﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．
2．∠A的补角为125°12′，则它的余角为（ ）
A．54°18′ B．35°12′ C．35°48′ D．以上都不对
3．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×105 B．0.15×105 C．1.5×106 D．1.5×107
4．用配方法解方程x2﹣4x﹣22＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝24 B．（x+2）2＝25 C．（x﹣2）2＝26 D．（x﹣2）2＝27
5．如图，下面是甲乙两位党员使用“学习强国APP”在一天中各项目学习时间的统计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比作出的判断中，正确的是（ ）
A．甲比乙大 B．甲比乙小
C．甲和乙一样大 D．甲和乙无法比较
6．如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
7．我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少？若设有x个人，则可列方程是（ ）
A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x+2）＝2x+9
C．+2＝ D．﹣2＝
8．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（ ）
A．这个函数的图象分布在第二、四象限
B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．点（﹣1，4）在这个函数图象上
D．y随x的增大而增大
9．下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长y与边长x；
②汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x；
③水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．一个正多边形的一个内角是135°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题【本大题共8个小题，每小题4分（3分），共32分（24分）。请把答案填写在题中的横线上】
11．二元一次方程组的解为 ．
12．把多项式xy2﹣36x分解因式的结果是 ．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是 ．
14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是 ．
第14题图 第15题图 第16题图
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC、AB于点D、E，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D为AB中点，E在线段AC上，＝，则＝ ．
17．按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，…，第n个单项式是 ．
18．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|b|++的结果为 ．
三．解答题【本大题共10小题，共88分（66分）。答案应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤】
19．【本小题满分6分（4分）】计算：
20． 【本小题满分6分（4分）】先化简，再求值（）÷然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．
21．【本小题满分8分（6分）】如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）求证：DC＝DE．
22．【本小题满分10分（8分）】美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A、B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量，如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝60°，若AB＝132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果可带根号）
23．【本小题满分8分（6分）】如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．
（1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是 （填写序号）．
①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域；
②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数；
③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10．
（2）怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案．
24．【本小题满分10分（6分）】某校为了解七、八年级学生对“防新冠疫情”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a七年级成绩频数分布直方图
年级
平均数
中位数
七
76.9
m
八
79.2
79.5
b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年级成绩平均数、中位数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的人数有多少？
（2）表中m的值为多少？
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由．
25．【本小题满分10分（8分）】已知一次函数y1＝x+m的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，已知当0＜x＜1时，y1＜y2；当x＞1时，y1＞y2．
（1）求一次函数的函数表达式；
（2）已知反比例函数图象上一点C的横坐标为3，求△ABC的面积．
26．【本小题满分10分（8分）】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且D为弧BC中点，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠DAB＝30°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．
27．【本小题满分8分（6分）】已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．
28．【本小题满分12分（10分）】如图，抛物线y＝x2﹣bx+c过点B（3，0），C（0，﹣3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）连接BC，CD，DB，求∠CBD的正切值；
