2023年甘肃省陇南市中考数学模拟试卷（5月份）（含解析）

2023年甘肃省陇南市中考数学模拟试卷（5月份）

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则它的补角的余角为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一元二次方程的解是(    )

A. ， B.
C.  D. ，

5.  如图，是的中线，，分别是，的中点，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  根据居民家庭亲子阅读消费调查报告中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是(    )

A. 扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比
B. 每天阅读分钟以上的居民家庭孩子超过
C. 每天阅读小时以上的居民家庭孩子占
D. 每天阅读分钟至小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是

7.  我国古代数学家刘徽将勾股形古人称直角三角形为勾股形分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，，，则正方形的边长是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  增删算法统宗记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部孟子，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知孟子一书共有个字，设他第一天读个字，则下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，为的直径，，为上两点，若，则的大小为(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  已知函数，则自变量的取值范围是______．

12.  分解因式：______．

13.  如果一次函数、是常数的图象不经过第二象限，那么、应满足的条件是______ ．

14.  如图，四边形的对角线相交于点，且是的中点若，，，则四边形的面积为______ ．

15.  如图，边长为的正方形中心与半径为的的圆心重合，、分别是、的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积是______结果保留
 

16.  如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使四边形是平行四边形．

17.  在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度米与水平距离米之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为______米．

18.  如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，、分别是、的中点，连接若，，则          ．

 

三、解答题（本大题共10小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，在求值：，其中．

21.  本小题分
如图，已知，为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点，使保留作图痕迹，不写作法
在图中，如果，，则的周长是______ ．

22.  本小题分
如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西方向，距离甲地，丙地位于乙地北偏东方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点、、，可抽象成图所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可．

 

23.  本小题分
文化是一种精神力量，能够在人们认识世界、改造世界的过程中转化为物质力量，对社会发展产生深刻的影响，我们中华民族拥有五千年的文化，也是目前为止唯一没有中断的世界文化为了传承中国传统文化，年月，以“寻根国学，传承文明”为主题的陇南市“国学少年强一一国学知识挑战赛”总决赛拉开帷幕，小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目，第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙分别用、、、表示；第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读分别用、、表示．
求小明在第一环节选择写字注音的概率；
请用画树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；
求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目成语故事、成语接龙、成语听写的概率．

24.  本小题分
中国飞人苏炳添以秒获得年国际田联伯明翰室内赛男子米冠军，苏炳添夺冠掀起跑步热潮某校为了解该校八年级男生的短跑水平，全校八年级男生中随机抽取了部分男生，对他们的短跑水平进行测试，并将测试成绩绘制成如下不完整的统计图表：

请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
填空：______，______；
所抽取的八年级男生短跑成绩的众数是______分，扇形统计图中组的扇形圆心角的度数为______；
求所抽取的八年级男生短跑的平均成绩．

25.  本小题分
如图，一次函数的图象与轴正半轴相交于点，与反比例函数的图象在第二象限相交于点，过点作轴，垂足为，．
求一次函数的表达式；
已知点满足，求的值．

26.  本小题分
如图，已知是的直径，点是上一点，连接，点关于的对称点恰好落在上．
求证：；
过点作的切线，交的延长线于点如果，，求的直径．

27.  本小题分
问题探究：
如图，在中，，，则的面积等于多少？
如图，在矩形中，，，点在对角线上，且，则的面积等于多少？
问题解决：

如图，是一块商业用地，其中，，，某开发商现准备再征一块地，把扩充为四边形，使，是否存在面积最大的四边形？若存在，求出四边形的最大面积；若不存在，请说明理由．

28.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且连接，点是线段上一点不与点、重合，过点作轴的垂线，交于点，交抛物线于点．
求抛物线的表达式；
当线段最大时，求点的坐标；
连接，以、、为顶点的三角形是否能够与相似？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数是，
故选：．
运用乘积为的两个数是互为倒数进行求解．
此题考查了求一个数倒数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
它的补角为，
．
故选：．
先求出的补角，再求出其余角即可．
本题考查的是余角和补角，熟知余角和补角的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
利用完全平方公式变形，从而得出方程的解．
【解答】
解：，
，
则，
解得，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
，
是的中线，
，
故选：．
由题意可知是的中位线，由此可求出的长，再根据中线的定义即可求出的长．
此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
 

6.【答案】 

【解析】解：扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此选项正确；
B.每天阅读分钟以上的居民家庭孩子超过，此选项正确；
C.每天阅读小时以上的居民家庭孩子占，此选项错误；
D.每天阅读分钟至小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是，此选项正确；
故选：．
根据扇形统计图中的百分比的意义逐一判断即可得．
本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
设正方形的边长为，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于的方程，解方程即可．
【解答】
解：设正方形的边长为，
由题意得：，，
，
在中，，
即，
整理得，，
解得：，或舍去，
，
即正方形的边长是；
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
设他第一天读个字，根据题意列出方程解答即可．
【解答】
解：设他第一天读个字，
根据题意可得：，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
连接，先根据圆周角定理得出及的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】
解：连接，如图，

为的直径，
．
，
，
．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
根据题意结合图形，分情况讨论：时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
【解答】
解：当时，
正方形的边长为，
；
当时，

  ，
 
 
所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，第一段图象开口向上，第二段开口向下，只有选项图象符合．
故选：．  

11.【答案】且 

【解析】解：根据题意得：且，
解得：且．
故答案为：且．
根据被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．
本题考查了函数自变量的取值范围问题，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，考虑被开方数为非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：
当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．
本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有的二次项，的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组．
 

13.【答案】， 

【解析】解：一次函数、是常数的图象不经过第二象限，
，，
故答案为：，．
根据一次函数、是常数的图象不经过第二象限，即可确定，．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
四边形的面积，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质得到，，得到，推出四边形是菱形，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：延长，交于，则被分成个部分，其中个部分是全等图形，

