2022-2023学年山东省菏泽市曹县八年级(下)期末数学试卷(含解析)
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一、选择题(本大题共10小题,共20.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 化简 12的结果是( )
A. 2 6 B. 6 2 C. 4 3 D. 2 3
2. 下列图形中,中心对称图形是( )
A. B. C. D.
3. 如图,在▱ABCD中,已知AB=12,AD=8,∠ABC的平分线BM交CD边于点M,则DM的长为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 不等式组4x+1>21−2x<7的解集为( )
A. x>−3 B. x<−3 C. x>14 D. 无解
5. 如图,△ABC绕点A顺时针旋转50°,得到△ADE,点E落在BC边上,连接BD,当BD⊥BC时,∠ABC的度数为( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
6. 如图,函数y=kx+b的图象经过点P(−1,3),则关于x的不等式kx+b−3>0的解集为( )
A. x>0 B. x<0 C. x>−1 D. x<−1
7. 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在OB上,连接AE,点F为CD的中点,连接OF,AE=BE,OE=3,OA=4,则线段OF的长为( )
A. 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5
8. 已知(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)为直线y=−2x+3上的三个点,x1
9. 如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠BOC=120°,DF//AC,CF//BD,DF,CF相交于点F,DF=4,则矩形ABCD的面积为( )
A. 4 3 B. 8 3 C. 16 3 D. 32 3
10. 如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为( )
A. 45° B. 60° C. 67.5° D. 77.5°
二、填空题(本大题共8小题,共16.0分)
11. 若二次根式 1−3x在实数范围内有意义,则x的取值范围是______.
12. 已知2x是216的立方根,则x+6的平方根是______ .
13. 不等式1−3(x−1)
15. 已知x= 6− 2,则代数式2x2+4 2x的值为______ .
16. 不等式组2x−1<3x−a<0的解集为x 17. 如图,菱形ABCD的边长为4,AC是对角线,∠B=60°,E为BC边的中点,连接AE,DE,则DE的长为______ .
18. 如图,正方形ABCD的边长为8,点E是DC边的中点,GH垂直平分AE,分别交BC,AE于点G,H,则BG的长为______ .
三、解答题(本大题共9小题,共84.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
19. (本小题18.0分)
计算:(1)13 36−23125− (−4)2.(2)( 8− 23)−(6 12+ 24).(3)( 6−2 3)2+ 27( 54− 12).
20. (本小题6.0分)
解不等式5x−3(2x−1)<2(x+6),并把解集在数轴上表示出来.
21. (本小题6.0分)
解不等式组:6x+1≤4(x−1)1−x4>x+52.
22. (本小题8.0分)
已知12(x−2)3+32=0,3x−2y的算术平方根是6,求 x2−y的值.
23. (本小题8.0分)
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边的中点,BE⊥CD,交CD的延长线于点E,AC=4,BC=4 3,求△BCD的面积和BE的长.
24. (本小题8.0分)
如图,菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF,连接CE,CF,EF,求证:∠CEF=∠CFE.
25. (本小题10.0分)
已知A,B两地之间有一条长440千米的高速公路,甲、乙两车分别从A,B两地出发,沿此公路相向而行,甲车先以每小时100千米的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇,再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地,乙车匀速行驶至A地,两车到达各自的目的地后停止,两车距A地的路程y(千米)与行驶时间x(时)的函数关系图象如图所示.
(1)求m,n的值及乙车的速度;
(2)求两车相遇后,甲车距A地的路程y与x间的函数表达式.
26. (本小题10.0分)
如图,正方形ABCD中,E是边BC的中点,将△ABE沿AE折叠,得到△AFE,延长EF交边CD于点P.
(1)求证:DP=FP;
(2)若AB=6,求CP的长.
27. (本小题10.0分)
某快递公司为了提高工作效率,计划购买A,B两种型号的机器人来搬运货物.已知每台A型机器人售价1.2万元,每天搬运货物90吨,每台B型机器人售价2万元,每天搬运货物100吨.该公司计划采购A,B两种型号的机器人共30台,必须每天搬运货物不低于2830吨.