（3）点C关于抛物线y＝x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点，连接BE，直线BE与对称轴交于点M，在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点P使△CDB和△BMP相似，若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．
2023年甘肃省中考数学模拟试卷（四）
参考答案
一．选择题
1．﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．
【分析】根据绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值进行计算即可．
【解答】解：|﹣2023|＝2023，
故选：A．
2．∠A的补角为125°12′，则它的余角为（ ）
A．54°18′ B．35°12′ C．35°48′ D．以上都不对
【分析】两角互补和为180°，互余和为90°，先求出∠A，再用90°﹣∠A即可解出本题．
【解答】解：∵∠A＝180°﹣125°12′，
∴∠A的余角为90°﹣∠A＝90°﹣（180°﹣125°12′）＝125°12′﹣90°＝35°12′．
故选：B．
3．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×105 B．0.15×105 C．1.5×106 D．1.5×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：150万＝1500000＝1.5×106．
故选：C．
4．用配方法解方程x2﹣4x﹣22＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝24 B．（x+2）2＝25 C．（x﹣2）2＝26 D．（x﹣2）2＝27
【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：x2﹣4x﹣22＝0，移项得：x2﹣4x＝22，配方得：x2﹣4x+4＝22+4，整理得：（x﹣2）2＝26，
故选：C．
5．如图，下面是甲乙两位党员使用“学习强国APP”在一天中各项目学习时间的统计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比作出的判断中，正确的是（ ）
A．甲比乙大 B．甲比乙小
C．甲和乙一样大 D．甲和乙无法比较
【分析】由扇形统计图可知，乙党员学习文章时间的百分比是20%，再由条形统计图求出甲党员学习文章的百分比，进行比较即可．
【解答】解：由扇形统计图可知，乙党员学习文章时间的百分比是20%，
由条形统计图求出甲党员学习文章的百分比是15÷（15+30+10+5）＝25%，
所以甲党员的百分比比乙党员的百分比大．
故选：A．
6．如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【分析】由题意可得点B的轨迹是以A为圆心，AB长为半径的弧，利用弧长公式可求解．
【解答】解：由题意可得：点B运动路径的长度为＝＝π，
故选：A．
7．我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少？若设有x个人，则可列方程是（ ）
A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x+2）＝2x+9
C．+2＝ D．﹣2＝
【分析】根据“每3人乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：+2＝．
故选：C．
8．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（ ）
A．这个函数的图象分布在第二、四象限
B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．点（﹣1，4）在这个函数图象上
D．y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的图象和性质逐个进行判断即可．
【解答】解：A．反比例函数y＝的图象是双曲线，它的两个分支分布在一、三象限，因此选项A不符合题意；
B．反比例函数y＝的图象是关于原点为对称中心的中心对称图形，同时也是以直线y＝x，直线y＝﹣x为对称轴的轴对称图形，因此选项B符合题意；
C．点（﹣1，4）的坐标不满足y＝，因此点（﹣1，4）不在该函数的图象上，故选项C不符合题意；
D．函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大，因此选项D不符合题意；
故选：B．
加
9．下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长y与边长x；
②汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x；
③水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】（1）根据正方形的周长公式判断即可；
（2）根据“路程＝速度×时间”判断即可；
（3）根据“水箱中的剩余水量＝水箱的水量﹣0.8x”判断即可．
【解答】解：正方形的周长y与边长x的关系式为y＝4x，故①符合题意；
汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x的关系式为y＝30x，故②符合题意；
水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间d关系式为：水箱中的剩余水量＝水箱的水量﹣0.8x，故③不符合题意；
所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．
故选：A．
10．一个正多边形的一个内角是135°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角和为360°，即可求出正多边形的边数．
【解答】解：∵正多边形的一个内角是135°，∴该正多边形的一个外角为45°，
∵多边形的外角和为360°，∴边数n＝360÷45＝8，∴该正多边形的边数是8．
故选：B．
二．填空题
11．二元一次方程组的解为 ．
【分析】加减消元法消去y解出x，把x代入第一个方程解出y即可．
【解答】解：，②×2﹣①得：3x＝3，解得x＝1．
把x＝1代入1得：1+2y＝﹣1，解得y＝﹣1．∴方程组的解是．
12．把多项式xy2﹣36x分解因式的结果是 x（y+6）（y﹣6） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：xy2﹣36x＝x（y2﹣36）＝x（y+6）（y﹣6），故答案为：x（y+6）（y﹣6）．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是 3＜m≤5 ．
【分析】根据根的判别式Δ＞0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．
【解答】解：依题意得：，解得3＜m≤5．故答案是：3＜m≤5．
14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是 ．
【分析】连接AO并延长交⊙O于D，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB，根据勾股定理求出AD，根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB，
由勾股定理得：AD＝＝2，∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝＝，故答案为：．
