2023年甘肃省中考数学模拟试卷（三）（含答案）

这是一份2023年甘肃省中考数学模拟试卷（三）（含答案），共13页。

满分：150分（120分） 考试时间：120分钟
姓名： 成绩：
一．选择题【本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选修中，只有一项是复合题目要求的】
1．|﹣8|的相反数是（ ）
A．﹣8B．8C．D．﹣
2．若∠A＝130°，则它的补角的余角为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
3．没有稳固的国防，就没有人民的安宁，2023年，中国国防预算约为15537亿元，将15537亿元用科学记数法表示为（ ）
A．1.5537×1012B．15.537×1011
C．1.5537×1013D．0.15537×1013
4．一元二次方程x2+4x+1＝0配方后可化为（ ）
A．（x+2）2＝5B．（x﹣2）2﹣5＝0C．（x+2）2＝3D．（x﹣2）2﹣3＝0
5．如图是根据某班50名同学每天课外阅读的时间制成的条形统计图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．这组数据的平均数是12.5
B．这组数据的众数是20
C．这组数据的中位数是2
D．这组数据的中位数是17.5
6．《算法统宗》中有一道题，原文是：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、并深各几何？译文为：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成3等份，一份绳长比井深多4尺，如果将绳子折成4等份，一份绳长比井深多1尺，问绳长和井深各多少尺？如果设井深为x尺，则可列方程为（ ）
A．4（x+4）＝3（x+1）B．3（x+4）＝4（x+1）
C．4（x﹣1）＝3（x﹣4）D．3（x﹣1）＝4（x﹣4）
7．如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝5，当风车转动60°，点B运动的路径长度为（ ）
A．B．C．D．
8．已知反比例函数y＝（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（3，0）D．（﹣3，0）
9．下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①④
10．一个正多边形的一个内角是144°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
二、填空题【本大题共8个小题，每小题4分（3分），共32分（24分）。请把答案填写在题中的横线上】
11．若关于x，y的二元一次方程组的解也是2x+y＝10的解，则k的值为 ．
12．把多项式3mx2﹣12my2分解因式的结果是 ．
13．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简＝ ．
14．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．若x1，x2之间关系满足x12﹣x22＝0，则m的值为 ．
15．如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则sin∠BAC的值是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，BC长为半径作弧交边AC于点D，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）
17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△AOD：S△COB＝1：9，则S△BOC：S△DOC＝ ．
18．观察下列关于x的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…，按照上述规律，第2021个单项式是 ．
三．解答题【本大题共10小题，共88分（66分）。答案应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤】
19．【本小题满分6分（4分）】计算：．
20．【本小题满分6分（4分）】先化简，再求值：，从﹣2＜x≤2中选出合适的x的整数值代入求值．
21．【本小题满分8分（6分）】在平行四边形ABCD中，
（1）尺规作图：作∠B的平分线BE，E为AD与BE的交点（保留痕迹，不写作法）；
（2）求证：对于（1）中的点E，△ABE是等腰三角形．
22．【本小题满分10分（8分）】如图，一艘轮船自西向东航行，在A处测得小岛P在北偏东75°方向上，航行7海里后到达B处，在B处测得小岛P在北偏东60°方向上，若小岛P周围3.8海里内有暗礁，则该轮船继续向东航行，有无触礁的危险？请说明理由．
23．【本小题满分8分（6分）】依据闯关游戏规则，请你探究“闯关游戏”的奥秘．闯关游戏规则：如图所示的面板上，有左右两组开关按钮，每组中的两个按钮均分别控制一个灯泡和一个发音装置，同时按下两组中各一个按钮，当两个灯泡都亮时闯关成功；当按错一个按钮时，发音装置就会发出“闯关失败”的声音．
（1）请写出所有可能闯关情况；
（2）求出闯关成功的可能性．
24．【本小题满分10分（6分）】为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了35家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据理行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）；
b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：
10.0 10.0 10.1 10.2 10.3 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8