(1)设购买A型机器人x台,购买总金额为y万元,求y与x间的函数表达式;
(2)求购买A,B两种型号机器人分别为多少台时,购买总金额最低?
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解: 12
= 4×3
= 4× 3
=2 3.
故选:D.
根据 ab= a⋅ b(a≥0,b≥0)进行化简.
本题考查了二次根式的化简,解题的关键是牢记公式.
2.【答案】C
【解析】解:选项A、B、D中的图形均不能找到一个点,使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合,所以不是中心对称图形;
选项C能找到一个点,使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合,所以是中心对称图形;
故选:C.
根据中心对称图形的定义:把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案.
本题主要考查了中心对称图形,解题的关键是找出对称中心.
3.【答案】B
【解析】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=12,BC=AD=8,AB//CD,
∴∠ABM=∠CMB,
∵BM是∠ABC的平分线,
∴∠ABM=∠CBM,
∴∠CBM=∠CMB,
∴MC=BC=8,
∴DM=CD−MC=12−8=4,
故选:B.
由平行四边形的得CD=AB=12,BC=AD=8,AB//CD,再证∠CBM=∠CMB,则MC=BC=8,即可得出结论.
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识,熟练掌握平行四边形的性质,证明MC=BC是解题的关键.
4.【答案】C
【解析】解:由4x+1>2得:x>14,
由1−2x<7得:x>−3,
则不等式组的解集为x>14,
故选:C.
分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.
本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
5.【答案】B
【解析】解:∵△ABC绕点A顺时针旋转50°,得到△ADE,
∴AB=AD,∠BAD=50°,
∴∠ABD=∠ADB=180°−50°2=65°,
又∵BD⊥BC,
∴∠DBC=90°,
∴∠ABC=∠DBC−∠DBA=90°−65°=25°,
故选:B.
根据旋转的性质得出AB=AD,∠BAD=50°,得出∠ABD=∠ADB=180°−50°2=65°,再根据垂直的定义即可求解.
本题考查了旋转的性质,明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键.
6.【答案】D
【解析】解:由kx+b−3>0变形为:kx+b>3.
∴关于x的不等式kx+b−3>0的解集即为kx+b>3的解集.
由图象可得,
当x=−1时,y=3,该函数y随x的增大而减小,
∴不等式kx+b>3的解集为x<−1,
故选:D.
关于x的不等式kx+b−3>0变形为:kx+b>3.根据函数图象中的数据和一次函数的性质,可以写出等式kx+b>3的解集.
本题考查一次函数与一元一次不等式,解答本题的关键是明确一次函数与一元一次不等式的关系,利用数形结合的思想解答.
7.【答案】B
【解析】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD,AC⊥BD,OA=OC=4,
∴∠AOB=∠COD=90°,
∴AE= OA2+OE2= 42+32=5,
∴BE=AE=5,
∴OB=BE+OE=5+3=8,
∴AB= OB2+OA2= 82+42=4 5,
∴CD=4 5,
∵点F为CD的中点,∠COD=90°,
∴OF=12CD=2 5,
故选:B.
由菱形的性质得AC⊥BD,OA=OC=4,再由勾股定理可求AE的长、AB的长,然后由直角三角形斜边上的中线性质可求解.
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识,熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
8.【答案】A
【解析】解:∵直线y=−2x+3,
∴y随x的增大而减小,当y=0时,x=1.5,
∵(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)为直线y=−2x+3上的三个点,且x1
∴x1
∴y1y2>0,y2y3>0或y2y3<0,故选项A符合题意;
故选:A.
根据一次函数的性质判断即可.
本题考查一次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质解答.