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC、AB于点D、E，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形CDE﹣S△BCE，利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：连接CE，过点E作EF⊥BC于F，
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴∠ABC＝60°，AC＝2，
∵CD＝BC＝CE，∴△BCE是等边三角形，CD＝BC＝CE＝2，∴∠BCE＝60°，∴∠ACE＝30°，
∵EF⊥BC，∠BCE＝60°，∴∠CEF＝30°，∴EF＝，
∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形CDE﹣S△BCE＝×2×2﹣﹣××2＝﹣，
故答案为：﹣．
16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D为AB中点，E在线段AC上，＝，则＝ 或 ．
【分析】利用平行线截线段成比例解答．【解答】解：∵D为AB中点，∴＝．
当DE∥BC时，△ADE∽△ABC，则＝＝＝当DE与BC不平行时，DE＝DE′，＝．
故答案是：或．
17．按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，…，第n个单项式是 （﹣1）n+1•an ．
【分析】根据题目中的单项式，可以发现单项式的变化特点，从而可以写出第n个单项式．
【解答】解：∵一列单项式为：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，…，
∴第n个单项式为（﹣1）n+1•an．故答案为：（﹣1）n+1•an．
18．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|b|++的结果为 0 ．
【分析】先根据数轴上点的坐标特点确定a，b的符号，再去绝对值符号和开立方根，化简即可．
【解答】解：由图可得，a＜0＜b，且|a|＞|b|，所以a+b＜0，则|b|++
＝b﹣（a+b）+a＝0．
故答案为：0．
三．解答题
19.计算：
【解答】解：（1）
＝﹣3+1﹣4×+2＝﹣3+1﹣2+2＝﹣2；
20．先化简，再求值（）÷然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．
【解答】解：（1）原式＝＝
＝3．
（2）原式＝＝，∵x≠1，﹣1，∴x＝0，
当x＝0时，原式＝＝1．
21．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）求证：DC＝DE．
【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；
（2）直接利用中垂线的性质结合角平分线的性质得出DC＝DE．
【解答】（1）解：如图所示：DE就是要求作的AB边上的中垂线；
（2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A＝30°，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝30°，
∵∠C＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABC＝60°﹣30°＝30°，∴∠ABD＝∠CBD，∵DC⊥CB，DE⊥EB，
∴CD＝DE．
22．美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A、B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量，如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝60°，若AB＝132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果可带根号）
【分析】过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE＝x米，根据AE＝DE，列出方程即可解决问题．
【解答】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE＝x米，在Rt△DEB中，，
∵∠DBC＝65°，∴DE＝xtan65°．又∵∠DAC＝45°，∴AE＝DE．∴132+x＝xtan65°，
∴解得x≈115.8，∴DE≈248（米）．
∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．
23．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．
（1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是 ①②③ （填写序号）．
①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域；
②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数；
③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10．
（2）怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案．
【分析】（1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案；
（2）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
【解答】解：（1）①转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针不一定指向红色区域，故本选项说法错误；
②转动10次，指针指向红色区域的次数不一定大于指向蓝色区域的次数，故本选项说法错误；
③转动60次，指针指向黄色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误；
故答案为：①②③．
（2）将1个红色区域改为黄色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
24．某校为了解七、八年级学生对“防新冠疫情”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a七年级成绩频数分布直方图
年级
平均数
中位数
七
76.9
m
八
79.2
79.5
b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年级成绩平均数、中位数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的人数有多少？
（2）表中m的值为多少？
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由．
【分析】（1）根据频数分布直方图可得七年级在80分以上（含80分）的人数；
（2）根据中位数的概念求解即可；
（3）根据中位数的意义求解即可．
【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的人数有15+8＝23（人）；
（2）七年级学生成绩的中位数m＝＝77.5（分）；
（3）七年级学生甲的成绩更靠前，
因为七年级学生甲的成绩大于其中位数．
