山东省菏泽市曹县2023—2024学年上学期八年级期末数学试卷

这是一份山东省菏泽市曹县2023—2024学年上学期八年级期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a：2=b：3，那么ba的值为( )
A. 12B. 13C. 23D. 32
2.下列等式成立的是( )
A. ba=b2a2B. 2a2a+b=aa+b
C. 1−x+y=−1x−yD. x2+y2x+y=x+y
3.如图，点C，F在BE上，∠B=∠E，AB=DE，要使△ABC≌△DEF，需要增加的一个条件是( )
A. AC=DFB. ∠A=∠DFEC. ∠D=∠ACBD. BF=EC
4.计算x2x2−4÷6x34+2x的结果是( )
A. 13x2+6xB. −13x2+6xC. 13x2−6xD. −13x2−6x
5.某青年排球队12名队员的年龄情况如下：则这个队队员年龄的众数和中位数分别是
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是( )
A. 19岁，19.5岁B. 19岁，19岁C. 19岁，20岁D. 20岁，20岁
6.如图，△ABC中，CB=CA，DE垂直平分AC，垂足为点E，交BC于点D，∠BAD=30°，则∠C的度数为( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
7.计算：9a2−3a−aa−3的结果是( )
A. a+3aB. −a+3aC. a−3aD. −a−3a
8.如图，△ABD是等边三角形，AC=AD，∠CBD=15°，则∠BDC的度数为( )
A. 120°
B. 125°
C. 130°
D. 135°
9.甲、乙两地相距160千米，一辆汽车从甲地到乙地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4小时到达，那么这辆汽车原来的速度为( )
A. 80千米/小时B. 90千米/小时C. 100千米/小时D. 110千米/小时
10.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，交AC于点E，BC=BF，连接BE交CD于点G.下列结论：①CE=EF；②CG=EF；③∠BGC=∠AEB.其中正确的有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.点A(a,−2)与点B(−3,b)关于x轴对称，则ab的值为______．
12.某公司招聘职员，某位应聘者笔试、面试的成绩分别为92分、90分，若综合成绩依次按3：2计算，则该应聘者的综合成绩为______分.
13.方程2x−2=33x+2的解是______．
14.一组数据7，5，2，x，8的平均数为5，则这组数据的方差为______．
15.如图，在正方形网格中，与△ABC成轴对称的三角形可以画出______个.
16.计算：(a−2a−1a)⋅3a2a2−1的结果是______．
17.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=______°.
18.如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD，CE相交于点H，EH=EB=6，AE=9，则CH的长为______．
三、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算：
(1)1x+1−2xx2−1；
(2)(m+2+52−m)÷2m+6m2−4m+4．
20.(本小题7分)
先化简，再求值：(x−2x2+2x−xx2−4)÷x−14+2x，其中x=−23．
21.(本小题7分)
解方程：2x2x−1−4x−14x2−1=1．
22.(本小题8分)
如图，已知△ABC，点C在y轴上．
(1)画△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
(2)在x轴上画出点P，使△ABP周长最小．
23.(本小题8分)
如图，已知线段a，∠α和∠β，求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ABC的平分线BD交AC于点D，BD=α，∠BDC=∠β(不写画法，保留作图痕迹)．
24.(本小题8分)
如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点A在直线l上，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为点M，N，BM=AN，求证：∠BAC=90°．
25.(本小题9分)
某校要选派一名跳高运动员参加一项比赛活动，对甲、乙两名运动员进行了5次选拔活动，他们的成绩(单位：cm)如下：
甲：170，166，163，167，169；
乙：161，172，163，171，168．
(1)根据甲、乙两人成绩的平均数和中位数，说明哪个人的成绩较好；
(2)哪个人的成绩比较稳定？并说明理由．
26.(本小题9分)
如图，△ABC是等边三角形，D是BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作等边△CDE，连接AE．
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)若∠AEC=35°，求∠ACE的度数．
27.(本小题9分)
某生态示范园计划种植一批果树，原计划总产量30万千克，为了满足市场，现决定改良果树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，种植亩数减少了10亩，总产量比计划增加了6万千克，求改良后果树平均每亩的产量是多少万千克？
28.(本小题9分)
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB边的中点，AF⊥CD于点H，交BC于点F，BE/​/AC交AF的延长线于点E.求证：
(1)AD=BE；
(2)BC⊥DE．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵a：2=b：3，
∴a=23b，
∴ba=b23b=32，