9.【答案】C
【解析】解:∵DF//AC,CF//BD,
∴四边形OCFD是平行四边形,
∴OC=DF=4,
∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,
∴∠ABC=90°,OA=OC=12AC,OB=OD=12BD,且AC=BD,
∴OA=OB=OC=4,
∴AC=2OA=8,
∵∠BOC=120°,
∴∠AOB=180°−∠BOC=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OA=4,
∴BC= AC2−AB2= 82−42=4 3,
∴S矩形ABCD=AB⋅BC=4×4 3=16 3,
故选:C.
由DF//AC,CF//BD,证明四边形OCFD是平行四边形,则OC=DF=4,由矩形的性质得∠ABC=90°,OA=OB=OC=4,所以AC=2OA=8,由∠BOC=120°,得∠AOB=60°,则△AOB是等边三角形,所以AB=OA=4,则BC= AC2−AB2=4 3,即可求得矩形ABCD的面积是16 3,于是得到问题的答案.
此题重点考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识,证明△AOB是等边三角形是解题的关键.
10.【答案】C
【解析】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=BA,∠DAF=∠ABE=90°,
在△DAF和△ABE中,
AD=BA∠DAF=∠ABEAF=BE,
∴△DAF≌△ABE(SAS),
∴∠ADF=∠BAE,
∵AE平分∠BAC,四边形ABCD是正方形,
∴∠BAE=12∠BAC=22.5°,∠ADC=90°,
∴∠ADF=22.5°,
∴∠CDF=∠ADC−∠ADF=90°−22.5°=67.5°,
故选:C.
根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质,可以得到∠ADF的度数,从而可以求得∠CDF的度数.
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是求出∠ADF的度数.
11.【答案】x≤13
【解析】解:∵1−3x≥0,
∴x≤13,
故答案为:x≤13.
根据二次根式有意义的条件即可得出答案.
本题考查了二次根式有意义的条件,掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键.
12.【答案】±3
【解析】解:∵2x是216的立方根,
∴2x=6,
解得:x=3,
那么x+6=3+6=9,
则其平方根为±3,
故答案为:±3.
根据立方根的定义求得x的值,然后求得x+6的值,最后求得其平方根.
本题考查平方根和立方根,熟练掌握相关定义是解题的关键.
13.【答案】x>1
【解析】解:去括号得:1−3x+3
合并同类项得:−4x<−4,
两边同时除以−4得:x>1,
故答案为:x>1.
根据解一元一次不等式的步骤解答即可.
本题考查解一元一次不等式,解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤.
14.【答案】(1,−3)
【解析】解:由题意知,点A从(0,2)平移至(−1,0),可看作是△ABC先向下平移2个单位,再向左平移1个单位(或者先向左平移1个单位,再向下平移2个单位),
即B点(2,−1),平移后的对应点为B′(1,−3),
故答案为:(1,−3).
由A点的平移判断出B点的平移最后得出坐标即可.
本题主要考查平移的知识,根据A点的平移情况得出B点的对应点是解题的关键.
15.【答案】8
【解析】解:∵x= 6− 2,
∴x+ 2= 6,
∴(x+ 2)2=6,
∴x2+2 2x+2=6,
∴x2+2 2x=4,
∴2x2+4 2x=8;
故答案为:8.
由x= 6− 2,可得(x+ 2)2=6,故x2+2 2x=4,从而2x2+4 2x=8.
本题考查二次根式的化简求值,解题的关键是将已知变形,求出x2+2 2x=4.
16.【答案】a≤2
【解析】解:由2x−1<3得:x<2,
由x−a<0得:x ∵不等式组的解集为x ∴a≤2,
故答案为:a≤2.
分别求出每一个不等式的解集,根据不等式组的解集可得答案.
本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
17.【答案】2 7
【解析】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=DC=AD=4,
∵∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∵E为CB边的中点,
∴AE⊥BC,BE=2,
∴∠AEC=90°,
∴AE= 42−22=2 3,
∵AD//BC,
∴∠EAD=90°,
∴DE= AE2+AD2= (2 3)2+42=2 7.
故答案为:2 7.
直接利用菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出AE的长,进而得出答案.
此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质、勾股定理,正确得出AE的长是解题关键.