25．已知一次函数y1＝x+m的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，已知当0＜x＜1时，y1＜y2；当x＞1时，y1＞y2．
（1）求一次函数的函数表达式；
（2）已知反比例函数图象上一点C的横坐标为3，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据当0＜x＜1时，y1＜y2；当x＞1时，y1＞y2，可知点A的横坐标，进一步可知点A得纵坐标，将点A代入一次函数解析式求解即可；
（2）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点B坐标，再求出C点坐标，待定系数法求出直线BC的解析式，过点A作AH⊥x轴交BC于点D，交x轴于点H，求出点D坐标，根据△ABC的面积＝求解即可．
【解答】解：（1）∵当0＜x＜1时，y1＜y2；当x＞1时，y1＞y2，
∴反比例函数与一次函数的交点A的横坐标为1，将横坐标1代入反比例函数y2＝，
得y2＝6，∴点A坐标为（1，6），将点A坐标代入一次函数y1＝x+m，得1+m＝6，
解得m＝5，∴一次函数表达式为y1＝x+5；
（2）联立，解得x1＝﹣6，x2＝1，
∴点B坐标为（﹣6，﹣1），∵反比例函数图象上一点C的横坐标为3，∴点C纵坐标为＝2，
∴点C坐标为（3，2），
设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0，m，n为常数），代入点B（﹣6，﹣1），点C（3，2），
得，解得，∴直线BC的解析式为y＝，
过点A作AH⊥x轴交BC于点D，交x轴于点H，如图所示，∴点D横坐标为1，
将点D横坐标代入直线BC的解析式，得y＝＝，则点D坐标为（1，），
∴△ABC的面积＝＝21．
26．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且D为弧BC中点，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠DAB＝30°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，根据垂直定义可得∠E＝90°，再根据等弧所对的圆周角相等可得∠CAD＝∠BAD，从而利用角平分线和平行证明AC∥OD，然后利用平行线的性质求出∠ODF＝90°，即可解答；
（2）根据圆周角定理可得∠DOF＝2∠DAB＝60°，然后在Rt△ODF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，最后根据阴影部分的面积＝△ODF的面积﹣扇形BOD的面积，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∵D为弧BC中点，∴＝，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∴∠E＝∠ODF＝90°，∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵∠DAB＝30°，∴∠DOF＝2∠DAB＝60°，在Rt△ODF中，DO＝2，
∴DF＝OD•tan60°＝2，
∴阴影部分的面积＝△ODF的面积﹣扇形BOD的面积
＝OD•DF﹣＝×2×2﹣π＝2﹣π，
∴阴影部分的面积为2﹣π．
27．已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB＝∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E＝∠F，∠EAM＝∠FCN，然后利用ASA可证明△AEM≌△CFN；
（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BM＝DN，BM∥DN，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论．
【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD，AD∥BC，∴∠EAM＝∠FCN，∵AD∥BC，∴∠E＝∠F．
在△AEM与△CFN中，，∴△AEM≌△CFN（ASA）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵△AEM≌△CFN，∴AM＝CN，
∴BM＝DN，BM∥DN，∴四边形BMDN是平行四边形．
28．如图，抛物线y＝x2﹣bx+c过点B（3，0），C（0，﹣3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）连接BC，CD，DB，求∠CBD的正切值；
（3）点C关于抛物线y＝x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点，连接BE，直线BE与对称轴交于点M，在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点P使△CDB和△BMP相似，若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点B、C的坐标代入y＝x2﹣bx+c，即可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得抛物线的顶点坐标；
（2）求得BC，CD，DB的长，根据勾股定理的逆定理可得△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）根据二次函数的对称性得E（2，﹣3），可得直线BE为y＝3x﹣9，则M（1，﹣6），由（2）知△CDB是直角三角形，∠BCD＝90°，若△CDB和△BMP相似，可分两种情况进行解析：①∠MPB＝∠BCD＝90°时，②∠MBP＝∠BCD＝90°时，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：
，解得，故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4）；
（2）如图．
∵B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），∴BC2＝32+32＝18，BC＝＝3，
CD2＝12+（4﹣3）2＝2，CD＝，BD2＝42+（3﹣1）2＝20，BD＝2，
∴BD2＝BC2+CD2，∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，
∴tan∠CBD＝＝＝；
（3）∵点C关于抛物线y＝x2﹣2x﹣3对称轴的对称点为E点，y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，
∴E（2，﹣3），∵B（3，0），∴直线BE为y＝3x﹣9，∴M（1，﹣6），
由（2）知△CDB是直角三角形，∠BCD＝90°，
若△CDB和△BMP相似，可分两种情况进行解析：
①∠MPB＝∠BCD＝90°时，点P在x轴上，
∵M（1，﹣6），B（3，0），∴PM＝6，BP＝2，∴，∴＝，
∵∠MPB＝∠BCD＝90°，∴△CDB和△PBM，∴P（1，0）；
②∠MBP＝∠BCD＝90°时，
∵M（1，﹣6），B（3，0），∴MB＝＝2，
∵△CDB和△BPM，∴，∴，解得PM＝，
∴点MP的纵坐标为﹣6＝，∴P（1，）．
综上所述，存在，点P的坐标为（1，0）或（1，）．
2023年甘肃省中考数学模拟试卷（四）
本卷150分地区和120分地区通用。150分地区用高分之值评判；120分地区用低分值（黑体分）评判
满分：150分（120分） 考试时间：120分钟
姓名： 成绩：