故选：D．
先根据已知条件把a用含有b的式子表示出来，然后把a代入所求分式进行约分即可．
本题主要考查了分式的值，解题关键是根据已知条件把a用含有b的式子表示出来．
2.【答案】C
【解析】解：A、ba≠b2a2，故A不符合题意；
B、2a2a+b≠aa+b，故B不符合题意；
C、1−x+y=1−(x−y)=−1x−y，故C符合题意；
D、x2+y2x+y≠x+y，故D不符合题意；
故选：C．
根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、∠B和∠E分别是AC和DF的对角，不能判定△ABC≌△DEF，故A不符合题意；
B、∠A和∠DFE不是对应角，应该是∠A=∠D，添加∠A=∠DFE不能判定△ABC≌△DEF，故B不符合题意；
C、∠D和∠ACB不是对应角，应该是∠D=∠A，添加∠D=∠ACB不能判定△ABC≌△DEF，故C不符合题意；
D、由BF=EC，得到BC=EF，又∠B=∠E，AB=DE，由SAS判定△ABC≌△DEF，故D符合题意．
故选：D．
由全等三角形的判定定理，即可判断．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
4.【答案】C
【解析】解：x2x2−4÷6x34+2x
=x2(x+2)(x−2)⋅2(x+2)6x3
=13x(x−2)
=13x2−6x，
故选：C．
根据分式的除法法则计算即可．
本题考查的是分式的除法，分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
5.【答案】A
【解析】解：∵这组数据中19出现4次，次数最多，
∴众数为19岁，
中位数是第6、7个数据的平均数，
∴中位数为19+202=19.5岁，
故选：A．
根据众数和中位数的定义求解可得．
此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
6.【答案】B
【解析】解：∵CB=CA，
∴∠B=∠CAB，
∵DE垂直平分AC，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C，
∴∠B=∠CAB=∠BAD+∠DAC=∠C+30°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴2(∠C+30°)+∠C=∠180°，
∴∠C=40°．
故选：B．
由等腰三角形的性质得到∠B=∠CAB，由线段垂直平分线的性质推出DA=DC，得到∠DAC=∠C，因此∠B=∠CAB=∠BAD+∠DAC=∠C+30°，由三角形内角和定理得到2(∠C+30°)+∠C=∠180°，即可求出∠C=40°．
本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，关键是由以上知识点得到关于∠C的方程．
7.【答案】B
【解析】解：原式=9a(a−3)−aa−3
=9a(a−3)−a2a(a−3)
=9−a2a(a−3)
=(3+a)(3−a)a(a−3)
=−3+aa
=−a+3a，
故选：B．
先把被减数的分母分解因式，然后进行通分，再按照同分母分式相加减，最后把分子分解因式，再进行约分即可．
本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握常见的几种分解因式的方法．
8.【答案】D
【解析】解：∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，∠ABD=∠BAD=∠ADB=60°，
∵∠CBD=15°，
∴∠ABC=∠ABD−∠CBD=45°，
∵AC=AD，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=45°，，
∴∠BAC=180°−45°−45°=90°，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=90°−60°=30°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=12×(180°−30°)=75°，
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=60°+75°=135°．
故选：D．
由等边三角形的性质得到AB=AD，∠ABD=∠BAD=∠ADB=60°，求出∠ABC=∠ABD−∠CBD=45°，由等腰三角形的性质推出∠ACB=∠ABC=45°，求出∠BAC=180°−45°−45°=90°，得到∠CAD=∠BAC−∠BAD=30°，由等腰三角形的性质求出∠ADC=75°，即可得到∠BDC=∠ADB+∠ADC=60°+75°=135°．
本题考查等边三角形的性质，关键是由等边三角形、等腰三角形的性质求出∠ADC的度数．
9.【答案】A
【解析】解：设这辆汽车原来的速度为x千米/小时，
由题意得：160x−160(1+25%)x=0.4，
解得：x=80，
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，
即这辆汽车原来的速度为80千米/小时，
故选：A．
设这辆汽车原来的速度为x千米/小时，根据一辆汽车从甲地到乙地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4小时到达，列出分式方程，解方程即可．
本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°，
在Rt△BCE和Rt△BFE中，
BE=BEBC=BF，
∴Rt△BCE≌Rt△BFE(HL)，
∴CE=EF，∠CBE=∠FBE，故①正确；
∵CD⊥AB，
∴∠BDG=90°，
∵∠CEG=90°−∠CBE，∠CGE=∠DGB=90°−∠FBE，
∴∠CEG=∠CGE，
∴CG=CE，
∴CG=EF，故②正确；
∵∠BGC=∠DGE=∠BDG+∠FBE=90°+∠FBE，∠AEB=∠ACB+∠CBE=90°+∠CBE，
∴∠BGC=∠AEB，故③正确，
综上所述，正确的有3个，
故选：D．
由全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及三角形的外角性质分别对各个结论进行判断即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