图中阴影部分的面积．
故答案为：．
证明阴影部分的面积，可得结论．
本题考查正方形是性质，圆的有关知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用全等图形解决问题．
 

16.【答案】答案不唯一 

【解析】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：．
故答案为：答案不唯一．
可再添加一个条件，根据一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形判断即可．
此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的应用即函数式中的自变量与函数表达式的实际意义的有关知识．
根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可．
【解答】
解：当时，，
解得，舍去或．
故答案为．  

18.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质及三角形中位线定理、勾股定理的运用．构造基本图形是解题的关键．
连接，则为的中位线，根据勾股定理求出长即可求出的长．
【解答】
解：连接，

正方形和正方形中，，，
，，，
，
在中，．
、分别是、的中点，
．
故答案为：．  

19.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用立方根的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：原式


，
当时，
原式

． 

【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
 

21.【答案】如图，点即为所求．

 

【解析】垂直平分线段，
，
的周长，
故答案为：．
连接，作线段的垂直平分线交于点，连接，点即为所求．
证明的周长即可．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：过点作于点，
丙地位于甲地北偏西方向，距离甲地，．
在中，，
．
．
丙地位于乙地北偏东方向，
在中，，
．
．
答：公路的长为． 

【解析】过点作于点，利用锐角三角函数的定义求出及的长，进而可得出结论．
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
 

23.【答案】解：小明在第一环节选择写字注音的概率为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果；
由可知，共有种等可能的结果，其中小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的结果有种，
小明参加总决赛抽取题目都是成语题目成语故事、成语接龙、成语听写的概率为． 

【解析】用概率的概念求解即可；
画出树状图即可；
由可知，共有种等可能的结果，其中小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

24.【答案】        
所抽取的八年级男生短跑的平均成绩为：分． 

【解析】

解：组的有人，占，
被调查的人数为人，
，
，
，
故答案为：，；
成绩为分的有人，最多，
所以众数为分；
，
扇形统计图中组的扇形圆心角的度数为，
故答案为：，；
见答案
【分析】
根据组人占总人数的求得总人数即可求得，然后求得组所占的百分比即可求得的值；
利用众数的定义求得众数即可；求得组所占的百分比即可求得所在扇形的圆心角的度数；
利用平均数的定义直接计算即可．
本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答，注意和的区别．  

25.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，解得：，
，
轴，
，，
，
，
，
把点，代入中，
，
解得，
一次函数的表达式为；
在中，，
，
当点在点的左侧时，，
当点在点的右侧时，，
的值为． 

【解析】将点坐标代入反比例函数表达式求出，再求得点坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
由勾股定理求出的长，再根据且在轴上，分类讨论得的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的表达式、勾股定理，熟练掌握反比例函数与一次函数的关系是解答本题的关键．
 

26.【答案】证明：关于的对称点恰好落在上．

，
，
又，
，
；

解：连接，
为圆的切线，
，又，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
又，
，又，
为等边三角形，
，
，又，
也为等边三角形，
，，
又，
，
在中，，
又，
，
． 

【解析】由题意可知，根据同弧所对的圆心角相等得到，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出，利用同位角相等两直线平行，可得出与平行；
由为圆的切线，利用切线的性质得到垂直于，又垂直于，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到与平行，根据两直线平行内错角相等得到，由，等量代换可得出，再由，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形三内角相等，确定出三角形为等边三角形，根据等边三角形的内角为得到为，由平行于，利用两直线平行同位角相等可得出，再由，得到三角形为等边三角形，可得出为，利用平角的定义得到也为，再加上，可得出三角形为等边三角形，得到内角为，可求出为，在直角三角形中，利用所对的直角边等于斜边的一半可得出为的一半，而等于圆的半径等于直径的一半，可得出为的四分之一，即．
此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含直角三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．
 

27.【答案】解：如图，过点作于点，

，，，
，
在中，，
，
的面积；
如图，过点作于点，

四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
的面积，，
的面积；
在中，，，，
，，
在中，，设，，
，，
，
，
，
，
，
即，
四边形的面积，
四边形的最大面积 

【解析】过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求解即可；
过点作于点，根据矩形的性质及勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，根据三角形面积公式求解即可；
根据勾股定理求出，设，，则，根据完全平方数的正负推出，结合四边形的面积，求出四边形的最大面积．
此题是四边形综合题，考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、三角形面积公式、勾股定理、完全平方数的正负等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、矩形的性质、三角形面积公式、勾股定理、完全平方数的正负并作出合理的辅助线是解题的关键．
 

28.【答案】解：，
，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线，点与点关于直线对称，
，
把，，分别代入，
得：，
解得：，
该抛物线的表达式为；
设直线的解析式为，把，分别代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
设，且，
则，，
，
，
当时，最大，最大值为，
此时点的坐标为；
以、、为顶点的三角形能够与相似．理由如下：
设，且，则，
又，，
，，，，

当∽时，
，
，即，
解得：或或，
，
或均不符合题意，即当时，∽成立，此时；
当∽时，
，
，即，
解得：或或，
，
或或均不符合题意，即∽不成立；
综上所述，以、、为顶点的三角形当时与相似，此时点的坐标为． 

【解析】根据题意可得：，，，分别代入，即可求得答案；
利用待定系数法可得直线的解析式为，设，且，则，，可得，再运用二次函数性质即可得出答案；
以、、为顶点的三角形当时与相似，此时点的坐标为设，且，则，分两种情况：当∽时，当∽时，分别利用相似三角形性质建立方程求解即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等，解题关键是运用分类讨论思想和方程思想思考解决问题．