一． 选择题【本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选修中，只有一项是复合题目要求的】
1．﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．
2．∠A的补角为125°12′，则它的余角为（ ）
A．54°18′ B．35°12′ C．35°48′ D．以上都不对
3．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×105 B．0.15×105 C．1.5×106 D．1.5×107
4．用配方法解方程x2﹣4x﹣22＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝24 B．（x+2）2＝25 C．（x﹣2）2＝26 D．（x﹣2）2＝27
5．如图，下面是甲乙两位党员使用“学习强国APP”在一天中各项目学习时间的统计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比作出的判断中，正确的是（ ）
A．甲比乙大 B．甲比乙小
C．甲和乙一样大 D．甲和乙无法比较
6．如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
7．我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少？若设有x个人，则可列方程是（ ）
A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x+2）＝2x+9
C．+2＝ D．﹣2＝
8．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（ ）
A．这个函数的图象分布在第二、四象限
B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．点（﹣1，4）在这个函数图象上
D．y随x的增大而增大
9．下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长y与边长x；
②汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x；
③水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．一个正多边形的一个内角是135°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题【本大题共8个小题，每小题4分（3分），共32分（24分）。请把答案填写在题中的横线上】
11．二元一次方程组的解为 ．
12．把多项式xy2﹣36x分解因式的结果是 ．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是 ．
14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是 ．
第14题图 第15题图 第16题图
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC、AB于点D、E，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D为AB中点，E在线段AC上，＝，则＝ ．
17．按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，…，第n个单项式是 ．
18．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|b|++的结果为 ．
三．解答题【本大题共10小题，共88分（66分）。答案应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤】
19．【本小题满分6分（4分）】计算：
20． 【本小题满分6分（4分）】先化简，再求值（）÷然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．
21．【本小题满分8分（6分）】如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）求证：DC＝DE．
22．【本小题满分10分（8分）】美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A、B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量，如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝60°，若AB＝132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果可带根号）
23．【本小题满分8分（6分）】如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．
（1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是 （填写序号）．
①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域；
②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数；
③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10．
（2）怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案．
24．【本小题满分10分（6分）】某校为了解七、八年级学生对“防新冠疫情”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a七年级成绩频数分布直方图
年级
平均数
中位数
七
76.9
m
八
79.2
79.5
b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年级成绩平均数、中位数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的人数有多少？
（2）表中m的值为多少？
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由．
25．【本小题满分10分（8分）】已知一次函数y1＝x+m的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，已知当0＜x＜1时，y1＜y2；当x＞1时，y1＞y2．
（1）求一次函数的函数表达式；
（2）已知反比例函数图象上一点C的横坐标为3，求△ABC的面积．
26．【本小题满分10分（8分）】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且D为弧BC中点，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠DAB＝30°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．
27．【本小题满分8分（6分）】已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．
28．【本小题满分12分（10分）】如图，抛物线y＝x2﹣bx+c过点B（3，0），C（0，﹣3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）连接BC，CD，DB，求∠CBD的正切值；