c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为P1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为P2．比较P1，P2的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有300家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入．
25．【本小题满分10分（8分）】设函数，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），点B（3，1）．
（1）求函数y1，y2的表达式；
（2）当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小（直接写出结果）．
26．【本小题满分10分（8分）】如图、点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求图中线段AD、BD和围成的阴影部分的面积．
27．【本小题满分8分（6分）】如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F在AC上，且AE＝CF，EF＝BD．求证：四边形EBFD是矩形．
28．【本小题满分12分（10分）】如图，抛物线与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，对称轴PD交AB与点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，试探究：线段BC上是否存在点M，使∠EMO＝∠ABC，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，点Q是抛物线的对称轴PD上一点，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
2023年甘肃省中考数学模拟试卷（三）
参考答案
一、选择题
1．|﹣8|的相反数是（ ）
A．﹣8B．8C．D．﹣
【分析】先根据绝对值的意义得到|﹣8|＝8，然后根据相反数的意义求解．
【解答】解：∵|﹣8|＝8，而8的相反数为﹣8，∴|﹣8|的相反数为﹣8．
故选：A．
2．若∠A＝130°，则它的补角的余角为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】先求出∠A的补角，再求出其余角即可．
【解答】解：∵∠A＝130°，∴它的补角为180°﹣130°＝50°，
∴90°﹣50°＝40°．
故选：C．
3．没有稳固的国防，就没有人民的安宁，2023年，中国国防预算约为15537亿元，将15537亿元用科学记数法表示为（ ）
A．1.5537×1012B．15.537×1011
C．1.5537×1013D．0.15537×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：因为15537亿＝1553700000000，所以15537亿＝1.5537×1012．
故选：A．
4．一元二次方程x2+4x+1＝0配方后可化为（ ）
A．（x+2）2＝5B．（x﹣2）2﹣5＝0C．（x+2）2＝3D．（x﹣2）2﹣3＝0
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【解答】解：x2+4x＝﹣1，x2+4x+4＝3，（x+2）2＝3．
故选：C．
5．如图是根据某班50名同学每天课外阅读的时间制成的条形统计图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．这组数据的平均数是12.5
B．这组数据的众数是20
C．这组数据的中位数是2
D．这组数据的中位数是17.5
【分析】根据图表，分别求出这组数据的平均数，众数以及中位数进行判断即可．
【解答】解：由题意得：
平均数为：，众数为：3，中位数为：2，
故选：C．
6．《算法统宗》中有一道题，原文是：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、并深各几何？译文为：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成3等份，一份绳长比井深多4尺，如果将绳子折成4等份，一份绳长比井深多1尺，问绳长和井深各多少尺？如果设井深为x尺，则可列方程为（ ）
A．4（x+4）＝3（x+1）B．3（x+4）＝4（x+1）
C．4（x﹣1）＝3（x﹣4）D．3（x﹣1）＝4（x﹣4）
【分析】用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．
【解答】解：根据将绳三折测之，绳多四尺，则绳长为：3（x+4），根据绳四折测之，绳多一尺，则绳长为：4（x+1），
故3（x+4）＝4（x+1）．
故选：B．
7．如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝5，当风车转动60°，点B运动的路径长度为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意可知，B点的运动轨迹是在以A为圆心，AB为半径的圆心角为60°弧上，由此即可求解．
【解答】解：由题意可知，B点的运动轨迹是在以A为圆心，AB为半径的圆心角为60°弧上，
∵AB＝5，
∴点B运动的路径长度为＝．
故选：D．
8．已知反比例函数y＝（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（3，0）D．（﹣3，0）
【分析】根据反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：因为反比例函数y＝（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，