18.【答案】1
【解析】解:连接AG,EG,如图,
∵HG垂直平分AE,
∴AG=EG,
∵正方形ABCD的边长为8,
∴∠B=∠C=90°,AB=BC=CD=8,
∵点E是CD的中点,
∴CE=4,
设BG=x,则CG=8−x,
由勾股定理,
得EG2=CG2+CE2=(8−x)2+42,AG2=AB2+BG2=82+x2,
∴(8−x)2+42=82+x2,
解得:x=1,
故答案为:1.
如图,连接EG,AG.因为点E是CD的中点,所以DE=CE=4.设CG=x,则BG=8−x.因为HG垂直平分AE,所以GA=GE.在Rt△ABG和Rt△GCE中,根据勾股定理,得AB2+BG2=CE2+CG2,即82+(8−x)2=42+x2,解得x=7,所以BG=8−7=1.
本题考查正方形的性质,线段垂直平分线的性质,掌握相关知识是解题的关键.
19.【答案】解:(1)13 36−23125− (−4)2
=13×6−2×5−4
=2−10−4
=−12.
(2)( 8− 23)−(6 12+ 24)
=(2 2− 63)−(3 2+2 6)
=2 2− 63−3 2−2 6
=− 2−7 63.
(3)( 6−2 3)2+ 27( 54− 12)
=6−12 2+12+27 2−18
=15 2.
【解析】(1)首先计算开平方、开立方,然后计算乘法,最后从左向右依次计算,求出算式的值即可;
(2)首先计算小括号里面的开平方和乘法,然后根据减法的性质,求出算式的值即可;
(3)首先计算乘方和乘法,然后从左向右依次计算,求出算式的值即可.
此题主要考查了实数的运算,解答此题的关键是要明确:在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行.
20.【答案】解:5x−3(2x−1)<2(x+6),
去括号,得:5x−6x+3<2x+12,
移项及合并同类项,得:−3x<9,
系数化为1,得:x>−3,
其解集在数轴上表示如下所示:
.
【解析】根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式的解集,然后在数轴上表示出其解集即可.
本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集,解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法.
21.【答案】解:6x+1≤4(x−1)①1−x4>x+52②,
解不等式①得:x≤−2.5
解不等式②得:x<2,
∴原不等式组的解集为:x≤−2.5.
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤,进行计算即可解答.
本题考查了解一元一次不等式组,熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键.
22.【答案】解:∵12(x−2)3+32=0,
∴(x−2)3=−64,
则x−2=−4,
解得:x=−2,
∵3x−2y的算术平方根是6,
∴3×(−2)−2y=36,
解得:y=−21,
则 x2−y= (−2)2+21= 25=5.
【解析】利用立方根的定义求得x的值,然后利用算术平方根的定义求得y值,将其代入 x2−y中计算即可.
本题考查实数的运算,算术平方根及立方根的定义,熟练掌握并运用相关运算法则是解题的关键.
23.【答案】解:∵∠ACB=90°,AC=4,BC=4 3,
∴AB= AC2+BC2= 42+(4 3)2=8,
∴AC=12AB,
∴∠ABC=30°,
∵点D是AB的中点,
∴CD=BD=12AB,
∴∠DBC=∠DCB=30°,
∵BE⊥CD,
∴∠E=90°,
∴BE=12BC=2 3,
∵点D是AB的中点,
∴△BCD的面积=12△ACB的面积
=12AC⋅BC
=12×4×4 3
=8 3,
∴△BCD的面积为8 3,BE的长为2 3.
【解析】先在Rt△ABC中,利用勾股定理求出AB=8,从而可得AC=12AB,进而可得∠ABC=30°,然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD=BD,从而可得∠DBC=∠DCB=30°,再根据垂直定义可得∠E=90°,从而在Rt△BCE中,利用含30度角的直角三角形的性质可得BE=2 3,最后根据已知D是AB边的中点可得△BCD的面积=12△ACB的面积,进行计算即可解答.