（3）点C关于抛物线y＝x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点，连接BE，直线BE与对称轴交于点M，在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点P使△CDB和△BMP相似，若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．
2023年甘肃省中考数学模拟试卷（四）
参考答案
一．选择题
1．﹣2023的绝对值是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．
【分析】根据绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值进行计算即可．
【解答】解：|﹣2023|＝2023，
故选：A．
2．∠A的补角为125°12′，则它的余角为（ ）
A．54°18′ B．35°12′ C．35°48′ D．以上都不对
【分析】两角互补和为180°，互余和为90°，先求出∠A，再用90°﹣∠A即可解出本题．
【解答】解：∵∠A＝180°﹣125°12′，
∴∠A的余角为90°﹣∠A＝90°﹣（180°﹣125°12′）＝125°12′﹣90°＝35°12′．
故选：B．
3．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为（ ）
A．1.5×105 B．0.15×105 C．1.5×106 D．1.5×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：150万＝1500000＝1.5×106．
故选：C．
4．用配方法解方程x2﹣4x﹣22＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝24 B．（x+2）2＝25 C．（x﹣2）2＝26 D．（x﹣2）2＝27
【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：x2﹣4x﹣22＝0，移项得：x2﹣4x＝22，配方得：x2﹣4x+4＝22+4，整理得：（x﹣2）2＝26，
故选：C．
5．如图，下面是甲乙两位党员使用“学习强国APP”在一天中各项目学习时间的统计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比作出的判断中，正确的是（ ）
A．甲比乙大 B．甲比乙小
C．甲和乙一样大 D．甲和乙无法比较
【分析】由扇形统计图可知，乙党员学习文章时间的百分比是20%，再由条形统计图求出甲党员学习文章的百分比，进行比较即可．
【解答】解：由扇形统计图可知，乙党员学习文章时间的百分比是20%，
由条形统计图求出甲党员学习文章的百分比是15÷（15+30+10+5）＝25%，
所以甲党员的百分比比乙党员的百分比大．
故选：A．
6．如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【分析】由题意可得点B的轨迹是以A为圆心，AB长为半径的弧，利用弧长公式可求解．
【解答】解：由题意可得：点B运动路径的长度为＝＝π，
故选：A．
7．我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少？若设有x个人，则可列方程是（ ）
A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x+2）＝2x+9
C．+2＝ D．﹣2＝
【分析】根据“每3人乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：+2＝．
故选：C．
8．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（ ）
A．这个函数的图象分布在第二、四象限
B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．点（﹣1，4）在这个函数图象上
D．y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的图象和性质逐个进行判断即可．
【解答】解：A．反比例函数y＝的图象是双曲线，它的两个分支分布在一、三象限，因此选项A不符合题意；
B．反比例函数y＝的图象是关于原点为对称中心的中心对称图形，同时也是以直线y＝x，直线y＝﹣x为对称轴的轴对称图形，因此选项B符合题意；
C．点（﹣1，4）的坐标不满足y＝，因此点（﹣1，4）不在该函数的图象上，故选项C不符合题意；
D．函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大，因此选项D不符合题意；
故选：B．
加
9．下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长y与边长x；
②汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x；
③水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】（1）根据正方形的周长公式判断即可；
（2）根据“路程＝速度×时间”判断即可；
（3）根据“水箱中的剩余水量＝水箱的水量﹣0.8x”判断即可．
【解答】解：正方形的周长y与边长x的关系式为y＝4x，故①符合题意；
汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x的关系式为y＝30x，故②符合题意；
水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间d关系式为：水箱中的剩余水量＝水箱的水量﹣0.8x，故③不符合题意；
所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．
故选：A．
10．一个正多边形的一个内角是135°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角和为360°，即可求出正多边形的边数．
【解答】解：∵正多边形的一个内角是135°，∴该正多边形的一个外角为45°，
∵多边形的外角和为360°，∴边数n＝360÷45＝8，∴该正多边形的边数是8．
故选：B．
二．填空题
11．二元一次方程组的解为 ．
【分析】加减消元法消去y解出x，把x代入第一个方程解出y即可．
【解答】解：，②×2﹣①得：3x＝3，解得x＝1．
把x＝1代入1得：1+2y＝﹣1，解得y＝﹣1．∴方程组的解是．
12．把多项式xy2﹣36x分解因式的结果是 x（y+6）（y﹣6） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：xy2﹣36x＝x（y2﹣36）＝x（y+6）（y﹣6），故答案为：x（y+6）（y﹣6）．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是 3＜m≤5 ．
【分析】根据根的判别式Δ＞0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．
【解答】解：依题意得：，解得3＜m≤5．故答案是：3＜m≤5．
14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是 ．
【分析】连接AO并延长交⊙O于D，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB，根据勾股定理求出AD，根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB，
