第1讲 随机事件与概率（练透重点题型）-2023-2024学年高一数学下学期重点题型精讲精练（人教A版必修第二册）

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类型一：随机事件的辨析
类型二：事件的包含关系
类型三：事件的运算
类型四：概率的基本性质
类型五：互斥事件，对立事件
类型六：根据互斥事件，对立事件求概率
类型七：列出事件空间
类型八：根据古典概型求概率
类型一：随机事件的辨析
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）下列事件：（1）在标准大气压下，水加热到100℃沸腾；（2）平面三角形的内角和是180°；（3）骑车到十字路口遇到红灯；（4）某人购买福利彩票5注，均未中奖；（5）没有水分，种子发芽了．其中随机事件的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
例题2．（2023·全国·高三专题练习）以下现象中不是随机现象的是（ ）．
A．在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，正反两面都出现
B．明天下雨
C．连续两次抛掷同一骰子，两次都出现2点
D．平面四边形的内角和是360°
例题3．（2022秋·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）在100件产品中，有95件一级品，5件二级品，给出下列事件：
①在这100件产品中任意选出6件，全部是一级品；
②在这100件产品中任意选出6件，全部是二级品；
③在这100件产品中任意选出6件，不全是一级品；
④在这100件产品中任意选出6件，至少一件是一级品，
其中__________是随机事件.（如果没有，请填“无”；如果有，请填序号）
同类题型演练
1．（2023·广东·高三统考学业考试）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
2．（2022·全国·高三专题练习）以下事件是随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为的矩形，其面积为D．实系数一元一次方程必有一实根
3．（2022秋·宁夏银川·高二银川一中校考期中）下面四个选项中，是随机现象的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．流水不腐D．户枢不蠹
类型二：事件的包含关系
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2022秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知事件,､满足，，则下列说法不正确的是（ ）
A．事件发生一定导致事件发生B．事件发生一定导致事件发生
C．事件发生不一定导致事件发生D．事件发生不一定导致事件发生
同类题型演练
1．（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆二中校考阶段练习）抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（ ）
A．
B．
C．表示向上的点数是1或2或3
D．表示向上的点数是1或2或3
2．（多选）（2022秋·贵州六盘水·高二校考阶段练习）(多选题)抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A＝{出现奇数点}，事件B＝{出现2点}，事件C＝{出现奇数点或2点}，则下列成立的是（ ）
A．A⊆CB．A∩B＝∅
C．A∪B＝CD．B∩C＝∅
3．（2022秋·河北保定·高二校联考阶段练习），，且，则______.
类型三：事件的运算
典型例题
例题1．（2022·高一课时练习）在试验“从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和”中，事件表示“这2个数的和大于4”，事件表示“这2个数的和为偶数”，则和中包含的样本点数分别为（ ）
A．1，6B．4，2C．5，1D．6，1
例题2．（2022春·北京通州·高一统考期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于3”，“点数大于5”；“点数为奇数”；“点数为，其中.下列结论正确的是（ ）
A．B．C．与互斥D．与互为对立
例题3．（2022·高二课时练习）在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：{出现点数1}，{出现点数3或4}，{出现的点数是奇数}，{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求，，，，．
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（2022秋·山东淄博·高二校考期末）（多选题）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系正确的是（ ）
A．A⊆DB．B∩D＝
C．A∪C＝DD．A∪B＝B∪D
3．（2022·高一课前预习）掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.
求：（1）A∩B，BC；
（2）A∪B，B+C；
（3）记为事件H的对立事件，求.