11.【答案】−6
【解析】解：∵点A(a,−2)与点B(−3,b)关于x轴对称，
∴a=−3，b=2，
∴ab=−3×2=−6．
故答案为：−6．
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，先求出a、b的值，然后将a、b代入即可求出答案．
本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
12.【答案】91.2
【解析】解：该应聘者的综合成绩为：92×3+90×23+2=91.2(分)．
故答案为：91.2．
利用加权平均数的公式计算即可．
本题考查了加权平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数的计算公式．数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
13.【答案】x=−103
【解析】解：2x−2=33x+2，
2(3x+2)=3(x−2)，
解得：x=−103，
检验：当x=−103时，(x−2)(3x+2)≠0，
∴x=−103是原方程的根．
按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须要检验．
14.【答案】5.2
【解析】解：∵一组数据7，5，2，x，8的平均数是5，
∴5=15×(7+5+2+x+8)，
解得x=3，
∴s2=15×[(7−5)2+(5−5)2+(2−5)2+(3−5)2+(8−5)2]=5.2，
故答案为：5.2．
先由平均数是5计算x的值，再根据方差的计算公式，直接计算可得．
本题考查的是算术平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：如图1，
△ABC与△A′BC成轴对称图形；
如图2，
△ABC与△ABC′成轴对称图形，△ABC与△C′CB成轴对称图形．
综上所述，与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出3个，
故答案为：3．
根据网格结构以及轴对称图形的性质作出对称三角形即可．
本题考查了作图—轴对称变换，画出对应的图形是解此题的关键．
16.【答案】3a−3a+1
【解析】解：(a−2a−1a)⋅3a2a2−1
=a2−(2a−1)a⋅3a2(a+1)(a−1)
=a2−2a+1a⋅3a2(a+1)(a−1)
=(a−1)2a⋅3a2(a+1)(a−1)
=3(a−1)a+1
=3a−3a+1，
故答案为：3a−3a+1．
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】35
【解析】解：作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB/​/CD，
∴∠DAB=180°−∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB=12∠DAB=35°，
故答案为：35
作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=12∠DAB，计算即可．
本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
18.【答案】2
【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠ADB=90°，
∵∠BAD+∠B=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠BAD=∠BCE，
在△BCE和△HAE中，
∠BEC=∠AEH∠BCE=∠BADBE=HE，
∴△BCE≌△HAE(AAS)，
∴CE=AE=8，
∴CH=CE−HE=8−6=2．
故答案为：2．
先利用等角的余角相等得到∠BAD=∠BCE，则可根据“AAS”证明△BCE≌△HAE，则CE=AE=6，然后计算CE−HE即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
19.【答案】解：(1)1x+1−2xx2−1
=x−1(x−1)(x+1)−2x(x−1)(x+1)
=−(x+1)(x−1)(x+1)
=11−x；
(2)(m+2+52−m)÷2m+6m2−4m+4
=m2−4−5m−2⋅(m−2)22(m+3)
=(m−3)(m+3)m−2⋅(m−2)22(m+3)
=(m−3)(m−2)2
=m2−5m+62．
【解析】(1)利用分式的减法的法则进行运算即可；
(2)把能分解的因式进行分解，对括号里的式子进行整理，再进行乘法运算即可．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20.【答案】解：原式=(x−2)2−x2x(x+2)(x−2)⋅2(x+2)x−1
=−4(x−1)x(x+2)(x−2)⋅2(x+2)x−1
=−8x(x−2)；
当x=−23时，
原式=−8−23×(−23−2)
=−8−23×(−83)
=−8169
=−92．
【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，约分后把x的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
21.【答案】解：2x2x−1−4x−14x2−1=1，
2x2x−1−4x−1(2x+1)(2x−1)=1，
2x(2x+1)−(4x−1)=(2x+1)(2x−1)，
解得：x=1，
检验：当x=1时，(2x+1)(2x−1)≠0，
∴x=1是原方程的根．
【解析】按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须要检验．
22.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．
(2)如图，取点A关于x轴的对称点A′′，连接A′′B，交x轴于点P，连接AP，
此时AP+BP=A′′P+BP=A′′B，为最小值，
∴AP+BP+AB的值最小，