由勾股定理得：AD＝＝2，∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝＝，故答案为：．
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC、AB于点D、E，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形CDE﹣S△BCE，利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：连接CE，过点E作EF⊥BC于F，
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴∠ABC＝60°，AC＝2，
∵CD＝BC＝CE，∴△BCE是等边三角形，CD＝BC＝CE＝2，∴∠BCE＝60°，∴∠ACE＝30°，
∵EF⊥BC，∠BCE＝60°，∴∠CEF＝30°，∴EF＝，
∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形CDE﹣S△BCE＝×2×2﹣﹣××2＝﹣，
故答案为：﹣．
16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D为AB中点，E在线段AC上，＝，则＝ 或 ．
【分析】利用平行线截线段成比例解答．【解答】解：∵D为AB中点，∴＝．
当DE∥BC时，△ADE∽△ABC，则＝＝＝当DE与BC不平行时，DE＝DE′，＝．
故答案是：或．
17．按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，…，第n个单项式是 （﹣1）n+1•an ．
【分析】根据题目中的单项式，可以发现单项式的变化特点，从而可以写出第n个单项式．
【解答】解：∵一列单项式为：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，…，
∴第n个单项式为（﹣1）n+1•an．故答案为：（﹣1）n+1•an．
18．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|b|++的结果为 0 ．
【分析】先根据数轴上点的坐标特点确定a，b的符号，再去绝对值符号和开立方根，化简即可．
【解答】解：由图可得，a＜0＜b，且|a|＞|b|，所以a+b＜0，则|b|++
＝b﹣（a+b）+a＝0．
故答案为：0．
三．解答题
19.计算：
【解答】解：（1）
＝﹣3+1﹣4×+2＝﹣3+1﹣2+2＝﹣2；
20．先化简，再求值（）÷然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．
【解答】解：（1）原式＝＝
＝3．
（2）原式＝＝，∵x≠1，﹣1，∴x＝0，
当x＝0时，原式＝＝1．
21．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）求证：DC＝DE．
【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；
（2）直接利用中垂线的性质结合角平分线的性质得出DC＝DE．
【解答】（1）解：如图所示：DE就是要求作的AB边上的中垂线；
（2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A＝30°，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝30°，
∵∠C＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABC＝60°﹣30°＝30°，∴∠ABD＝∠CBD，∵DC⊥CB，DE⊥EB，
∴CD＝DE．
22．美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A、B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量，如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝60°，若AB＝132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果可带根号）
【分析】过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE＝x米，根据AE＝DE，列出方程即可解决问题．
【解答】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE＝x米，在Rt△DEB中，，
∵∠DBC＝65°，∴DE＝xtan65°．又∵∠DAC＝45°，∴AE＝DE．∴132+x＝xtan65°，
∴解得x≈115.8，∴DE≈248（米）．
∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．
23．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．
（1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是 ①②③ （填写序号）．
①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域；
②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数；
③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10．
（2）怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案．
【分析】（1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案；
（2）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
【解答】解：（1）①转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针不一定指向红色区域，故本选项说法错误；
②转动10次，指针指向红色区域的次数不一定大于指向蓝色区域的次数，故本选项说法错误；
③转动60次，指针指向黄色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误；
故答案为：①②③．
（2）将1个红色区域改为黄色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．
24．某校为了解七、八年级学生对“防新冠疫情”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a七年级成绩频数分布直方图
年级
平均数
中位数
七
76.9
m
八
79.2
79.5
b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年级成绩平均数、中位数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的人数有多少？
（2）表中m的值为多少？
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由．
【分析】（1）根据频数分布直方图可得七年级在80分以上（含80分）的人数；
（2）根据中位数的概念求解即可；
（3）根据中位数的意义求解即可．
【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的人数有15+8＝23（人）；