类型四：概率的基本性质
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
例题2．（2022秋·湖北咸宁·高二校考阶段练习）设、是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（ ）
A．事件，则
B．若和互斥，则和一定相互独立
C．若和相互独立，则和一定不互斥
D．
例题3．（2023·上海·高三专题练习）某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是_____．
同类题型演练
1．（2022春·江苏南京·高二南京市人民中学校考开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．对于任意事件A和B，都有
B．若A，B为互斥事件，则
C．在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的
D．在大量重复试验中，概率是频率的稳定值
2．（2022·高一课时练习）事件A,B的概率分别为,,且,则
A．B．C．D．无法判断
类型五：互斥事件，对立事件
典型例题
例题1．（2022春·天津西青·高三天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）从1，2，3，4，5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A．至少有一个是奇数和两个都是奇数B．至少有一个是奇数和两个都是偶数
C．至少有一个奇数和至少一个偶数D．恰有一个偶数和没有偶数
例题2．（2022·高一单元测试）12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是（ ）
A．抽得3件正品B．抽得至少有1件正品
C．抽得至少有1件次品D．抽得3件正品或2件次品1件正品
例题3．（2022春·甘肃甘南·高一校考期末）学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是
A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件
同类题型演练
1．（2022春·河南安阳·高一统考期末）从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是
A．“至少一个红球”与“至少一个黄球”B．“至多一个红球”与“都是红球”
C．“都是红球”与“都是黄球”D．“至少一个红球”与“至多一个黄球”
2．（2022·高一单元测试）将一个骰子抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现的点数不超过2，事件B表示向上的一面出现的点数不小于3，事件C表示向上的一面出现奇数点，则（ ）
A．A与B是对立事件B．A与B是互斥而非对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件
3．（2022·高一课时练习）如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么（ ）.
A． 是必然事件B．是必然事件
C．与一定互斥D．与一定不互斥
类型六：根据互斥事件，对立事件求概率
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，那么乙不输的概率是（ ）
A．20%B．70%C．80%D．30%
例题2．（2023·全国·高三专题练习）一个布袋中，有大小、质地相同的4个小球，其中2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是______.
例题3．（2022春·河南周口·高一扶沟县第二高中校考阶段练习）为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，则：
(1)恰有1罐中奖的概率为多少？
(2)能中奖的概率为多少？
例题4．（2022·高二课时练习）盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次.
（1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；
（2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.
同类题型演练
1．（2022·高二课时练习）已知事件，互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是___________.
2．（2022·高一单元测试）某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
3．（2022·高一课时练习）如图所示，靶子由一个中心圆面I和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中I、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35，0.30，0.25，则射手命中圆环Ⅱ或Ⅲ的概率为________，不命中靶的概率是________．
类型七：列出事件空间
典型例题
例题1．（2023秋·河南南阳·高一统考期末）现有如表所示的五项运动供选择，记试验“某人运动的总时长大于或等于60min的运动组合方式”，则该试验中样本点的个数为（ ）
A．7B．6C．10D．23
例题2．（2022春·上海浦东新·高二校考期末）为了丰富高一学生的课外生活，某校高一年级要组建数学､计算机､辩论三个兴趣小组，小明要随机选报其中的2个，不考虑选报的先后顺序，则该试验的样本点的个数为___________.
例题3．（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆二中校考阶段练习）袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为的2个黑球和编号为的3个红球，从中任意摸出2个球．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)用集合表示事件：恰好摸出1个黑球和1个红球，事件：至少摸出1个黑球．
例题4．（2022·高一课时练习）同时掷红、蓝两颗骰子，用表示结果，其中表示红色骰子出现的点数，表示蓝色骰子出现的点数.写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)这个试验的结果的个数；
(3)指出{（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}所表示的事件；
(4)写出“点数之和大于8”这一事件的集合表示.
同类题型演练
1．（2023·高一课时练习）从装有标号为1、2、3、4的四个球的袋子中任取两球，观察取出两个球的标号和，则此随机现象的样本空间是______.
2．（2022·高一课时练习）一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出“2个球都是白球”这一事件所对应的子集.