所以k＜0，
A．2×3＝6＞0，故本选项不符合题意；
B．﹣2×3＝﹣6＜0，故本选项符合题意；
C．3×0＝0，故本选项不符合题意；
D．﹣3×0＝0，故本选项不符合题意；
故选：B．
9．下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x；
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①④
【分析】①根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可；
②根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可；
③根据矩形的面积公式判断即可．
【解答】解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增
而减小，故①符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②符合题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，故③不符合题意；
所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②．
故选：A．
10．一个正多边形的一个内角是144°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】根据内角求外角，根据外角个数求边数．
【解答】解：由题意可知，
这个正多边形的一个外角是180°﹣144°＝36°，
这个正多边形的外角个数为360°÷36°＝10，
∴这个正多边形的边数为10．
故选：C．
二、填空题
11．若关于x，y的二元一次方程组的解也是2x+y＝10的解，则k的值为 2 ．
【分析】将原方程组的两个方程相加可得2x+y＝5k，再由2x+y＝10，可得5k＝10，进而求出k的值即可．
【解答】解：方程组，
①+②得，2x+y＝5k，而2x+y＝10，所以5k＝10，即k＝2，
故答案为：2．
12．把多项式3mx2﹣12my2分解因式的结果是 3m（x﹣2y）（x+2y） ．
【分析】先提公因式，再用公式法因式分解即可．
【解答】解：3mx2﹣12my2＝3m（x2﹣4y2）＝3m（x﹣2y）（x+2y），
故答案为：3m（x﹣2y）（x+2y）．
13．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简＝ ﹣2b ．
【分析】首先根据数轴确定a和b的符号以及a+b的符号，然后利用绝对值的性质化简．
【解答】解：根据数轴可得：a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，
则a+b＜0．
则原式＝﹣b﹣（a+b）+a＝﹣b﹣a﹣b+a＝﹣2b．
故答案是：﹣2b．
14．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．若x1，x2之间关系满足x12﹣x22＝0，则m的值为 ．
【分析】先利用根的判别式的意义得到Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤，再根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2m﹣1），当x1+x2＝0时，﹣（2m﹣1）＝0，解得m＝（舍去）；当x1﹣x2＝0时，Δ＝0，解得m＝．
【解答】解：根据题意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤，
根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2m﹣1），
∵x12﹣x22＝0，∴x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，
当x1+x2＝0时，﹣（2m﹣1）＝0，解得m＝（舍去）；
当x1﹣x2＝0时，Δ＝0，解得m＝，综上所述，m的值为．
故答案为：．
15．如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则sin∠BAC的值是 ．
【分析】延长BO交⊙O于点D，连接CD，根据正切的定义求出sinD，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，得到答案．
【解答】解：延长BO交⊙O于点D，连接CD，在Rt△BCD中，sin∠BDC＝＝＝，
由圆周角定理得：∠BAC＝∠BDC，∴sin∠BAC＝，
故答案为：．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，BC长为半径作弧交边AC于点D，则图中阴影部分的面积是 4﹣π （结果保留π）
【分析】如图，设AB交⊙O于E，连接CE．首先证明BE＝AE＝4，根据S阴＝S△ABC﹣S扇形CDE，计算即可．
【解答】解：如图，设AB交⊙O于E，连接CE．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴∠B＝60°，AC＝4∵CB＝CE，∴△BCE是等边三角形
∴∠BCE＝60°，∠ECD＝30°，∵AB＝2BC＝8，BC＝BE，∴BE＝AE＝4，
∴S阴＝S△ABC﹣S扇形CDE＝××﹣＝4﹣π．
故答案为4﹣π．
17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△AOD：S△COB＝1：9，则S△BOC：S△DOC＝ 3：1 ．