（2）七年级学生成绩的中位数m＝＝77.5（分）；
（3）七年级学生甲的成绩更靠前，
因为七年级学生甲的成绩大于其中位数．
25．已知一次函数y1＝x+m的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，已知当0＜x＜1时，y1＜y2；当x＞1时，y1＞y2．
（1）求一次函数的函数表达式；
（2）已知反比例函数图象上一点C的横坐标为3，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据当0＜x＜1时，y1＜y2；当x＞1时，y1＞y2，可知点A的横坐标，进一步可知点A得纵坐标，将点A代入一次函数解析式求解即可；
（2）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点B坐标，再求出C点坐标，待定系数法求出直线BC的解析式，过点A作AH⊥x轴交BC于点D，交x轴于点H，求出点D坐标，根据△ABC的面积＝求解即可．
【解答】解：（1）∵当0＜x＜1时，y1＜y2；当x＞1时，y1＞y2，
∴反比例函数与一次函数的交点A的横坐标为1，将横坐标1代入反比例函数y2＝，
得y2＝6，∴点A坐标为（1，6），将点A坐标代入一次函数y1＝x+m，得1+m＝6，
解得m＝5，∴一次函数表达式为y1＝x+5；
（2）联立，解得x1＝﹣6，x2＝1，
∴点B坐标为（﹣6，﹣1），∵反比例函数图象上一点C的横坐标为3，∴点C纵坐标为＝2，
∴点C坐标为（3，2），
设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0，m，n为常数），代入点B（﹣6，﹣1），点C（3，2），
得，解得，∴直线BC的解析式为y＝，
过点A作AH⊥x轴交BC于点D，交x轴于点H，如图所示，∴点D横坐标为1，
将点D横坐标代入直线BC的解析式，得y＝＝，则点D坐标为（1，），
∴△ABC的面积＝＝21．
26．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且D为弧BC中点，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠DAB＝30°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，根据垂直定义可得∠E＝90°，再根据等弧所对的圆周角相等可得∠CAD＝∠BAD，从而利用角平分线和平行证明AC∥OD，然后利用平行线的性质求出∠ODF＝90°，即可解答；
（2）根据圆周角定理可得∠DOF＝2∠DAB＝60°，然后在Rt△ODF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，最后根据阴影部分的面积＝△ODF的面积﹣扇形BOD的面积，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∵D为弧BC中点，∴＝，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∴∠E＝∠ODF＝90°，∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵∠DAB＝30°，∴∠DOF＝2∠DAB＝60°，在Rt△ODF中，DO＝2，
∴DF＝OD•tan60°＝2，
∴阴影部分的面积＝△ODF的面积﹣扇形BOD的面积
＝OD•DF﹣＝×2×2﹣π＝2﹣π，
∴阴影部分的面积为2﹣π．
27．已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB＝∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E＝∠F，∠EAM＝∠FCN，然后利用ASA可证明△AEM≌△CFN；
（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BM＝DN，BM∥DN，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论．
【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD，AD∥BC，∴∠EAM＝∠FCN，∵AD∥BC，∴∠E＝∠F．
在△AEM与△CFN中，，∴△AEM≌△CFN（ASA）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵△AEM≌△CFN，∴AM＝CN，
∴BM＝DN，BM∥DN，∴四边形BMDN是平行四边形．
28．如图，抛物线y＝x2﹣bx+c过点B（3，0），C（0，﹣3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）连接BC，CD，DB，求∠CBD的正切值；
（3）点C关于抛物线y＝x2﹣bx+c对称轴的对称点为E点，连接BE，直线BE与对称轴交于点M，在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点P使△CDB和△BMP相似，若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点B、C的坐标代入y＝x2﹣bx+c，即可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得抛物线的顶点坐标；
（2）求得BC，CD，DB的长，根据勾股定理的逆定理可得△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，利用锐角三角函数的定义求解即可；
（3）根据二次函数的对称性得E（2，﹣3），可得直线BE为y＝3x﹣9，则M（1，﹣6），由（2）知△CDB是直角三角形，∠BCD＝90°，若△CDB和△BMP相似，可分两种情况进行解析：①∠MPB＝∠BCD＝90°时，②∠MBP＝∠BCD＝90°时，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：
，解得，故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4）；
（2）如图．
∵B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），∴BC2＝32+32＝18，BC＝＝3，
CD2＝12+（4﹣3）2＝2，CD＝，BD2＝42+（3﹣1）2＝20，BD＝2，
∴BD2＝BC2+CD2，∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，
∴tan∠CBD＝＝＝；
（3）∵点C关于抛物线y＝x2﹣2x﹣3对称轴的对称点为E点，y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，
∴E（2，﹣3），∵B（3，0），∴直线BE为y＝3x﹣9，∴M（1，﹣6），
由（2）知△CDB是直角三角形，∠BCD＝90°，
若△CDB和△BMP相似，可分两种情况进行解析：
①∠MPB＝∠BCD＝90°时，点P在x轴上，
∵M（1，﹣6），B（3，0），∴PM＝6，BP＝2，∴，∴＝，
∵∠MPB＝∠BCD＝90°，∴△CDB和△PBM，∴P（1，0）；
②∠MBP＝∠BCD＝90°时，
∵M（1，﹣6），B（3，0），∴MB＝＝2，
∵△CDB和△BPM，∴，∴，解得PM＝，
∴点MP的纵坐标为﹣6＝，∴P（1，）．
综上所述，存在，点P的坐标为（1，0）或（1，）．
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