3．（2022秋·北京顺义·高二杨镇第一中学校考期中）在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为m，将球放回盆子中，然后再从盒子中随机取出一个球，该球的编号记为n．
(1)列出试验的样本空间；
类型八：根据古典概型求概率
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球.小球除编号不同外，其余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金100元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金50元；若抽到其余编号的小球，则不中奖.现某顾客依次有放回地抽奖两次，则该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）某人计划从3个亚洲国家和3个欧洲国家中选择2个国家去旅游．若他从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，则这2个国家包括，但不包括，的概率为_______．
例题3．（2023秋·北京房山·高一统考期末）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：、、…、，并整理得到如下的频率分布直方图．
(1)从该网络平台推荐的影视作品中随机抽取1部，估计评分不小于90分的概率；
(2)用分层抽样的方式从评分不小于90分的影视作品中随机抽取5部作为样本，设为评分在区间内的影视作品数量，求的值；
(3)从（2）得到的样本中随机抽取2部影视作品提供给学生寒假观看，求两部影视作品的评分都在区间的概率．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．
(1)求实数的值；
(2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）
(3)现在要从购车补贴金额的心理预期值在间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在间的概率．
例题5．（2023·全国·高三专题练习）2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25），第二组：[25，30），第三组：[30，35），第四组：[35，40），第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这m人的第80百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．
①若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35～45岁所有人的年龄的方差．
同类题型演练
1．（2023·陕西渭南·统考一模）杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》的概率是________．
2．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图．
(1)求频数分布表中c的值及频率分布直方图中a，b的值；
(2)从一周阅读时间不低于14小时的学生中抽出2人做访谈，求2人恰好在同一个数据分组的概率．
3．（2023秋·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）垃圾分类是改善环境，节约资源的新举措. 住建部于6月28日拟定了包括我市在内的46个重点试点城市，要求这些城市在2020年底基本建成垃圾分类处理系统，为此，我市某中学对学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试，将所得测试成绩整理后，绘制出频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中 的值，并估计测试的平均成绩;
(2)学校要求对不及格 (60 分以下)的同学进行补考，现按分层抽样的方法在 的同学抽取 5 名，再从这 5 名同学中抽取 2 人，求这 2 人中至少有一人需要补考的概率.
4．（2023·全国·高三专题练习）中国神舟十三号载人飞船返回舱于2022年4月16日在东风着陆场成功着陆，这标志着此次载人飞行任务取得圆满成功.三位航天员在为期半年的任务期间，进行了两次太空行走，完成了20多项不同的科学实验，并开展了两次“天宫课堂”，在空间站进行太空授课.神舟十三号的成功引起了广大中学生对于航天梦的极大兴趣，某校从甲、乙两个班级所有学生中分别随机抽取8名，对他们的航天知识进行评分调查（满分100分），被抽取的学生的评分结果如图茎叶图所示，计算得甲、乙两个班级被抽取的8名学生得分的平均数都是84.
(1)分别计算甲、乙两个班级被抽取的8名学生得分的方差，并据此估计两个班级学生航天知识的整体水平的差异；
(2)若从得分不低于85分的学生中随机抽取2人参观市教育局举办的航天摄影展，求这两名学生均来自乙班级的概率.
5．（2023·全国·高三专题练习）某市在疫情期间，便民社区成立了由网格员､医疗人员､志愿者组成的采样组，并上门进行，核酸检测，某网格员对该社区需要上门核酸检测服务的老年人的年龄（单位：岁）进行了统计调查，将得到的数据进行适当分组后（每组为左开右闭区间），得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求m的值，并估计需要上门核酸检测服务的老年人的年龄的平均数；（精确到1，同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）
(2)在年龄处于的老人中，用分层随机抽样的方法选取9人，再从9人中随机选取2人，求2人中恰有1人年龄超过需要上门核酸检测服务的老年人的平均年龄的概率.运动
运动
运动
运动
运动
7：00~8：00
8：00~9：00
9：00~10：00
10：00~11：00
11：00~12：00
30 min
20 min
40 min
30 min
30 min
组号
分组
频数
1
c
2
8
3
17
4
22
5
25
6
12
7
6
8
2
9
2
合计
100