【分析】根据平行线的性质推出∠OAD＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC，从而得到△AOD∽△COB，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得出OD：OB＝1：3，再结合图形可将△BOC和△DOC看成底边分别为OB和OD、且高相等三角形，则由三角形的面积公式可知S△BOC和S△DOC之比等于OB和OD之比．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC，∴△AOD∽△COB，又S△AOD：S△COB＝1：9，
∴OD：OB＝1：3， ∴S△BOC：S△DOC＝3：1．
故答案为3：1．
18．观察下列关于x的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…，按照上述规律，第2021个单项式是 4041x2021 ．
【分析】根据题目中的单项式，可以发现单项式的系数是从1开始的一些连续的奇数，字母的指数幂是从1开始的一些连续的整数，从而可以写出第n个单项式，然后即可得到第2021个单项式．
【解答】解：∵关于x的单项式为：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…，
∴第n个单项式为（2n﹣1）xn，∴当n＝2021时，这个单项式是（2×2021﹣1）x2021＝4041x2021，
故答案为：4041x2021．
三、解答题
19．计算：．
【解答】原式＝2﹣1+4×﹣2＝2﹣1+2﹣2＝1．
20．先化简，再求值：，从﹣2＜x≤2中选出合适的x的整数值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝•＝•＝，
∵﹣2＜x≤2，x为整数，∴x＝﹣2，﹣1，0，1，2，当x＝﹣1，1，2时，原式没有意义，舍去；
当x＝﹣2时，原式＝＝3．当x＝0时，原式＝﹣1．
21．在平行四边形ABCD中，
（1）尺规作图：作∠B的平分线BE，E为AD与BE的交点（保留痕迹，不写作法）；
（2）求证：对于（1）中的点E，△ABE是等腰三角形．
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）证明∠ABE＝∠AEB即可证明△ABE是等腰三角形．
【解答】（1）解：如图所示，
（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠CBE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE．∴△ABE是等腰三角形．
22．如图，一艘轮船自西向东航行，在A处测得小岛P在北偏东75°方向上，航行7海里后到达B处，在B处测得小岛P在北偏东60°方向上，若小岛P周围3.8海里内有暗礁，则该轮船继续向东航行，有无触礁的危险？请说明理由．
【分析】作PC⊥AB于点C，根据方向角的定义求得∠PAB和∠PBC的度数，得到PB＝AB，然后在直角△PBC中利用含30°角的直角三角形的性质求得PC的大小，与3.8海里进行比较即可．
【解答】解：作PC⊥AB于点C．
∵∠PAB＝90°﹣75°＝15°，∠PBC＝90°﹣60°＝30°，又∵∠PBC＝∠PAB+∠APB，
∴∠PAB＝∠APB＝15°，∴BP＝AB＝7海里，在直角△PBC中，PC＝PB＝×7＝3.5＜3.8，
则若轮船仍向前航行有触礁的危险．
23．依据闯关游戏规则，请你探究“闯关游戏”的奥秘．闯关游戏规则：如图所示的面板上，有左右两组开关按钮，每组中的两个按钮均分别控制一个灯泡和一个发音装置，同时按下两组中各一个按钮，当两个灯泡都亮时闯关成功；当按错一个按钮时，发音装置就会发出“闯关失败”的声音．
（1）请写出所有可能闯关情况；
（2）求出闯关成功的可能性．
【分析】用列举法列举出可能闯关的所有情况，再进行比较即可．
【解答】解：（1）所有可能闯关的情况列表如下：
因此，共有4种等可能情况．
（2）闯关成功的可能性为．因此，共有4种等可能情况．（2）闯关成功的可能性为．
24．为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了35家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据理行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）；
b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：
10.0 10.0 10.1 10.2 10.3 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8
c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为P1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为P2．比较P1，P2的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有300家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入．
【分析】（1）根据中位数的意义，求出甲城市抽样25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，得出处在第13位的数据即可；
（2）根据p1，p2所表示的意义，结合两个城市抽取的邮政企业4月份的营业额的具体数据，得出答案；
（3）根据乙城市邮政企业4月份营业额的平均数以及企业的数量进行计算即可．
【解答】解：（1）将甲城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是10.1，
因此中位数是10.1，即m＝10.1；
（2）由题意得p1＝5+3+4＝12（家），
由于乙城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额的平均数是11.0，中位数是11.5，
因此所抽取的25家邮政企业4月份营业额在11.5及以上的占一半，
也就是p2的值至少为13，∴p1＜p2；