即△ABP周长最小，
则点P即为所求．

【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)取点A关于x轴的对称点A′′，连接A′′B，交x轴于点P，则点P即为所求．
本题考查作图−轴对称变换、轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
23.【答案】解：如图，△ABC为所作．

【解析】先作∠MBN=∠α，再作∠MBN的平分线BP，接着在AP上截取BD=a，然后作∠BDC=∠β交BM于C点，CD的延长线交BN于点A，则△ABC满足条件．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
24.【答案】证明：∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵BM⊥l，CN⊥l，
∴∠AMB=∠CNA=90°，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
AB=CAMB=NA，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA(HL)，
∴∠MAB=∠NCA，
∵∠NCA+∠NAC=90°，
∴∠MAB+∠NAC=90°，
∴∠BAC=180°−(∠MAB+∠NAC)=90°．
【解析】由等角对等边得到AB=AC，由HL证明Rt△AMB≌Rt△CNA，推出∠MAB=∠NCA，由∠NCA+∠NAC=90°，得到∠MAB+∠NAC=90°，由平角定义得到∠BAC=180°−(∠MAB+∠NAC)=90°．
本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证明Rt△AMB≌Rt△CNA(HL)．
25.【答案】解：(1)甲的成绩按由小到大的顺序排序：163，166，167，169，170，
∵处于中间的成绩为167，
∴甲的中位数为167，
甲的平均数：163+166+167+169+1705=167，
乙的成绩按由小到大的顺序排序：161，163，168，171，172，
∵处于中间的成绩为168，
∴乙的中位数为168，
乙的平均数：161+163+168+171+1725=167，
∵甲、乙的平均数相同，乙的中位数大于甲的中位数，
∴乙的成绩较好；
(2)甲的方差：15×[(163−167)2+(166−167)2+(167−167)2+(169−167)2+(170−167)2]=6，
乙的方差：15×[(161−167)2+(163−167)2+(168−167)2+(171−167)2+(172−167)2]=16.6，
∵甲的方差小于乙的方差，
∴甲的成绩稳定．
【解析】(1)根据中位数和平均数的计算方法计算，然后根据平均数和中位数的意义作出判断即可；
(2)计算方差，方差越小越稳定．
本题考查了平均数、中位数和方差，解题的关键是掌握平均数、中位数和方差的计算方法．
26.【答案】(1)证明：∵△ABC，△DCE为等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=∠B=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
在∠ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)；
(2)解：∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠DBC=60°，
∵∠ACB=∠DBC=60°，
∴∠EAC=∠ACB=60°，
∵∠AEC=35°，
∴∠ACE=180°−60°−35°=85°．
【解析】(1)只要证明∠ACE=∠BCD，根据SAS即可证明．
(2)证明∠CAE=∠ACB=60°，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用全等三角形的性质解决问题．
27.【答案】解：设改良前果树平均每亩的产量是x万千克，则改良后果树平均每亩的产量是1.5x万千克，
根据题意得：30x−30+61.5x=10，
解得：x=0.6，
经检验，x=0.6是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×0.6=0.9(万千克)．
答：改良后果树平均每亩的产量是0.9万千克．
【解析】设改良前果树平均每亩的产量是x万千克，则改良后果树平均每亩的产量是1.5x万千克，利用种植亩数=总产量÷平均每亩的产量，结合改良后比改良前种植亩数减少了10亩，可列出关于x的分式方程，解之经检验后可得出改良前果树平均每亩的产量，再将其代入1.5x中，即可求出改良后果树平均每亩的产量．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
28.【答案】证明：(1)∵∠BAC=90°，AF⊥CD，
∴∠3+∠2=∠1+∠2=90°，
∴∠3=∠1，
∵∠BAC=90°，BE/​/AC，
∴∠ABE+∠CAD=180°，
∴∠CAD=∠ABE=90°，
∵AC=BA，
∴△ADC≌△BEA(ASA)，
∴AD=BE；
(2)∵△ADC≌△BEA，
∴AD=BE，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴BE=BD，
∵AB=AC，
∴∠4=∠ACB，
∵AC/​/BE，
∴∠5=∠ACB，
∴∠4=∠5，
∵BE=BD，
∴BC垂直平分DE，
∴BC⊥DE．
【解析】(1)利用同角的余角相等，可得∠1=∠3，结合已知条件易证明结论；
(2)根据全等三角形的性质可得AD=BE，结合D是AB的中点可得BD=BE，再根据AB=AC及AC/​/BE可得∠4=∠5，进而证明结论．
本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，余角的性质，灵活运用定理是解决问题的关键．年龄(单位：岁)
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人数
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