本题考查了直角三角形斜边上的中线,三角形的面积,勾股定理,含30度角的直角三角形,熟练掌握直角三角形斜边上的中线,以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.
24.【答案】证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD=DC=BC,∠B=∠D,
又∵AE=AF,
∴BE=DF,
在△BEC和△DFC中,
BE=DF∠B=∠DBC=DC,
∴△BEC≌△DFC(SAS),
∴EC=FC,
∴∠CEF=∠CFE.
【解析】直接利用菱形的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案.
本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定和性质,证明△BEC≌△DFC是本题的关键.
25.【答案】解:(1)由题意知:m=200÷100=2,
n=m+4=2+4=6,
乙车的速度为(440−200)÷2=120(千米/小时),
(2)设y=kx+b,将(2,200),(6,440)代入得:
2k+b=2006k+b=440,
解得k=60b=80,
∴y=60x+80,(2≤x≤6).
【解析】(1)由甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇可求出m=2,根据以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地知n=6;用(440−200)÷2即可求出乙车速度;
(2)用待定系数法可得y=60x+80,(2≤x≤6).
本题考查一次函数的应用,解题的关键是读懂题意,能正确识图.
26.【答案】(1)证明:连接AP,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠B=∠D=90°,
∵将△ABE沿AE折叠,得到△AFE,延长EF交边CD于点P,
∴AF=AB,∠AFE=∠B=90°,
∴AD=AF,∠AFP=90°,
在Rt△APD和Rt△APF中,
AP=APAD=AF,
∴Rt△APD≌Rt△APF(HL),
∴DP=FP.
(2)解:∵CD=CB=AB=6,E是边BC的中点,
∴BE=CE=12BC=3,FP=DP=6−CP,
∴FE=BE=3,
∵∠C=90°,
∴CP2+CE2=PE2,
∴CP2+32=(3+6−CP)2,
∴CP=4,
∴CP的长是4.
【解析】(1)连接AP,由正方形的性质得AD=AB,∠B=∠D=90°,由折叠得AF=AB,∠AFE=∠B=90°,则AD=AF,∠AFP=90°,即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△APD≌Rt△APF,得DP=FP;
(2)CD=CB=AB=6,E是边BC的中点,得BE=CE=12BC=3,FP=DP=6−CP,由勾股定理得CP2+32=(3+6−CP)2,求得CP=4.
此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
27.【答案】解:(1)设采购A型机器人x台,则采购B型机器人(30−x)台,
∵必须满足每天搬运的货物不低于2830吨,
∴90x+100(30−x)≥2830,
解得x≤17,
设所需费用为y万元,
y=1.2x+2(30−x)=−0.8x+60,
(2)∵y=−0.8m+60,
∵−0.8<0,
∴w随m的增大而减小,
∴m=17时,w取最小值,最小值为−0.8×17+60=46.4(万),
此时20−m=9(台),
答:采购A型机器人17台,则采购B型机器人13台,所需费用最低,最低费用是46.4万元.
【解析】(1)设采购A型机器人x台,则采购B型机器人(30−x)台,根据必须满足每天搬运的货物不低于2830吨,得x≤17,设所需费用为w万元,y=1.2x+2(30−x)=−0.8x+60,
(2)根据一次函数性质可得采购A型机器人17台,则采购B型机器人13台,所需费用最低,最低费用是46.4万元.
本题考查一次函数和二元一次方程组的应用,解题的关键是读懂题意,列出方程和函数关系式.
山东省菏泽市曹县2023—2024学年上学期八年级期末数学试卷: 这是一份山东省菏泽市曹县2023—2024学年上学期八年级期末数学试卷,共19页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省菏泽市曹县九年级(上)期末数学试卷(含解析): 这是一份2022-2023学年山东省菏泽市曹县九年级(上)期末数学试卷(含解析),共22页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省菏泽市曹县七年级(下)期末数学试卷(含解析): 这是一份2022-2023学年山东省菏泽市曹县七年级(下)期末数学试卷(含解析),共18页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。