（3）根据题意得：
11.0×300＝3300（百万元），
答：乙城市300家邮政企业4月份的总收入约为3300百万元．
25．设函数，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），点B（3，1）．
（1）求函数y1，y2的表达式；
（2）当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小（直接写出结果）．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）根据函数图象进行比较即可．
【解答】解：（1）根据题意得：k1＝3×1＝3，1×m＝3，∴m＝3，将点A（1，3），点B（3，1）代入y2＝k2x+b，
得，解得，∴y2＝﹣x+4，；
（2）∵函数y1和函数y2的图象交于点A（1，3），点B（3，1），
∴当2＜x＜3时，y1＜y2．
26．如图、点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求图中线段AD、BD和围成的阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OB，利用平行四边形的性质和判定，三角形内角和定理可证出OB⊥BD，进而证出BD是⊙O的切线；
（2）求出扇形AOB，三角形BOD的面积即可．
【解答】解：（1）连接OB，∵∠BCA＝∠OAC＝30°．∴OD∥BC，∠O＝2∠BCA＝60°，
又∵AC∥BD，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∴∠D＝∠BCA＝30°，在Rt△BOD中，∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线；
（2）在Rt△BOD中，
∵OB＝8，∠O＝60°，∴BD＝OB＝8，∴S阴影部分＝S△BOD﹣S扇形AOB＝×8×8﹣π×82
＝32﹣π．
27．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F在AC上，且AE＝CF，EF＝BD．求证：四边形EBFD是矩形．
【分析】根据矩形的判定和平行四边形的性质证明即可．
【解答】证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，∠ABO＝∠CDO，
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF，∠BAE＝∠CDF，∴∠ABO﹣∠BAE＝∠CDO﹣∠CDF，
即∠BEO＝∠DFO，
∴BE∥DF，∴四边形EBDF是平行四边形，
∵EF＝BD，∴平行四边形EBDF是矩形．
28．如图，抛物线与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，对称轴PD交AB与点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，试探究：线段BC上是否存在点M，使∠EMO＝∠ABC，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，点Q是抛物线的对称轴PD上一点，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）先求出A（4，0），可得抛物线的对称轴为x＝＝，证明∠ACB＝∠ABC，△MCO∽△EBM，可得MC•BM＝BE•CO，求出MC，即可求解；
（3）当∠BAQ为直角时，求出直线BQ的表达式为y＝x+3，得到n＝5；当∠BQA为直角时，利用解直角三角形的方法求出n＝；当∠BAQ为直角时，同理可得，n＝﹣，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣1，故点A的坐标为（4，0），
∵点A（4，0），B（0，3），C（﹣1，0），
∴抛物线的对称轴为x＝＝，直线AB的表达式为y＝﹣x+3，AB＝＝5＝AC．
∴∠ACB＝∠ABC，点E（，），∵∠CME＝∠CMO+∠OME＝∠ABC+∠MEB，∠ABC＝∠OME，
∴∠CMO＝∠BEM．∴△MCO∽△EBM，
∴，∴MC•BM＝BE•CO，
∵B（0，3），E（，），
∴BE＝＝，∴MC•BM＝，
∵MC+BM＝BC＝＝．∴MC＝或MC＝．∴＝或＝，
如图，过M作MK⊥x轴于K，则MK∥y轴，
∴△CMK∽△CBO，∴＝或，即＝或，∴MK＝或，
∵B（0，3），C（﹣1，0），∴直线BC的解析式为y＝3x+3，∴M的﹣横坐标为﹣或﹣，
∴点M的坐标为（﹣，）或（﹣，）；
设点Q的坐标为（，n），
当∠ABQ为直角时，如图，
设BQ交x轴于点H，
∵∠ABQ＝90°，∴∠BAO+∠BHA＝90°，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BHA，
∵tan∠ABO＝，∴tan∠BHO＝，故设直线BQ的表达式为y＝x+t，∵该直线过点B（0，3），
∴t＝3，∴直线BQ的表达式为y＝x+3，
当x＝时，y＝x+3＝5，即n＝5；
②当∠BQA为直角时，过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，
∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°，∴∠BQN＝∠MAQ，
∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，即，则，解得n＝；
③当∠BAQ为直角时，
同理可得，n＝﹣；
综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，
故点Q纵坐标n的取值范围为﹣＜n＜或＜n＜5．
平均数
中位数
甲城市
10.8
m
乙城市
11.0
11.5

1
2
1
（1，1）
（1，2）
2
（2，1）
（2，2）
平均数
中位数
甲城市
10.8
m
乙城市
11.0
11.5